2021版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.4二次函数与幂函数课件文北师大版

1、2.4二次函数与幂函数基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x) .顶点式：f(x) .零点式：f(x) .1.二次函数知识梳理ax2bxc(a0)a(xh)2k(a0)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图像和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增；当0，当 时，恒有f(x)0.2.幂函数的图像和性质(1)幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性.(2)幂函

2、数的图像过定点(1,1)，如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.知识拓展判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是 .()(2)二次函数yax2bxc，xR不可能是偶函数.()(3)在yax2bxc(a0)中，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.()(4)函数 是幂函数.()(5)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.()(6)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数.()思考辨析 1.(教材改编)已知函数f(x)x24ax在区间(，6)内单调递减，则a的取值范围是A.a3 B.a3C.a3 D.a3考

3、点自测答案解析函数f(x)x24ax的图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x2a，由函数在区间(，6)内单调递减可知，区间(，6)应在直线x2a的左侧，2a6，解得a3，故选D.几何画板展示2.幂函数yf(x)的图像过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图像是 答案解析设f(x)x，则42， ，f(x) ，对照各选项中的图像可知C正确. 3.已知函数f(x)ax2x5的图像在x轴上方，则a的取值范围是答案解析4.已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_.答案解析1,2如图，由图像可知m的取值范围是1,2.几何画板展示5.若幂函数 的图像不经过原点，则实数m的值为

4、_.答案解析由m23m31，得m1或m2，又当m1时，m2m20，当m2时，m2m20，图像均不过原点，所以m1或m2.1或2题型分类深度剖析题型一求二次函数的解析式例1(1)(2016太原模拟)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1，则f(x)_.答案解析x22x设函数的解析式为f(x)ax(x2)，所以f(x)ax22ax，所以f(x)x22x.(2)已知二次函数f(x)的图像经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式.解答f(2x)f(2x)对任意xR恒成立，f(x)的对称轴为x2.又f

5、(x)的图像被x轴截得的线段长为2，f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)，又f(x)的图像过点(4,3)，3a3，a1，所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.思维升华求二次函数解析式的方法跟踪训练1(1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR)，xR，若函数f(x)的最小值为f(1)0，则f(x)_.答案解析x22x1设函数f(x)的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa，由已知f(x)ax2bx1，a1，故f(x)x22x1.(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4

6、，则该函数的解析式f(x)_.答案解析2x24由f(x)是偶函数知f(x)的图像关于y轴对称，a( )，即b2，f(x)2x22a2，又f(x)的值域为(，4，2a24，故f(x)2x24. 题型二二次函数的图像和性质命题点1二次函数的单调性例2函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是A.3,0) B.(，3C.2,0 D.3,0答案解析当a0时，f(x)3x1在1，)上递减，满足条件.解得3a0.综上，a的取值范围为3,0.几何画板展示引申探究若函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)，则a_.答案解析3由题意知a0时，f(x)ax22x的图像开口

7、向上且对称轴为x .当0 1，即a1时，f(x)ax22x的对称轴在0,1内，f(x)在0,1上是减少的.f(x)minf(1)a2.(3)当a0时，f(x)ax22x的图像开口向下且对称轴x 2xm恒成立，则实数m的取值范围是_.答案解析(，1)f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可.g(x)x23x1m在1,1上是减少的，g(x)ming(1)m1.由m10，得m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1).(2)已知a是实数，函数f(x)2ax22

8、x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_.答案解析2ax22x30在1,1上恒成立.当x0时，30，成立；几何画板展示思维升华(1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.跟踪训练2(1)设函数f(x)ax22x2，对于

9、满足1x0，则实数a的取值范围为_.答案解析(2)已知函数f(x)x22x，若x2，a，求f(x)的最小值.解答函数f(x)x22x(x1)21，对称轴为直线x1，x1不一定在区间2，a内，应进行讨论，当21时，函数在2，1上是减少的，在1，a上是增加的，则当x1时，f(x)取得最小值，即f(x)min1.综上，当21时，ymin1.几何画板展示 题型三幂函数的图像和性质例5(1)(2016济南诊断测试)已知幂函数f(x)kx的图像过点 ，则k等于答案解析由幂函数的定义知k1. (2)若 则实数m的取值范围是答案解析因为函数 的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，解2m1m2m1，得1m2，

10、思维升华(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴. 跟踪训练3(2016昆明模拟)幂函数的图像经过点(4,2)，若0ab0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a ； 6分(3)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3. 9分综上可知，a的值为 或3. 10分课时作业1.函数f(x)2x2mx3，当x2，)时，f(x)是增函数，当x(，2时，f

11、(x)是减函数，则f(1)的值为A.3 B.13 C.7 D.512345678910111213答案解析函数f(x)的图像关于直线x2对称，m8，f(1)28313.2.函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称的充要条件是A.m2 B.m2C.m1 D.m1答案解析已知函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称，则m2；反之也成立.所以函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称的充要条件是m2.123456789101112133.已知二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)在0,2上是增函数，若f(a)f(0)，则实数a的取值范围是A.0，) B.(，0C.0,4 D.

12、(，04，)答案解析由题意可知函数f(x)的图像开口向下，对称轴为x2(如图)，若f(a)f(0)，从图像观察可知0a4.123456789101112134.若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为 ，4，则m的取值范围是答案解析12345678910111213123456789101112135.若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a等于A.1 B.1C.2 D.2答案解析函数f(x)x2axa的图像为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点处取得，f(0)a，f(2)43a，6.已知函数f(x) 若关于x的方程f(x)k有三个不等的实根，则实数k的取值范围是A

13、.(3,1) B.(0,1)C.(2,2) D.(0，)答案解析由函数f(x) 的图像可知，12345678910111213要使关于x的方程f(x)k有三个不等的实根，则需直线yk与函数f(x)的图像有三个不同的交点，所以有0k1，所以实数k的取值范围是(0,1).123456789101112137.(2016烟台模拟)已知幂函数 若f(a1)f(102a)，则a的取值范围为_.答案解析(3,5)幂函数 是减函数，定义域为(0，)，123456789101112138.当0 xg(x)f(x)如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图像，由此可知，h(x)g(x)f(x).123456789101112139.当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_.答案解析(，5方法一不等式x2mx40对x(1,2)恒成立，mxx24对x(1,2)恒成立，方法二设f(x)x2mx4，当x(1,2)时，2345678910111213112345678910111213*10.“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内递增”的_条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)答案解析充要当af(a1)的实数a的取值范围.解答12345678910111213因为函数f(x)的图像经过点(2， )，所以 即