《材料力学》课件 7应力和应变分析强度理论

1、材 料 力 学Monday, August 15, 2022第七章应力和应变分析 强度理论1第七章 应力和应变分析 强度理论本章内容:1 应力状态概述2 二向和三向应力状态的实例3 二向应力状态分析 解析法 4 二向应力状态分析 图解法 5三向应力状态6 位移与应变分量7 平面应变状态分析8广义胡克定律210 强度理论概述11 四种常用强度理论12 莫尔强度理论 13 构件含裂纹时的断裂准则9复杂应力状态的变形比能 3 二向应力状态分析 解析法 4 二向应力状态分析 图解法 5三向应力状态6 位移与应变分量7 平面应变状态分析8广义胡克定律37. 1 应力状态概述1 问题的提出 低碳钢和铸铁的

2、拉伸实验 低碳钢的拉伸实验 铸铁的拉伸实验问题：为什么低碳钢拉伸时会出现 45 滑移线？4 低碳钢和铸铁的扭转实验 低碳钢的扭转实验 铸铁的扭转实验问题：为什么铸铁扭转时会沿 45 螺旋面断开？所以，不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。567“泰坦尼克号”沉没场景图1912年4月15日89102 应力的三个重要概念 应力的点的概念 应力的面的概念同一物体内不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。NQ11 应力的面的概念过同一点的不同方向的截面上的应力各不相同，此即应力的面的概念。所以，讲到应力，应指明是哪一点在哪一方向面上的应力。 应力状态的概念过一点的不同方向面上的应力的

3、集合，称为这一点的应力状态。12 应力状态的概念过一点的不同方向面上的应力的集合，称为这一点的应力状态。133 一点应力状态的描述 单元体 单元体的边长 dx, dy, dz 均为无穷小量； 单元体的特点14 单元体的边长 dx, dy, dz 均为无穷小量； 单元体的特点 单元体的每一个面上，应力均匀分布； 单元体中相互平行的两个面上，应力相同。4 主应力及应力状态的分类 主应力和主平面切应力全为零时的正应力称为主应力；154 主应力及应力状态的分类 主应力和主平面切应力全为零时的正应力称为主应力；主应力所在的平面称为主平面；主平面的外法线方向称为主方向。主应力用1 , 2 , 3 表示 (

4、1 2 3 ) 。 应力状态分类 单向应力状态16 应力状态分类 单向应力状态 二向应力状态(平面应力状态) 三向应力状态(空间应力状态)yxz 简单应力状态 复杂应力状态xy177. 2 二向和三向应力状态的实例1 二向应力状态的实例 薄壁圆筒已知：p, D, t。 求端部总压力18 求 求取研究对象如图。19 求计算N力即：内压力在y方向的投影等于内压乘以投影面积。20所以21可以看出：轴向应力 是环向应力的一半。对于薄壁圆筒，有：所以，可以忽略内表面受到的内压p和外表面受到的大气压强，近似作为二向应力状态处理。222 三向应力状态的实例 滚珠轴承2324例 2已知：蒸汽锅炉，t=10mm

5、, D=1m, p=3MPa 。解：求：三个主应力。前面已得到25例 3已知：球形容器，t , D, p 。解：求：容器壁内的应力。取研究对象如图。与薄壁圆筒的情况类似，有：所以：267. 3 二向应力状态分析 解析法pmmal2211xxyzxyyx27 二向应力状态的表示 应力状态分析在已知过一点的某些截面上的应力时，求出过该点的任一截面上的应力，从而求出主应力和主平面。 切应力的下标作用面的法线切应力的方向xxyzyxyyxxyxyyx28 二向应力状态的表示 切应力的下标作用面的法线切应力的方向 正负号规定 正应力拉为正压为负xyxyyx29 切应力使单元体顺时针方向转动为正；反之为负

6、。 截面的方向角由x正向逆时针转到截面的外法线n的正向的角为正;反之为负。yx30 方向角为 的截面上的应力以单元体的一部分为研究对象。由平衡条件xyaxxyxxyefnefaxxyyxynefadAdAsindAcos31efaxxyyxynefadAdAsindAcos32由切应力互等定理，xy与 yx 大小相等。efaxxyyxyn33 最大正应力和最小正应力令：可以看出：当 =0 时，取极值的正应力为主应力。34令：可以看出：当 =0 时，取极值的正应力为主应力。若 0 满足上式，则 0 +90也满足上式，代入公式可得：35 (2)当xy 时 ， 0 是x与min之间的夹角则确定主应力

7、方向的具体规则如下若约定 | 0 | 45即0 取值在45范围内(1)当x y 时 ， 0 （绝对值小的）是x与max之间的夹角 下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角36若 0 满足上式，则 0 +90也满足上式，代入公式可得： 正应力的不变量37 正应力的不变量截面上的正应力为: +90 截面上的正应力为:任意两个互相垂直的截面上的正应力之和为常数.38 最大切应力和最小切应力令：若 1 满足上式，则 1 +90也满足上式，代入公式可得：39若 1 满足上式，则 1 +90也满足上式，代入公式可得： 切应力的极值称为主切应力 主切应力所在的平面称为主剪平面 主剪平面上的正应力40

8、 切应力的极值称为主切应力 主切应力所在的平面称为主剪平面 主剪平面上的正应力将 1 和 1 +90 代入公式可得：即： 主剪平面上的正应力为平均正应力。41将 1 和 1 +90 代入公式可得：即： 主剪平面上的正应力为平均正应力。 主平面与主剪平面的关系由 0 和 1 的公式可得：即：主平面与主剪平面的夹角为45。42例已知： 圆轴受扭转。解：求：应力状态及分析铸铁件受扭时的破坏现象。 最大切应力 取单元体ABCD纯切应力状态43 取单元体ABCD纯切应力状态 主应力 主方向或44 主应力 主方向或 主应力排序 铸铁件破坏现象45例 7.5已知: A点应力 = -70MPa, = 50MP

9、a。解：求：A点主应力和主平面，及其它点的应力状态。 A点单元体 取x轴向上为正46 取x轴向上为正 主应力47 主应力 主方向或 其它几点的应力状态48单向拉伸 其它几点的应力状态单向压缩纯剪切49主拉应力1迹线 主应力迹线主压应力3迹线50例7.6已知：求：此点主应力并画主平面微体。51小历史（应力概念的提出）柯西（Cauchy,Augustin Louis，法国数学家、力学家。17891857）柯西(A .L .Cauchy ) 1789 年生于法国, 1857 年逝世。数学家和力学家。他奠定了应力和应变的理论, 首先指出了矩形截面柱体的扭转与圆形截面柱体的扭转有重大区别, 最早研究了板

10、的振动问题。在数学和力学的其他领域有很多重要贡献。柯西定义或方法521970年发行的D系列1英镑纸币，牛顿钱币上的科学家53欧拉(1707 1782)54高斯，德国数学家55作业第5版7.1, 7.6, 7.7第4版7.2, 7.7, 7.8567. 4 二向应力状态分析 图解法1 应力圆 (莫尔圆) 方程由公式平方相加，得57这是以、为变量的圆的方程。ROC莫尔圆(Mohrs circle)58O2 应力圆的画法DDRCD(sx ,txy)D(sy ,tyx)593 应力圆上的点与单元体面上的应力的对应关系(1) 点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力;60(

11、2) 基准相当(3) 转向一致半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；D点和x面是基准;61(3) 转向一致半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；(4) 角度成双半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。624 应力圆的应用 确定主应力、主方向应力圆与横轴的交点 A1、B1处，剪应力为零。它们的横坐标即为主应力。从半径CD转到CA1的角度即为从x轴转到主平面的角度的两倍。63 主应力即为A1, B1处的正应力。圆心坐标应力圆半径64 主方向65 确定面内最大切应力主剪面对应于应力圆上的G1和G2点。面内最大切应力的值等于应力圆的半径。66sxsxADtsodacxyy45xbeBE 单向应力状态

12、的应力圆24524567BEsatatasaxytsodacbe245245sxsxBE68otstta (0,t )d(0,-t )ADbec245245satsatBE 纯切应力状态的应力圆69例 3已知：x =80MPa, y = -40MPa, xy = -60MPa,yx = 60MPa 。解：求：用应力圆求主应力和主方向。作应力圆:由D点由D点画出应力圆70由D点由D点画出应力圆71 圆心坐标 半径72 主平面从D点(x轴)逆时针转45至A1点， 圆心坐标 半径E由几何关系73E 主平面从D点(x轴)逆时针转45至A1点，由几何关系74例 4已知：x = 0, y = -40MPa

13、, xy = 0 。解：求：斜截面de上的正应力和切应力。作应力圆:由O点由B1点画出应力圆75由O点由B1点画出应力圆 圆心坐标 半径76 圆心坐标 半径 单元体上0= -60的面所对应的点为E点D77原例7.6已知：求：此点主应力并画主平面微体。78作业第5版7.2c, 7.3b, f第4版7.3c, 7.4b,f797. 5 三向应力状态 三向应力状态三个主应力均不为零的应力状态。yxz80 特例至少有一个主应力的大小方向为已知。szsxsytxytyxsytxytyxsxsz平面应力状态即为这种特例之一。81s1s2s3 三向应力状态的应力圆设三个主应力均已知。tsIIIIIIs3s2

14、s1I平行于s1的方向面其上之应力与s1无关，于是由s2 、 s3可作出应力圆 I平行于s2的方向面其上之应力与s2无关，于是由s1 、s3可作出应力圆 II平行于s3的方向面其上之应力与s3无关，于是由s1、s2可作出应力圆 IIIIIs2s1 s3s3IIIs2s1s3s2s1 任一方向面上的应力位于阴影区内。82 最大切应力tsIIIIIIs3s2s1tttmax=t 在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：8320030050otmax 平面应力状态作为三向应力状态的特例84平面应力状态作为三向应力状态的特例，应注意：(1) 可能是1, 也可能是2或3 .(2) 按三个主应力的

15、代数值排序确定1, 2, 3 。(3) 85小历史、典故应力圆 、摩尔圆 Mohr, 1835-1918理论家土木工程师力学教授867. 6 位移与应变分量 任一方向的应变比较7. 7 平面应变状态分析87 主要结论 主应变方向与主应力方向相同 主应变 e1、e2、e3与主应力 s1、s2、s3 一一对应 与应力圆类似，存在应变圆，与应力圆有相同的特点，不同点是g 的坐标有系数 1/288 实验应力分析：应变片与应变花897. 8 广义胡克定律 单向应力状态下的胡克定律或 纯剪切应力状态下的剪切胡克定律或 横向变形与泊松比yx90 广义胡克定律 三向应力状态yxz可看作是三组单向应力状态和三组

16、纯剪切的组合。 叠加原理用叠加原理的条件：(1) 各向同性材料；(2) 小变形；(3) 变形在线弹性范围内。 x方向的线应变 x x引起的部分:91yxz x方向的线应变 xx引起的部分:y引起的部分:z引起的部分:叠加得：92叠加得：同理可得：剪应变为：这六个公式即为广义胡克定律。93 用主应力表示的广义胡克定律从前三式中可解出三个主应力94从前三式中可解出三个主应力95例 5 已知: 受扭圆轴，d, E, , 测得 45 。解：求：外加扭矩的值。在测点取单元体 纯切应力状态切应力为要求出45方向的应变，需先求出 45方向的应力。45方向为主应力方向96切应力为45方向为主应力方向由广义胡克

17、定律 测扭矩的方法97 体积胡克定律 单元体变形前体积变形后体积略去高阶微量单位体积的改变98变形前体积变形后体积略去高阶微量单位体积的改变 体积应变将广义胡克定律代入上式得99单位体积的改变 体积应变将广义胡克定律代入上式得又可写成记 体积弹性模量 体积胡克定律100例 (书例7.9)已知: 孔: d1=50.01mm柱: d2=50mm, P=300kN, 钢块不变形。E=200GPa, =0.3。解：求：圆柱的主应力。 柱受到的压应力101径向的应变由广义胡克定律可得102圆柱的主应力为：103作业第5版7.25第4版7.261047. 9 复杂应力状态的变形比能1 单向应力状态下的比能

18、 功能原理2 三向应力状态下的比能dydxdz 变形能与加载方式无关为将变形能用主应力表示，将广义胡克定律1052 三向应力状态下的比能为将变形能用主应力表示，将广义胡克定律代入上式，化简得1063 体积改变比能和形状改变比能+体积改变, 形状不变；体积不变, 形状改变1073 体积改变比能和形状改变比能+体积改变, 形状不变；体积不变, 形状改变因体积改变而贮存的变形能 体积改变比能因形状改变而贮存的变形能 形状改变比能108 体积改变比能109 形状改变比能或110例 (书例7.10)已知: 纯剪切应力状态。解：求：导出E, G, 之间的关系。第3章已求出纯剪切时 用本节公式求纯剪时的应变

19、能纯剪切时111 用本节公式求纯剪时的应变能纯剪切时第3章已求出纯剪切时112强度理论研究材料失效的判据，从而建立强度条件。7. 10 强度理论概述 不同材料在相同的加载情况下，破坏(失效)的形式不同。 塑性材料：屈服失效。 脆性材料：断裂失效。1131141989年，前苏联乌拉尔山，输气管爆裂，死伤1024人115116117 相同材料在不同的加载情况下，破坏(失效)的形式不同。 塑性材料：当有深切槽时，发生断裂。应力集中导致根部出现三向应力状态。118 脆性材料：119 对单向应力状态和纯剪切通过实验建立强度条件 对复杂应力状态无法通过实验建立强度条件强度理论 根据部分实验结果，提出的假说

20、。从而可根据单向应力状态的实验结果，建立复杂应力状态下的强度条件。120强度理论分为两类：7. 11 四种常用的强度理论1 最大拉应力理论(第一强度理论) 基本观点不论是什么应力状态，只要最大拉应力达到材料的某一极限，就发生脆性断裂。 失效准则 适用于断裂失效情况 适用于屈服失效情况 单向拉伸失效时 复杂应力状态时，令1211 最大拉应力理论(第一强度理论) 基本观点不论是什么应力状态，只要最大拉应力达到材料的某一极限，就发生脆性断裂。 失效准则 强度条件 相当应力 单向拉伸失效时 复杂应力状态时，令122 相当应力 适用对象脆性材料受拉，塑性材料受三向拉伸且 s1 、 s2 、 s3 相近。

21、 缺点没有考虑 s2 和 s3 的影响，且无法应用于没有拉应力的情况。2 最大伸长线应变理论(第二强度理论) 基本观点不论是什么应力状态，只要最大伸长线应变达到材料的某一极限，就发生脆性断裂。 强度条件1232 最大伸长线应变理论(第二强度理论) 基本观点不论是什么应力状态，只要最大伸长线应变达到材料的某一极限，就发生脆性断裂。 失效准则 单向拉伸失效时 复杂应力状态时，令124 适用对象脆性材料受压。 失效准则 强度条件 相当应力 缺点对脆性材料受拉与试验符合不好。 单向拉伸失效时 复杂应力状态时，令1253 最大切应力理论(第三强度理论) 基本观点不论是什么应力状态，只要最大切应力达到材料的某一极限，就发生塑性屈服。 失效准则 单向拉伸失效时 复杂应力状态时 强度条件126 失效准则 强度条件 适用对象塑性材料的一般受力状态。 相当应力 缺点偏于安全；没有考虑 s2 的影响。4 形状改变比能理论(第四强度理论) 基本观点不论是什么应力状态，只要形状改变比能达到材料的某一极限，就发生塑性屈服。 失效准则1274 形状改变比能理论(第四强度理论) 基本观点不论是什么应力状态，只要形状改变比能达到材料的某一极限，就发生塑性屈服。 失效准则 单向拉伸失