11.2　正弦定理 学案

1、112正弦定理学习指导核心素养1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题逻辑推理、数学运算：正弦定理及其应用1正弦定理条件在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c结论 eq f(a,sin A) eq f(b,sin B) eq f(c,sin C)文字叙述三角形的各边与它所对角的正弦的比相等2正弦定理的变形若R为ABC外接圆的半径，则(1)a2R sin A，b2R sin B，c2R sin C(2)sin A eq f(a,2R)，sin B eq f(b,2R)，sin C eq f(c,2

2、R).(3)sin Asin Bsin Cabc.(4) eq f(abc,sin Asin Bsin C)2R.1正弦定理 eq f(a,sin A) eq f(b,sin B) eq f(c,sin C)只适用于锐角三角形吗？提示：正弦定理 eq f(a,sin A) eq f(b,sin B) eq f(c,sin C)适用于任意三角形2已知三角形的哪几个元素，可以用正弦定理解相应三角形？提示：已知三角形的任意两角和一边，求其他两边和另一角已知三角形的任意两边和其中一边的对角，求另一边及另两角1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)正弦定理不适用于直角三角形()(2)在ABC中必有

3、a sin Ab sinB()(3)在ABC中，若ab，则必有sin AsinB()(4)在ABC中，若sin Asin B，则必有AB.()答案：(1)(2)(3)(4)2在ABC中，a3，b5，sin A eq f(1,3)，则sin B()A eq f(1,5)B eq f(5,9)C eq f(r(5),3)D1解析：选B因为a3，b5，sin A eq f(1,3)，所以由正弦定理得sin B eq f(b sin A,a) eq f(5f(1,3),3) eq f(5,9).3在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A105，B45，b2 eq r(2)，则c()A e

4、q f(r(2),2)B1 C eq r(2)D2解析：选D由三角形内角和定理得，C180(AB)180(10545)30.由正弦定理得，c eq f(b sin C,sin B) eq f(2r(2)sin 30,sin 45)2.4设在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos Cc cos Ba sin A, 则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定解析：选B因为b cos Cc cos Ba sin A，所以由正弦定理可得sin B cos Csin C cos Bsin2A，sin(BC)sin2AsinAsin2A，所以sinA1，A eq

5、 f(,2)，所以ABC是直角三角形5在ABC中，若 eq f(sin A,a) eq f(cos B,b)，则B_解析：根据正弦定理知， eq f(sin A,a) eq f(sin B,b)，结合已知条件可得sin Bcos B又0B180，所以B45.答案：45探究点1已知两角及一边解三角形 在ABC中，已知c10，A45，C30，解这个三角形【解】因为A45，C30，所以B180(AC)105.由 eq f(a,sin A) eq f(c,sin C)得a eq f(c sin A,sin C)10 eq f(sin 45,sin 30)10 eq r(2).因为sin 75sin (

6、3045)sin 30cos 45cos 30sin 45 eq f(r(2)r(6),4)，所以b eq f(c sin B, sin C) eq f(10sin （AC）,sin 30)20 eq f(r(2)r(6),4)5 eq r(2)5 eq r(6).已知三角形的两角和任意一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边 1在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B45，C60，c1，则ABC最短边的边长等于()A

7、 eq f(r(6),3)B eq f(r(6),2)C eq f(1,2)D eq f(r(3),2)解析：选A由三角形内角和定理，得A180(BC)75，所以B是最小角，b为最短边由正弦定理，得 eq f(b,sin B) eq f(c,sin C)，即 eq f(b,sin 45) eq f(1,sin 60)，则b eq f(r(6),3)，故选A2在ABC中，A60，sin B eq f(1,2)，a3，求三角形中其他边与角的大小解：因为sin B eq f(1,2)，所以B30或150，当B30时，由A60得C90；当B150时，不合题意，舍去所以由正弦定理 eq f(b,sin

8、B) eq f(c,sin C) eq f(a,sin A)，得b eq f(sin B,sin A)a eq f(sin 30,sin 60)3 eq r(3)，c eq f(sin C,sin A)a eq f(sin 90,sin 60)32 eq r(3).探究点2已知两边及其中一边的对角解三角形 已知ABC中的下列条件，解三角形：(1)a10，b20，A60；(2)a2，c eq r(6)，C eq f(,3).【解】(1)因为 eq f(b,sin B) eq f(a,sin A)，所以sin B eq f(b sin A,a) eq f(20sin 60,10) eq r(3)1

9、，所以三角形无解(2)因为 eq f(a,sin A) eq f(c,sin C)，所以sin A eq f(a sin C,c) eq f(r(2),2).因为ca，所以CA.所以A eq f(,4).所以B eq f(5,12)，b eq f(c sin B,sin C) eq f(r(6)sin f(5,12),sin f(,3) eq r(3)1.变条件若本例(2)中C eq f(,3)改为A eq f(,4)，其他条件不变，求C，B, b.解：因为 eq f(a,sin A) eq f(c,sin C)，所以sin C eq f(c sin A,a) eq f(r(3),2).所以C

10、 eq f(,3)或 eq f(2,3).当C eq f(,3)时，B eq f(5,12)，b eq f(a sin B,sin A) eq r(3)1.当C eq f(2,3)时，B eq f(,12)，b eq f(a sin B,sin A) eq r(3)1.已知两边及其中一边的对角解三角形的思路(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 1在ABC中，内角A，B，C

11、的对边分别为a，b，c，若a3，b6，sin A eq f(r(3),4)，则B()A eq f(,3)B eq f(2,3)C eq f(,3)或 eq f(2,3)D eq f(,6)或 eq f(5,6)解析：选C因为a3，b6，sin A eq f(r(3),4)，所以由正弦定理可得sin B eq f(b sin A,a) eq f(6f(r(3),4),3) eq f(r(3),2)，又sin A eq f(r(3),4) eq f(1,2)，ab，所以A eq f(,6)，A2Bx2C2x2 eq r(2)D2x2 eq r(3)解析：选C由a sin Bba，得 eq f(r(

12、2),2)x2x，所以2x2 eq r(2).探究点3判断三角形的形状 已知在ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cos Bb cos A，则ABC一定是()A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形【解析】由正弦定理得，a cos Bb cos Asin A cos Bsin B cos Asin (AB)0，由于AB，故必有AB0，AB，即ABC为等腰三角形【答案】A判断三角形形状的两种途径注意在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解 1已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，满足 eq f(a,cos A) eq f(b,

13、cos B) eq f(c,cos C)，则ABC的形状是()A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形解析：选C由正弦定理得 eq f(a,sin A) eq f(b,sin B) eq f(c,sin C)，又 eq f(a,cos A) eq f(b,cos B) eq f(c,cos C)，得 eq f(sin A,cos A) eq f(sin B,cos B) eq f(sin C,cos C)，即tan Atan Btan C，所以ABC，即ABC为等边三角形2在ABC中，若(aa cos B)sin B(bc cos C)sin A，试判断ABC的形状解：因为(aa

14、cos B)sin B(bc cos C)sin A，所以a sin Ba cos Bsin Bb sin Ac cos C sin A，而由正弦定理可知a sin Bb sin A，所以a cos B sin Bc cos C sin A.即sin A cos B sin Bsin C cos C sin A，所以cos B sin Bsin C cos C，即sin 2Bsin 2C，所以2B2C或2B2C180，即BC或BC90，故ABC是等腰三角形或直角三角形探究点4正弦定理的综合应用 如图，已知一艘船以30 n mile/h的速度往北偏东15的A岛行驶，计划到达A岛后停留10 min

15、后继续驶往B岛，B岛在A岛的北偏西60的方向上船到达C处时是上午10时整，此时测得B岛在北偏西30的方向，经过20 min到达D处测得B岛在北偏西45的方向，如果一切正常的话，此船约何时能到达B岛？( eq r(3)1.732， eq r(6)2.45)【解】在BCD中，CD30206010 n mile，BCD45，CBD15，根据正弦定理得， eq f(10,sin 15) eq f(BD,sin 45)，所以BD eq f(10 sin 45,sin 15).在ABD中，ADB60，ABD15，BAD105，根据正弦定理得， eq f(AD,sin 15) eq f(BD,sin 105

16、) eq f(AB,sin 60)，所以AD eq f(BD sin 15,sin 105) eq f(10sin 45,sin 15) eq f(sin 15,sin 105) eq f(10sin 45,sin 105)10( eq r(3)1)，AB eq f(BD sin 60,sin 105) eq f(10sin 45,sin 15) eq f(sin 60,sin 105)10 eq r(6)，所以10( eq r(3)1)10 eq r(6)306063.64(min).所以到达B岛所用时间约为63.64201093.64 min.所以船约在11时34分到达B岛利用正弦定理解决

17、综合问题时，如果是实际问题，应首先转化为解三角形的问题，然后再分析清楚在哪个三角形中，是利用正弦定理还是利用余弦定理解决问题 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ba(sin Ccos C).(1)求A；(2)在a2，B eq f(,3)，c eq r(2)b这三个条件中，选出两个使ABC唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题，若_，_，求ABC的面积解：(1)因为ba eq blc(rc)(avs4alco1(sin Ccos C)，又由正弦定理 eq f(a,sin A) eq f(b,sin B) eq f(c,sin C)，得sin Bsin A eq blc(rc

18、)(avs4alco1(sin Ccos C)，又sin Bsin eq blc(rc)(avs4alco1(AC)，所以sin eq blc(rc)(avs4alco1(AC)sin A eq blc(rc)(avs4alco1(sin Ccos C)，即sin A cos Ccos A sin Csin A eq blc(rc)(avs4alco1(sin Ccos C)整理得cos Asin A，即tan A1，又0A，所以A eq f(,4).(2)方案一：选条件和，由正弦定理 eq f(a,sin A) eq f(b,sin B)，得b eq f(a sin B,sin A) eq

19、f(2sin f(,3),sin f(,4) eq r(6)，由余弦定理b2a2c22ac cos B，得622c222c cos eq f(,3)，解得c eq r(3)1，所以ABC的面积S eq f(1,2)ac sin B eq f(1,2)2( eq r(3)1) eq f(r(3),2) eq f(3r(3),2).方案二：选条件和，由余弦定理a2b2c22bc cos A，得4b22b22b eq r(2)b eq f(r(2),2)，即b24，解得b2.所以c2 eq r(2)，所以a2b2c2，所以ABC为直角三角形，所以ABC的面积S eq f(1,2)222.1在ABC中

20、，AB2，AC3，B60，则cos C()A eq f(r(3),3)B eq f(r(6),3)C eq f(r(3),2)D eq f(r(6),2)解析：选B由正弦定理，得 eq f(AB,sin C) eq f(AC,sin B)，即 eq f(2,sin C) eq f(3,sin 60)，解得sin C eq f(r(3),3).因为ABAC，所以CB，所以cos C eq r(1sin2C) eq f(r(6),3).2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ABC123，则abc()A123B321C2 eq r(3)1D1 eq r(3)2解析：选D在ABC中，因为

21、ABC123，所以B2A，C3A，又ABC180，所以A30，B60，C90，所以abcsinAsin Bsin Csin 30sin 60sin 901 eq r(3)2.3ABC中，三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c eq r(3)，b1，B eq f(,6)，则ABC的形状为()A等腰直角三角形B直角三角形C等边三角形D等腰三角形或直角三角形解析：选D在ABC中，由正弦定理可得sin C eq f(c sin B,b) eq f(r(3)sin f(,6),1) eq f(r(3),2)，因为0C，所以C eq f(,3)或 eq f(2,3)，所以A eq f(,2)或

22、 eq f(,6)，所以ABC的形状为等腰三角形或直角三角形，故选D4在ABC中，若B eq f(,4)，b eq r(2)a，则C_解析：在ABC中，由正弦定理 eq f(a,sin A) eq f(b,sin B)，得 eq f(a,sin A) eq f(r(2)a,sin f(,4) eq f(r(2)a,f(r(2),2)2a，所以sin A eq f(1,2)，所以A eq f(,6)或 eq f(5,6).因为b eq r(2)aa，所以BA，即A eq f(,4)，所以A eq f(,6)，所以CAB eq f(,6) eq f(,4) eq f(7,12).答案： eq f(

23、7,12)A基础达标1已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边若A60，c6，a6，则此三角形()A有两个解B有一个解C无解D有无穷多解解析：选B由等边对等角可得CA60，由三角形的内角和可得B60，所以此三角形为正三角形，有唯一解2在ABC中，若c eq r(3)，C60，则 eq f(abc,sin Asin Bsin C)()A6B2 eq r(3)C2D eq r(3)解析：选C利用正弦定理的推论，得 eq f(abc,sin Asin Bsin C) eq f(c,sin C) eq f(r(3),sin 60)2.3在ABC中，若 eq r(3)a2b sin A，则

24、B()A eq f(,3)B eq f(,6)C eq f(,3)或 eq f(2,3)D eq f(,6)或 eq f(5,6)解析：选C由正弦定理，得 eq r(3)sin A2sin B sin A，所以sin A(2sin B eq r(3)0.因为0A，0B0，则ABC是锐角三角形Ccos (BC)cos AD若sin Asin B，则AB解析：选AD对A：sin (BC)sin (A)sin A，故正确；对B：若cos A0，则A为锐角，但B或C可能是钝角，故错误；对C：cos (BC)cos (A)cos A，故错误；对D：sin Asin B，则ab，故AB，故正确故答案为AD

25、6在ABC中，若a3，cos A eq f(1,2)，则ABC的外接圆的半径为_解析：由cos A eq f(1,2)，得sin A eq r(1cos2A) eq f(r(3),2)，设ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理，得2R eq f(a,sinA)2 eq r(3)，即ABC的外接圆的半径为 eq r(3).答案： eq r(3)7在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a3，B2A，cos A eq f(r(6),3)，则b_解析：因为cos A eq f(r(6),3)，所以sin A eq f(r(3),3).因为B2A，所以sin Bsin 2A2sin A cos

26、 A eq f(2r(2),3)，又 eq f(b,sin B) eq f(a,sin A)，所以b2 eq r(6).答案：2 eq r(6)8在ABC中，c eq r(3)，b1，B30，则ABC的面积为_解析：由正弦定理可知 eq f(c,sin C) eq f(b,sin B)，代入可得 eq f(r(3),sin C) eq f(1,sin 30)，解得sin C eq f(r(3),2)，所以C60或C120，当C60时，A90，由三角形面积公式可得S eq f(1,2)bc sin A eq f(1,2)1 eq r(3)1 eq f(r(3),2).当C120时，A30，由三角

27、形面积公式可得S eq f(1,2)bc sin A eq f(1,2)1 eq r(3) eq f(1,2) eq f(r(3),4)，所以ABC的面积为 eq f(r(3),2)或 eq f(r(3),4).故答案为 eq f(r(3),2)或 eq f(r(3),4).答案： eq f(r(3),2)或 eq f(r(3),4)9已知在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c10，A45，C30，求a，b和B.解：因为c10，A45，C30，所以B180(AC)105.由 eq f(a,sin A) eq f(c,sin C)，得a eq f(c sin A,sin C) e

28、q f(10sin 45,sin 30)10 eq r(2).由 eq f(b,sin B) eq f(c,sin C)，得b eq f(c sin B,sin C) eq f(10sin 105,sin 30)20sin 7520 eq f(r(6)r(2),4)5 eq r(6)5 eq r(2).10(2021南京六校联合检测)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a3，b sin 2Aa sin B(1)求角A的大小 ；(2)若sin B eq f(3,5)，求c.解：(1)由b sin 2Aa sin B及正弦定理可知2sin B sin A cos Asin A s

29、in B因为sin A sin B0，所以cos A eq f(1,2).因为A(0，)，所以A eq f(,3).(2)因为sin Asin eq f(,3) eq f(r(3),2)，所以sin Bsin A，所以BA，所以cos B eq r(1sin2B) eq f(4,5).因为ABC，所以sinCsin (AB)sin (AB)sin A cos Bcos A sin B eq f(r(3),2) eq f(4,5) eq f(1,2) eq f(3,5) eq f(4r(3)3,10).由正弦定理得c eq f(a sin C,sin A)3 eq f(2,r(3) eq f(4

30、r(3)3,10) eq f(123r(3),5).B能力提升11(多选)对于ABC，下列说法中正确的是()A若sin Asin B，则A0，则ABC是锐角三角形解析：选AD若sin Asin B，则ab，即A0.所以ABC是锐角三角形D正确故答案选AD12在ABC中，已知B60，最大边与最小边的比为 eq f(r(3)1,2)，则三角形的最大角为()A60B75C90D115解析：选B不妨设a为最大边，c为最小边，由题意有 eq f(a,c) eq f(sin A,sin C) eq f(r(3)1,2)，即 eq f(sin A,sin （120A）) eq f(r(3)1,2)，整理，得

31、(3 eq r(3)sin A(3 eq r(3)cos A所以tan A2 eq r(3)，又因为A(0，120)，所以A75，故选B13在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ab12，A60，B45，则a_解析：由A60，B45及正弦定理 eq f(a,sin A) eq f(b,sin B)可知 eq f(a,b) eq f(sin A,sin B) eq f(r(3),r(2)，则b eq f(r(6),3)a，代入ab12得a3612 eq r(6).答案：3612 eq r(6)14在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，在b cos Acos Ca sin

32、B sin C eq f(1,2)b；b sin B cos C eq f(1,2)c sin 2B eq r(3)a cos B； eq f(b cos A,cos B)a2c这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答已知D是BC上的一点，BC2BDAB，AD2 eq r(7)，AB6，若_，求ACD的面积解：若选择，则sin B cos A cos Csin A sin B sin C eq f(1,2)sin B，因为sin B0.所以cos A cos Csin A sin C eq f(1,2)，即cos eq blc(rc)(avs4alco1(AC) eq f(1,2).因为B eq blc(rc)(avs4alco1(AC)，所以cos eq blc(rc)(avs4alco1(AC)cos B eq f(1,2)，即cos B eq f(1,2).因为0B.所以B eq f(,3).若选择，则sin 2B cos C eq f(1,2)sin C sin 2B eq r(3)sin Acos B，即sin 2B cos Csin C sin B cos B eq r(3)sin A cos B，故sin B sin eq blc(rc)(avs4alco1(BC) eq r(3)sin A cosB因为sin eq blc(rc)(avs4