一阶电路动态过程的时域分析

1、一阶电路动态过程的时域分析关于uC的电路方程:关于iC的电路方程:1、典型一阶电路一阶电路仅包含一个动态元件，若将动态元件分离出来，则由戴维南或诺顿定理 可得到如下两种典型一阶电路：关于iL的电路方程:关于uL的电路方程:关于uR的电路方程:关于uR的电路方程:/ 一阶RL电路RC 务 + uc = usRC蚂+ i = C与 dt c dtRC 性 + u = RCdudt R dt胜 + i = 1 u R dt L R s缉+ u =皓蚂 R dt L R dtL dunR才 + uR usZ典型一阶RL电路典型一阶RC电路注意：图中N是线性含源单口网络。2、一阶电路的电路方程及其一般形

2、式/ 一阶RC电路：x/一阶电路方程的一般形式从上可知，一阶电路的电路方程都是一阶常系数微分方程。并且，若记电路的激 励为x(t)，响应为y(t)，则一阶电路方程一般形如：c %)+ y(t) = x(t)dt式中，c因具有时间的单位而称为一阶电路的时间常数(time constant)o并且，对 于一阶RC电路，=& 口欧法=欧伏=欧罕=秒对于一阶RL电路，=皋=欧=安？欧=伏秒=秒3、常系数一阶微分方程的经典时域解法对于常系数一阶微分方程c 零+y(t) = x(t)，其解(即电路的响应)由通解和特解 U两部分构成。通解：是对应齐次方程的解，与激励无关，称为电路的自由响应。() _L 1通

3、有车t -十y(t) _ ?y (t) 一 e Plt e tat th式中，A为待定积分系数，可根据初始条件来确定。特解：与电路激励尤有关，尤不同，特解形式就不同。因此特解也称为强制响 应。在高等数学中，特解一般可以采用常数变异法求得，即：令非齐次微分方程的解为y(t) = m(t)e-T ,求出 华 后代入原微分方程，得到 atm(t)：m(t) = 1 j x(t)eTdtt所以，常系数一阶微分方程t 华 + y( t) = x(t)的解为at _t e一打 x(t)eedty(t) = 一，Ae-t , , + T., 一一，y(t) 通解自由响应)十特解(强制响应)4、直流激励下的一

4、阶电路时域分析同时考虑电路的外部激励和动态元件的初始储能，直流一阶电路的响应存在以下3种情况：零输入响应(Z ero-input response):无外部激励(x(t)=0)但动态元件有初始储能时，仅由初始储能引起的电路响应。T 华 + y(t) = 0，八心 &dtn y(t) = y(0+)e-rty(0+)。 0例如，一阶RC电路的零输入响应Rcdf + u =0、n dt c n u (t) = u (0+)e - rc = Ue %uc(0+) = U0 卫 0i (t) = Cduc (t) = uc (0+) e-； c(t) =c dt - R e TUR (t) = -uc

5、 (t) = -U 0e-t又如，一阶RL电路的零输入响应y( t) =特解，强制(稳态)分量+通解，自由(暂态)分量注1：上述一阶电路的全响应是从微分方程解结构角度进行分解的。除此以外， 一阶电路的全响应还可以按激励与响应间的因果关系进行如下分解：y( t )=y(0+)e-t r y(8)(1- e- r)零输入响应+零状态响应例如,因此，零输入响应和零状态响应都是全响应的特例。注2：若定义时间常数T.响应初值y(0+)和响应稳态值y(8为一阶电路的三要素， 则一阶电路的全响应可直接根据以上公式得到。这种求解全响应的方法称为三要 素解法。并且，三要素法的一般步骤为：/除去动态元件，求取所得

6、网络的等效电阻R，并计算动态电路的时间常数t :时间常数丁:RC电路：t=RC RL电路：t=LIRR是除掉动态元件后所得网络的等效电阻。/利用换路定则及0+等效电路，求取响应初值y(0+);/根据换路并稳定后的电路，求取响应的稳态值y(8)；/按三要素法公式，写出全响应的表达式。例1：(零输入响应问题)：1) t=0时，打开开关S,求uV。2)若电压表量程为50V, 试判断其是否会被损坏。3)讨论电路的改进措施。例2 (零状态响应问题)：t=0开关K打开，求t 0后iL、L及电流源的电压。例3(全响应问题)：已知t=0时开关由1-2,求换路后的uC(t)。5、正弦激励下一阶电路的时域分析us

7、 (t) = Vmsincot + (p)uc (0+) = Uo或 Zz(O+) = Io换路时，电路如何响应?电路方程仍为常系数一阶微分方程：c龙，)+火f)= 乂。),故x(Z) = Msin(ca+。 at时，j(t) =J Msin(cot + cp)e：位=Aet + sin(cot +(p)-(DT -cos(cot + (p)c1 + CO2T2根据初始条件可求得A = y (0+) - M丸sin(pdt jcoscp 于是，产弦激励下一阶动态电路的响应苗：j(t)=，(0+)- +吊而sincperejcosq)小* +sin(ot+(p)tjcos(ot+(p) 若记 7(oo) = M瓦sin(ot+(p)(otjcos(ot+(p),则正弦激励下，一阶电路的 响应可改写为：J(t) = 7(8)+顷0+)-火 8)Io+e?显然，正弦激励下一阶动态电路的响应仍可利用三要素法求解。唯一不同的是, 在响应的自由分量中，需要使用火00)。此外，需要注意的是，此处火8)与利用后面正弦稳态电路相量分析所得结果是 一致的。6、分段直流激励一阶动态电路的时域分析分段直流激励，通常包括下列情况：直流一阶电路中包含有在不同时刻转换的开关；一阶电路本身激励电源的输出是分段直流函数。对于分段直流激励一阶动态电路的时域分析，一般采用子区间划分法进行。即先 按照激励的