本科生学年论文设计

1、PAGE 10/10本科生学年论文（设计）论文（设计）题目 正定矩阵的性质及应用 作 者 分院、 专业 理学分院数学与应用数学专业 班 级 指导教师（职称） 字 数 5488 成果完成时间 正定矩阵的性质及应用 摘 要：我们在化二次型为标准型的过程中，得到了正定矩阵的定义，而关于正定矩阵的等价定理及其性质我们在本文中进行了详细的举例及证明同时，本文也就正定矩阵的性质在矩阵、不等式和极值问题的应用进行了深刻的探讨关键词：正定矩阵；等价定理；性质；应用The nature and application of positive definite matricesAbstract：We are of

2、 the two type is a standard process, obtained the positive definite matrix is defined, and on the positive definite matrix equivalence theorem and its properties in this paper we carried out a detailed examples and proved. At the same time, this paper also has the properties of positive definite mat

3、rix in matrix, inequalities and extremum problems for application of the profound discussion.Key words：Positive definite matrix; equivalence theorem; properties; application目 录TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc22393 1引言 PAGEREF _Toc22393 1 HYPERLINK l _Toc2452 2矩阵的概述 PAGEREF _Toc2452 1 HYPERLINK l _Toc2

4、0299 2.1正定矩阵的等价定理 PAGEREF _Toc20299 1 HYPERLINK l _Toc24639 2.2正定矩阵的性质 PAGEREF _Toc24639 3 HYPERLINK l _Toc25739 3矩阵的应用 PAGEREF _Toc25739 5 HYPERLINK l _Toc23012 3.1正定矩阵在矩阵运算中的的应用 PAGEREF _Toc23012 5 HYPERLINK l _Toc15376 3.2正定矩阵在不等式问题中的应用 PAGEREF _Toc15376 6 HYPERLINK l _Toc13333 3.2.1正定矩阵与一般不等式 PA

5、GEREF _Toc13333 6 HYPERLINK l _Toc217 3.2.1正定矩阵与柯西不等式 PAGEREF _Toc217 7 HYPERLINK l _Toc2754 3.3正定矩阵在多元函数极值问题中的应用 PAGEREF _Toc2754 8 HYPERLINK l _Toc12378 4小结 PAGEREF _Toc12378 10正定矩阵的性质及应用1引言代数学是数学学科中的一个重要分支，而正定矩阵又是其中的重中之重。在二次型证明过程中，我们设是一个实二次型，若对应的任意一组不全为零的实数，都有，则称为实正定二次型，它所对应的对称矩阵为正定对称定称阵，简称正定矩阵2矩

6、阵的概述2.1正定矩阵的等价定理判定一个矩阵是否为正定矩阵时，除用定理外还可以运用一些等价定理以下为一些判定矩阵正定的一些充要条件:定理1 阶实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是：矩阵合同于阶单位矩阵证 充分性 由于阶实对称矩阵是正定矩阵，则其对应的二次型为正二次型另外，正二次型可以经非退化线性替换使得其中，所以矩阵合同于阶单位矩阵必要性 由于矩阵合同于阶单位矩阵，则存在阶可逆矩阵，使得，则其对应二次型得到其中为正定二次型，则也是正定二次型，所以阶实对称矩阵是正定矩阵定理2 阶实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是：矩阵的正惯性指数等于证 充分性 由于阶实对称矩阵是正定矩阵，由定理1得到矩阵合同于阶单位

7、矩阵，所以矩阵的正惯性指数等于 必要性 由于矩阵的正惯性指数等于，则其对应的二次型为正定二次型，所以矩阵是正定矩阵 定理3 阶实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是：存在满秩矩阵，使得成立 证 充分性 由于矩阵是正定矩阵，则矩阵与同阶单位矩阵合同，所以存在实可逆矩阵，使得 必要性 由于矩阵 ,且是实可逆矩阵，则对于所以矩阵是正定矩阵 定理4 阶实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是：个特征根全为正值证 充分性 由于阶实对称矩阵是正定矩阵，则存在正交矩阵，即，满足，其中是矩阵的全部特征值，则矩阵对应的二次型为令，则另外，由矩阵是正定矩阵得到二次型也为正二次型，所以矩阵的特征根全为正值必要性 由于 阶实对称矩

8、阵的特征根全为正值则存在正交矩阵，即，满足，则其对应的二次型可表示为则为正二次型，所以其对应的矩阵是正定矩阵 定理5 阶实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是：矩阵所有顺序主子式都大于零证 充分性 由于阶实对称矩阵是正定矩阵，则其对应的二次型为正定二次型构造二次型函数，则其也为正二次型，则对应的矩阵为正定矩阵，即，所以正定矩阵所有顺序主子式大于零必要性 由于阶实对称矩阵所有顺序主子式都大于零，则其构造的顺序主子式对应的二次函数皆为正二次型得到当时的二次型为正二次型，所以对应的阶实对称矩阵是正定矩阵 定理6 阶实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是：存在满秩矩阵，使成为对角线元素皆正的对角阵证 充分性 由于

9、阶实对称矩阵是正定矩阵，则矩阵合同于阶单位矩阵，且单位矩阵的对角线元素皆为正，而对角线元素皆正的对角阵必定与单位矩合同，所以存在满秩矩阵，使成为对角线元素皆正的对角阵必要性 由于存在满秩矩阵，使成为对角线元素皆正的对角阵，而对角线元素皆正的对角阵必定与单位矩合同，得带矩阵与单位矩合同，所以矩阵是正定矩阵定理7 阶实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是：存在对称正定阵，使得证 充分性 由于矩阵是正定矩阵，且，则对于任意，所以 矩阵是正定矩阵必要性 由于矩阵是阶实对称正定矩阵，则存在正交阵，使得其中（为矩阵的特征向量）所以记，得到 定理8 阶实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是：是正定矩阵 证 充分性 由于

10、矩阵是正定矩阵，则存在实可逆矩阵，使得另外，因为，所以得到矩阵是正定矩阵 必要性 由于矩阵是正定矩阵，则存在实可逆矩阵，使得另外，所以，矩阵是正定矩阵 定理9 阶实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是：存在正交向量组，使 证 充分性 由于另外，因为向量组是正交向量组，则得到是正交矩阵，即所以，矩阵是正定矩阵 必要性 由于矩阵是正定矩阵，则存在正定矩阵，使得令则为正交向量组，所以得到存在正交向量组，使得2.2正定矩阵的性质从正定矩阵的定义及其等价条件我们可得知以下关系性质：性质1 正定矩阵与单位矩阵的关系：如果矩阵是正定矩阵，则矩阵与同阶单位矩阵合同，即存在可逆矩阵,使得证 由于矩阵是正定矩阵，由定理

11、1可得矩阵与同阶单位矩阵合同，所以必定存在可逆矩阵,使得 性质2 正定矩阵与二次型的关系：如果矩阵是正定矩阵，则矩阵对应的实二次型的规范标准型为假设阶实对称矩阵对应的二次型为 证 由于矩阵是正定矩阵，则存在可逆矩阵，使得另外，因为矩阵对应的正定二次型为，令则可以得到所以关系成立 性质3 正定矩阵与特征值的关系：如果矩阵的特征值都大于零 证 因为矩阵是正定矩阵，是矩阵的特征根，则存在正交矩阵，使得，其中另外，因为矩阵对应的正定二次型为，令，可以得到由于，所以得到矩阵的特征值都大于零 性质4 正定矩阵与行列式的关系：如果矩阵是正定矩阵，则矩阵的顺序主子式都大于零 证 因为矩阵是正定矩阵，则可设其对

12、应的正定二次型为令则得到是正定二次型，且对应矩阵也是正定矩阵即存在非异阶矩阵，使得故，所以，即证明正定矩阵的顺序主子式都大于零性质5 对任意实对称矩阵，必有实数，使得与都为正定矩阵 证 由于且矩阵是正定矩阵，则存在正交矩阵，使得其中为矩阵的特征向量，且都大于零，得到故所以，即证明为正定矩阵 同样，取，则，同理可得为正定矩阵 性质6 若矩阵是正定矩阵，则矩阵、（是正整数）都是正定矩阵证 由于矩阵是正定矩阵，则得到矩阵也是正定矩阵，且矩阵的特征根则矩阵的特征值，所以矩阵（是正整数）是正定矩阵又因为，且，所以矩阵是正定矩阵性质7 正定矩阵中绝对值最大的元素一定在主对角线上 证 通过反证法假设是正定矩

13、阵中绝对值最大的一个元素，取矩阵的二阶式得到由于，则得到，即的绝对值大于所以或，即证明正定矩阵中绝对值最大的元素一定在主对角线上 性质8 假设矩阵、都是实方阵（阶数可以不同），如果是正定矩阵，则为证明此性质我们先引入一条辅助性质：若是正定矩阵，则也是正定矩阵证 由于是正定矩阵，则得到矩阵是正定矩阵，有逆矩阵令则因此为正定矩阵，所以子矩阵也是正定矩阵再看性质8证 由于是正定矩阵，则矩阵是正定矩阵，并有逆矩阵设，分别是与矩阵、同阶的单位矩阵，则 由于上式右端与原矩阵合同，因此也是正定矩阵，得到对上式两边取行列式得到又因为，由辅助性质得也是正定矩阵，即成立，所以3矩阵的应用3.1正定矩阵在矩阵运算中

14、的的应用根据判定正定矩阵的各类等价条件及其各类性质我们可以了解得出一下若干种应用：（1）若与是同阶正定矩阵，则也是正定矩阵证 由于矩阵、是正定矩阵，则矩阵、是实对称矩阵，并且对于任意的，都有有，则，即也是实对称矩阵，得到所以矩阵是正定矩阵（2）若与是同阶正定矩阵，则矩阵的特征根都大于零证 由于矩阵、是正定矩阵，则存在非奇异矩阵，使得，得到因此矩阵是正定矩阵，所以与矩阵相似的矩阵的特征根都大于零（3）若矩阵、是同阶正定矩阵，且，则矩阵也是正定矩阵证 由性质（2）得到矩阵的特征根都大于零，另外，且矩阵、是同阶正定矩阵，得到，即矩阵是实对称矩阵，所以矩阵是正定矩阵推论：设是阶对称阵，其中都大于零，若

15、，则矩阵也是正定矩阵证 由于，且，则得到矩阵是正定的对称阵再由性质（3）即可证明矩阵是正定矩阵若矩阵、都是阶正定矩阵，则证 由于矩阵、都是阶正定矩阵，则存在可逆矩阵，使得，其中因此，将其带入得到两边取行列式得到所以3.2正定矩阵在不等式问题中的应用3.2.1正定矩阵与一般不等式实对称矩阵是正定矩阵是由于其对应的实二次型（其中）正定，而二次型正定是指对于任意(其中不全为零)恒有由此，我们也可以通过这个性质来证明不等式是否成立例1 证明：（其中是不全为零的实数）证 由题意可设， 则对应的矩阵为得到矩阵的顺序主子式：，得到矩阵是正定矩阵，即，所以不等式成立3.2.1正定矩阵与柯西不等式我们学过柯西不

16、等式的表达式为同时，也可将其用内积的形式来表示为设矩阵是一个阶正定矩阵，对任意向量，我们定义，从中我们可以看出这是维向量的内积相反，我们可以得出，对于维向量间的任意一种内积，一定存在一个阶正定矩阵使得对任意向量和可以由来定义因此，给定了一个阶正定矩阵，在维向量间就可以由这个矩阵定义一个内积，从而可以得到如下相应柯西不等式：例2 证明不等式:对所有实数和都成立证 由题意可得是由矩阵所定义的,则可以得到矩阵的顺序主子式：，因此矩阵是正定矩阵,所以该不等式是由正定矩阵所确定的内积产生的柯西不等式，即不等式成立从该例题中我们也可将不等式推广为：其中，是任意实数3.3正定矩阵在多元函数极值问题中的应用关

17、于正定矩阵在多元函数极值的判断中，我们有以下判别法则：设元实函数的一阶偏导数等于零的点为，且在点处所有二阶连续偏导数都存在，则得到矩阵当矩阵为正定矩阵时，有极小值；当矩阵为负定矩阵时，有极大值；当矩阵不是正（负）定矩阵时，无极值；当矩阵半正（负）定时，的极值不确定证 由于在处所有二阶连续偏导数都存在,则由泰勒公式可得 （其中）另外,在处的一阶偏导为零,可以得到 因此可以得到（）其中当时，故 由于时，（），因此存在的一个领域，使得在这个区域内的符号与的符号一致，所以由实二次型及正定二次型的定义可以证得该判定法则是正确的例3 讨论函数的极值解 由已知得到，令其都等于零，得到在处的一阶偏导等于零，因此得到矩阵故得到矩阵的顺序主子式：所以矩阵不是正定矩阵，即函数无极值例4 求函数的极值解 由已知得到， 令，得到，得到矩阵在处，得到矩阵的顺序主子式所以矩阵不是正定矩阵，即不是极值点在处，得到矩阵的顺序主子式:所以矩阵是正定矩阵，且是极小值点，极小值为.4小结在本文中我们以深刻探讨了正定矩阵在的各类性质及其在矩阵内部、不等式、多元函数极值问题中的应用作为在矩阵理论中占有特殊地位的正定矩阵，其应用的范围也更加广泛，根据其性质定理我们还可将其应用于几何学、物理学