2022年不等式的各类题型归纳总结

1、学习必备 欢迎下载不等式不等式的解法一、学问导学1. 一元一次不等式 1 当 a0 时,解为2 当 a0 时,解为axbxb；axb；a3 当 a0,b 0 时无解；当a0,b0 时,解为 R2. 一元二次不等式： 如下表 其中 a0,x1,x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0 的两实根,且x1x 2类型ax2+bx+c0 ax2+bx+c0ax2+bx+c0 ax2+bx+c0解集 0 x xx1或 xx2 x xx1或 xx2 x x 1xx 2x x1xx 2 0 x x -b,R xx=-b2a2axR 0 R R 3. 简洁的一元高次不等式：可用区间法或称根轴法 求解,其步骤是：

2、将 fx 的最高次项的系数化为正数；将 fx 分解为如干个一次因式的积；将每一个一次因式的根标在数轴上,从右上方依次通过每一点画曲线；依据曲线显示出的 fx 值的符号变化规律,写出不等式的解集 .4. 分式不等式：先整理成 f x 0 或 f x 0 的形式,转化为整式不等式求解,即：g x g x f x 0 fx gx 0g x f x 0f x 0 g x 0 或 f x g x 0g x 然后用“ 根轴法” 或化为不等式组求解 .二、疑难学问导析1. 不等式解法的基本思路解不等式的过程,实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程,因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原就,实际上

3、高中阶段所解的不等式最终都要转化为一元一次不等式或一元二次不等式,所以等价转化是解不等式的主要思路 . 代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路. 为此,一要能娴熟精确地解一元- - - - - - - - - - - - - 一次不等式和一元二次不等式,二要保证每步转化都要是等价变形.精品pdf 资料 可编辑资料 第 1 页,共 24 页- - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载2. 不等式组的解集是本组各不等式解集的交集,所以在解不等式组时,先要解出本组内各不等式的解集,然后取其交集,在取交集时,肯定要利用数轴,将本组内各不等式的解集在同一数轴上

4、表示出来,留意同一不等式解的示意线要一样高,不要将一个不等式解集的两个或几个区间误看成是两个或几个不等式的解集 .3. 集合的思想和方法在解不等式问题中有广泛的应用,其难点是区分何时取交集,何时取并集 . 解不等式的另一个难点是含字母系数的不等式求解留意分类 .三、经典例题导讲 例 1 假如 kx 2+2kx k+20 恒成立,就实数 k 的取值范畴是 .A. 1k0 B. 1k0 C. 1k0 D. 1k0k 0错解 ：由题意：2 2 k 4 k k 2 0解得： 1k0错因 ：将 kx 2+2kxk+20 看成了肯定是一元二次不等式,忽视了 k0 的情形 .正解 ：当 k0 时,原不等式等

5、价于20,明显恒成立, k 0 符合题意 .k 0当 k 0 时,由题意：2 2 k 4 k k 2 0解得： 1k4 应选 D.错因 ：忽视了 a 4 时, x| 2x4 x| 2 x a ,此时 A 是 B的充要条件,不是充分不必要条件 .正解 ：由 x1 3 得： 2 x4,又由（ x2）x a=0 得 x=2 或 x a,A是 B的充分不必要条件 , x| 2x4 x| 2x a a4 应选 C.- - - - - - - - - - - - - 例 3 已知 fx = ax + x b,如3f10,3f2,6求f3 的范畴 .精品pdf 资料 可编辑资料 第 2 页,共 24 页-

6、- - - - - - - - - - - - -3ab0学习必备欢迎下载错解：由条件得3 2 a b2 6 2 6 a 15 2得 8 b 2 3 3 3 + 得 103 a b 43, 即 10f 3 43 .3 3 3 3 3错因： 采纳这种解法,忽视了这样一个事实：作为满意条件的函数 f x ax x,其值是b同时受 a和 b 制约的 . 当 a 取最大（小）值时,b 不肯定取最大（小）值,因而整个解题思路是错误的 .f 1ab3 37 3.正解：由题意有f2 2 ab,2解得：a12f2f1 ,b22f1f2,33f3 3ab16f25f 1 .把f1 和f2 的范畴代入得16f39

7、93 例 4 解不等式（ x+2）2x+3x200 ,错解 ：（x+2）20原不等式可化为：x+3x 20原不等式的解集为x| x3 或 x2 错因 : 忽视了“” 的含义,机械的将等式的运算性质套用到不等式运算中.正解 ：原不等式可化为：（x+2）2x+3x 20 或（ x+2）2x+3x 2解得： x= 3 或 x 2 或 x2解得： x 3 或 x2- - - - - - - - - - - - - 原不等式的解集为x| x3 或 x2 或 x2 xR 例 5解关于 x 的不等式axabb xab解：将原不等式绽开,整理得：abxababb0 时abab 争论：当ab时,xab当ab时,

8、如ab0 时 x；如a精品pdf 资料 可编辑资料 第 3 页,共 24 页- - - - - - - - - - - - - -当ab时,xabab学习必备欢迎下载ba点评： 在解一次不等式时,要争论一次项系数的符号 . 例 6 关于 x 的不等式 ax 2bx c 0 的解集为 x | x 2 或 x 12求关于 x 的不等式 ax 2bx c 0 的解集解：由题设知 a 0,且 x 2 x 1是方程 ax 2bx c 0 的两根2b 5,c 1a 2 a从而 ax 2bx c 0 可以变形为 x 2 bx c0a a即：x 2 5x 1 01x 22 2点评：二次不等式的解集与二次方程的

9、根之间的联系是解此题的关健,这也表达了方程思想在解题中的简洁应用 . 例 7 不等式 log 2 x 1 6 3 的解集为xx 1 2解：log 2 x 1 6 3, 0 x 16 8,xx x x 1 6 0 xx 0 , 或 x 13 2 2 x 3 2 2 或 x 0解得 x 3 2 2, 3 2 2 1反思 ：在数的比较大小过程中 ,要遵循这样的规律 ,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分 ,再去比较它们剩余部分 ,就会很轻易啦 .一般在数的比较大小中有如下几种方法：1作差比较法和作商比较法,前者和零比较 ,后者和 1 比较大小； 2找中间量 ,往往是 1,在这些数中,有的比

10、1 大,有的比 1 小； ,3运算全部数的值；4选用数形结合的方法,画出相应的图形；5利用函数的单调性等等.四、典型习题导练- - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 24 页精品pdf 资料 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - -1. 解不等式x23x20学习必备欢迎下载x22x32. 解不等式x33x22x6002x23. 解不等式x24x5x24. 解不等式x2 2x1 3x1 xk15. 解不等式161x1x2x22kx6. k 为何值时,下式恒成立：4x26x37. 解不等式3x4x308. 解不等式2 x26x4x2 5.2 简洁

11、的线性规划一、学问导学1. 目标函数 : 是一个含有两个变量 和的 函数,称为目标函数2. 可行域 : 约束条件所表示的平面区域称为可行域 .3. 整点 : 坐标为整数的点叫做整点4. 线性规划问题 : 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,通常称为线性规划问题只含有两个变量的简洁线性规划问题可用图解法来解决5. 整数线性规划 : 要求量取整数的线性规划称为整数线性规划二、疑难学问导析线性规划是一门争论如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学争论、工业设计、经济治理中实际问题的特地学科 . 主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、 物力、财务等资源肯定的条件下,如何使用

12、它们来完成最多的任务；二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务 .1. 对于不含边界的区域,要将边界画成虚线2. 确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法,常用的一种方法是“ 选点法” ：任选一个不在直线上的点,检验它的坐标是否满意所给的不等式,如适合, 就该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否就, 直线的另一侧为所求的平面区域如 直 线 不 过原点,通 常 选 择 原 点 代入检验3. 平 移 直 线 k 时,直线必需经过可行域4. 对于有实际背景的线性规划问题,可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域,此时变动直线的正确位置一般通过这

13、个凸多边形的顶点- - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 24 页精品pdf 资料 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载5. 简洁线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的：数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；解. 三、经典例题导讲xy10（1）查找线性约束条件,线性目标函（3）在可行域内求目标函数的最优 例 1画出不等式组2x3y60表示的平面区域. xy10 x2y20 xy10错解 ：如图（ 1）所示阴影部分即为不等式组2x3

14、y60表示的平面区域. xy100 x2y2错因 一是实虚线不清,二是部分不等式所表示的平面区域弄错了0. . xy10表示的平面区域正解 ：如图（ 2）所示阴影部分即为不等式组2x3y6xy100 x2y2 例 2已知 1xy2, 且 2x+y4, 求 4x2y 的范畴 . 错解 ：由于1x y2 , 2x+y4 , + 得 32x6 1+ 得： 02y3 . 2+ 1 得. 34x2y12 错因： 可行域范畴扩大了. 正解 ：线性约束条件是：1x-y22xy4令 z4x2y,画出可行域如右图所示,由x-y1得 A 点坐标（1.5 ,0.5 ）此时 z4 1.5xy22 0.5 5. - -

15、 - - - - - - - - - - - 由x-y2得 B 点坐标（ 3,1）此时 z4 32xy4精品pdf 资料 可编辑资料 第 6 页,共 24 页- - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载110. - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 24 页54x2y10 例 3已知7x5y2300, 求 x2+y 2 的最值 . x7y114xy1007x5y230错解 ：不等式组x7y110表示的平面区域如右图所示ABC的内部（包括边界） ,4xy100令 z= x2+y2由7x5y230得 A点坐标（ 4, 1）,4xy100此时

16、 z x2+y242+1 2 17,由7x5y230得 B点坐标（ 1, 6）,4xy100此时 z x2+y2（ 1）2+ 6237,由xx7y110得 C点坐标（ 3,2）,4y100此时 z x2+y2（ 3）2+2 213,当x1时 x2+y2取得最大值37,当x3时 x2+y2取得最小值13. y6y2错因 ：误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点A、B、C到原点的距离的平方的最值. 7x5y230正解：不等式组x7y110表示的平面区域如下列图ABC的内部（包括边界） ,4xy100令 z= x2+y2, 就 z 即为点（ x,y）到原点的距离的平方. 由7x5y

17、230得 A点坐标（ 4, 1）,4xy100此时 z x2+y242+1 2 17,由7x5y230得 B点坐标（ 1, 6）,4xy100此时 z x2+y2（ 1）2+ 6237,由xx7y110得 C点坐标（ 3,2）,4y100此时 z x2+y2（ 3）2+2 213,而在原点处,x0,此时 zx2+y20 2+0 20,y0当x1时 x2+y2取得最大值37,当x0时 x2+y2取得最小值0. y6y0精品pdf 资料 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - - 例 4 某家具厂有方木料学习必备欢迎下载. 已知生产每张90m 3,五合板600m 2,预备加

18、工成书桌和书橱出售书桌需要方木料 0.1m 3,五合板 2m 2,生产每个书橱需要方木料 0.2m 3,五合板 1m 2,出售一张书桌可获利润 80 元,出售一个书橱可获利润 120 元. 假如只支配生产书桌,可获利润多少？假如只支配生产书橱,可获利润多少？怎样支配生产可使得利润最大？分析 ： 数据分析列表书桌书橱资源限制x0.2y90木料（ m 3）0 1 02 90 五合板（ m 2）2 1 600 利润（元 / 张）80 120 方案生产（张）x y 0 .1 x设生产书桌x 张,书橱 y 张,利润 z 元,就约束条件为2xy600NyN目标函数 z=80 x+120y 作出上可行域：作

19、出一组平行直线2x+3y=t, 此直线经过点A（100,400）2x+y-600=0 A100,400 x+2y-900=0 2x+3y=0 时,即合理支配生产,生产书桌100 张,书橱 400 张,有最大利润为 zmax=80 100+400 120=56000 元 如只生产书桌,得0 x300,即最多生产300 张书桌,利润为 z=80 300=24000（元）如只生产书橱,得0,先假设,由题设及其它性质,推出冲突,从而确定. 凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“ 至多” 、“ 至少” 、“ 不存在” 、“ 不可能” 等词语时,可以考虑用反证法. 精品pdf 资料 可编辑资料

20、 - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载5. 换元法： 换元法是对一些结构比较复杂,变量较多, 变量之间的关系不甚明白的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新的启发和方法 . 主要有两种换元形式.1 三角代换法：多用于条件不等式的证明,当所给条件较复杂, 一个变量不易用另一个变量表示,这时可考虑三角代换,将两个变量都有同一个参数表示 . 此法假如运用恰当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化为三角问题； 2 增量换元法：在对称式 任意交换两个字母,代数式不变 和给定字母次序 如 等 的不等式, 考虑用增

21、量法进行换元,其目的是通过换元达到减元,使问题化难为易,化繁为简 . 如 + =1,可以用 =1- , =或 =1/2+ , =1/2- 进行换元 . 二、疑难学问导析1. 在用商值比较法证明不等式时,要留意分母的正、负号,以确定不等号的方向 . 2. 分析法与综合法是对立统一的两个方面,前者执果索因, 利于摸索, 由于它方向明确,思路自然,易于把握；后者是由因导果,宜于表述,由于它条理清晰,形式简洁,适合人们 的思维习惯 . 但是,用分析法探求证明不等式,只是一种重要的探求方式,而不是一种好的 书写形式,由于它表达较繁,假如把“ 只需证明” 等字眼不写,就成了错误 . 而用综合法书写的形式,

22、它掩盖了分析、探究的过程. 因而证明不等式时,分析法、综合法常常是不能分离的 . 假如使用综合法证明不等式,难以入手常常用分析法探究证题的途径,之后用综合法形式写出它的证明过程,以适应人们习惯的思维规律 分析,一边综合,实现两头往中间靠以达到证题的目的. 仍有的不等式证明难度较大,需一边 . 这充分说明分析与综合之间互为前提、相互渗透、相互转化的辩证统一关系 . 分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点 . 3. 分析法证明过程中的每一步不肯定“ 步步可逆” ,也没有必要要求“ 步步可逆” ,因为这时仅需查找充分条件,而不是充要条件. 假如非要“ 步步可逆” ,就限制了分析法解

23、决问题的范畴,使得分析法只能使用于证明等价命题了 . 用分析法证明问题时,肯定要恰当地用好“ 要证” 、“ 只需证” 、“ 即证” 、“ 也即证” 等词语 . 4. 反证法证明不等式时,必需要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出冲突 . 5. 在三角换元中,由于已知条件的限制作用,可能对引入的角有肯定的限制,应引起高度重视,否就可能会显现错误的结果 应用 . 三、经典例题导讲. 这是换元法的重点,也是难点,且要留意整体思想的 例 1 已知 abab0, 比较1 与 a1 的大小 . b错解 ： abab0 ,1 bab0 ,bba0,1 b0 或 ba0,b a0,b0, a1 a1 . b

24、）11 例 2当 a、b 为两个不相等的正实数时,以下各式中最小的是（A.a2bB.abC.a22b2D.a12精品pdf 资料 可编辑资料 第 11 页,共 24 页- - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载错解 ：所以选 B. 2 2错因是由于在 a b、ab 、a b 中很简洁确定 ab 最小,所以易误选 B. 而事2 2实上三者中最小者,并不肯定是四者中最小者,要得到正确的结论,就需要全面比较,不行1 1遗漏 a b 1与前三者的大小比较 . 2正解 ：由均值不等式 a b ab 及 a 2+b 22ab, 可知选项 A、B、C中,ab 最小,而21 1

25、a b 12 ab,由当 a b 时,a+b2 ab , 两端同乘以 ab ,可得（ a+b）ab2 a b2ab, 2 abab ,因此选 D. a b1 1 例 3 已知： a0 , b0 , a+b=1, 求a+ a 2+b+ b 2的最小值 . 错解 : a+ 1 2+b+ 1 2=a 2+b 2+ 12 + 12 +4 2ab+ 2 +44 ab 1+4=8, a b a b ab aba+ 1 2+b+ 1 2的最小值是 8. a b错因：上面的解答中, 两次用到了基本不等式 a 2+b 22ab,第一次等号成立的条件是 a=b= 1 ,2其次次等号成立的条件是 ab= 1 ,明显

26、,这两个条件是不能同时成立的 . 因此, 8 不是ab最小值 . - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 24 页正解： 原式 = a2+b 2+1+1+4= a2+b 2+1+1+4=a+b22ab+1 + a1 b22 +4 aba2b2a2b2= 1 2ab1+a12+4 ,2b由 aba2b2=1得： 12ab11 = 21 , 且 2a1216,1+a1217,42b2b原式1 17+4= 225 当且仅当 a=b= 21 时,等号成立 ,2a + 1 a2 + b + 1 b2的最小值是25 2 . 例 4已知 0 x 1, 0 a 1 ,试比较|lo

27、ga1x|和|loga 1x|的大小 . 解法一 ：|loga1x 2 |loga1x 2 |loga1x loga1xloga1x loga1x loga 1x2loga1x1x0 1 x 2 1, 01x1loga 1x2loga1x01x1x精品pdf 资料 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - -|loga 1x|log学习必备|欢迎下载a 1x 解法二 ：loga1x log1x 1x log1x1x log 1x11xxlog1x1xloga1x 1x21log1x1x200 1 x 2 1, log1x1x21log1x1x21|loga 1x |log

28、a 1|解法三 ： 0 x 1, 0 1 x 1, 1 1 + x 2, xyac + bdloga 1x0 ,loga 1x 0左右 = loga1xloga 1xloga 1x20 1 x 2 1, 且 0 a 0 ,求证：x1x115x2x证：构造函数fx x1x0 就x12, 设 2xx精品pdf 资料 可编辑资料 第 13 页,共 24 页- - - - - - - - - - - - - -由ff学习必备欢迎下载11111明显2 0, f 1 0, 0 上式 0 f x在2,上单调递增,左边2 52四、典型习题导练1. 比较（ a+3） a5 与（ a+2）（a-4 ）的大小 .

29、2. 已知 a, b, c, d 都是正数,求证：abcdacbd4abcd13223. 已知 x 0 , y 0 , 2x + y = 1 ,求证：1xy4. 如x2y21,求证：|x22xyy2|21 5. 如 x 1 ,y 1 ,求证：xy1x1 y6证明：如a 0 ,就a212a12a2a 5.4 不等式的应用一、基础学问导学1. 利用均值不等式求最值：假如 a1,a2R +,那么 a b ab .22. 求函数定义域、值域、方程的有解性、 判定函数单调性及单调区间,确定参数的取值范畴等. 这些问题一般转化为解不等式或不等式组,或证明不等式 . 3. 涉及不等式学问解决的实际应用问题,

30、这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值 . 二、疑难学问导析不等式既属数学的基础学问,又是解决数学问题的重要工具,在解决函数定义域、 值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范畴的确定、曲线位置关系的争论、解析几何、立体几何中的最值等问题中有广泛的应用,用题问世,其特点是：特殊是近几年来, 高考试题带动了一大批实际应1问题的背景是人们关怀的社会热点问题,如“ 物价、 税收、 销售收入、 市场信息”等,题目往往篇幅较长. 2函数模型除了常见的“ 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数” 等标准形式外,

31、又显现了以“ 函数- - - - - - - - - - - - - yaxb,yax2. b,ykabx cax dbx ”xx为模型的新的形式精品pdf 资料 可编辑资料 三经典例题导讲 第 14 页,共 24 页- - - - - - - - - - - - - - 例 1 求 y=x25的最小值 . 学习必备欢迎下载x242错解 ： y= x2 5x 24 2 12 x 24 2 12 x 4 x 4 x 4y 的最小值为 2. 错因 ：等号取不到,利用均值定理求最值时“ 正、定、等” 这三个条件缺一不行 . 正解 ：令 t= x 2 4 , 就 t 2 , 于是 y= t 1 t 2

32、 t由于当 t 1时, y= t 1是递增的,故当 t 2 即 x=0 时, y 取最小值 5 . t 2 例 2 m为何值时,方程 x 2+2m+1x+m 23=0 有两个正根 . 2 m 1 0错解 ：由根与系数的关系得 2 m 3,因此当 m 3 时,原方程有两个m 3 0正根 . 错因 ：忽视了一元二次方程有实根的条件,即判别式大于等于 0. 13m 2 m 1 2 4 m 2 3 0 4正解：由题意：2 m 1 0 m 12 2m 3 0 m 3 或 m 313 m ,3 因此当 13 m 3 时,原方程有两个正根 . 4 4 例 3 如正数 x,y 满意 6x 5y 36,求 xy

33、 的最大值解：由于 x,y 为正数,就 6x,5y 也是正数,所以6 x 56 x 5 y 30 xy2当且仅当 6x=5y 时,取“=” 号因 6x 5y 36,就 30 xy 36,即 xy 54,所以 xy 的最大值为 54 . 2 5 5 例 4 已知：长方体的全面积为定值 S,试问这个长方体的长、宽、高各是多少时,它的体积最大,求出这个最大值分析 ：经过审题可以看出,长方体的全面积 S 是定值因此最大值肯定要用 S 来表示 首要问题是列出函数关系式设长方体体积为 y,其长、宽、高分别为 a,b,c,就 y=abc由于 a+b+c 不是定值,所以确定要对函数式进行变形可以利用平均值定理

34、先求出 y 2 的最大值,这样 y 的最大值也就可以求出来了解：设长方体的体积为y,长、宽、高分别是为a,b,c,就y=abc,2ab+2bc+2ac=S而- - - - - - - - - - - - - y2=（abc）2=（ab）（ bc）（ac）精品pdf 资料 可编辑资料 第 15 页,共 24 页- - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载2有最小值当且仅当 ab=bc=ac,即 a=b=c 时,上式取“=” 号, y答：长方体的长、宽、高都等于6s 时体积的最大值为 6s6s. 36说明 ：对应用问题的处理,要把实际问题转化成数学问题,列好函数关系式是求

35、解问题的关健 . 四、典型习题导练1. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m 3, 深为 3m,假如池底每 1m 2的造价为 150 元,池壁每 1m 2的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元？2.证明：通过水管放水,当流速相同时,假如水管截面的周长相等,那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大 .3. 在四周体 P-ABC中, APB=BPC=CPA=90 ,各棱长的和为 m,求这个四周体体积的最大值4.设函数 fx=ax2+bx+c 的图象与两直线|y=x,y=-x ,均不相交,试证明对一切xR都有|ax2bxc41|. |a5青工小李

36、需制作一批容积为 径应具有怎样的比例？V 的圆锥形漏斗,欲使其用料最省,问漏斗高与漏斗底面半6轮船每小时使用燃料费用 单位：元 和轮船速度 单位：海里时 的立方成正比已知某轮船的最大船速是 18 海里时, 当速度是 10 海里时时, 它的燃料费用是每小时 30 元,其余费用 不论速度如何 都是每小时 480 元,假如甲、乙两地相距 1000 海里,求轮船从甲地行驶到乙地,所需的总费用与船速的函数关系,并问船速为多少时,总费用最低？5.5 推理与证明一、基础学问导学1. 推理一般包括合情推理和演绎推理 . 2. 合情推理：依据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、试验和实践的- -

37、- - - - - - - - - - - 第 16 页,共 24 页结果,以及个人的体会和直觉等估计某些结果的推理过程 . 归纳、类比是合情推理常用的思维方法 . 精品pdf 资料 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载3. 归纳推理：依据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理 . 4. 归纳推理的一般步骤：通过观看个别情形发觉某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）. 5. 类比推理：依据两类不同事物之间具有某些类似性,推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理 . 6. 类比

38、推理的一般步骤：找出两类事物之间的相像性或一样性；从一类事物的性质去估计另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）. 7. 演绎推理：依据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理 . 8. 直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法 反证法 . 9. 分析法：从缘由推导到结果的思维方法 . 10. 综合法：从结果追溯到产生这一结果的缘由的思维方法 . 11. 反证法：判定非 q 为假,推出 q 为真的方法 . 12. 应用反证法证明命题的一般步骤：分清命题的条件和结论；做出与命题结论相冲突的假定； 由假定动身, 应用正确的推理方法,推出冲突的结果； 间接证明命题为真 . 1

39、3. 数学归纳法：设pn是一个与自然数相关的命题集合,假如证明起始命题 p1成立；在假设 pk成立的前提上,推出 pk1 也成立,那么可以确定,pn对一切正整数成立 . 14. 数学归纳法的步骤：（1）证明当（如或 2 等）时,结论正确；时结论也正确（2）假设时结论正确,证明二、疑难学问导析1. 归纳推理是依据一类事物的部分对象具有某种性质,性质的推理 . 而类比推理是依据两类不同事物之间具有某些类似性,物类似的性质的推理 . 推出这类事物的全部对象都具有这种 推出其中一类事物具有另一类事2. 应用反证法证明命题的规律依据：做出与命题结论相冲突的假定,由假定动身,应用正 确的推理方法,推出冲突

40、的结果 3. 数学归纳法是一种证明方法,归纳推理是一种推理方法 .三、经典例题导讲- - - - - - - - - - - - - 例1 an 是正数组成的数列, 其前 n项和为s , 并且对于全部的自然数n ,a 与 2的等差中项等于s 与2的等比中项 . 1 写出数列 an的前 3项; 2 求数列 an 的通项公式 写出推证过程 ; 错解 ：由 1 猜想数列 a 有通项公式a =4 n -2. 下面用数学归纳法证明数列a 的通项公式是精品pdf 资料 可编辑资料 第 17 页,共 24 页- - - - - - - - - - - - - -an=4n -2. n N. 学习必备欢迎下载

41、当 n =1时, 由于 4 1-2=2, 又在 1 中已求出a =2, 所以上述结论成立. 假设 n=k时结论成立 , 即有ak=4 k -2. 由题意 , 有ak222 sk将a =4k -2 代入上式,得2 k2 ks,解得sk2k2由题意 , 有ak122s k1,s k1ska k12将sk2k2代入,化简得a2 k14a k1416 k20解得ak124k. ak124k4k1 2这就是说 , 当 n=k+1时, 上述结论成立 . 依据、 , 上述结论对全部的自然数 n成立 . 错因在于解题过程中忽视了取值的取舍 . 正解 ：由 1 猜想数列 an 有通项公式 an=4n-2. -

42、- - - - - - - - - - - - 猜想数列 a 有通项公式a =4 n -2. . 下面用数学归纳法证明数列a 的通项公式是an=4n -2. n N. 当 n =1时, 由于 4 1-2=2, 又在 1 中已求出a =2, 所以上述结论成立假设 n=k时结论成立 , 即有ak=4 k -2. 由题意 , 有ak222 sk将a =4k -2 代入上式,得2 k2 ks,解得sk2k2由题意 , 有ak122s k1,s k1ska k12将sk2k2代入,化简得精品pdf 资料 可编辑资料 第 18 页,共 24 页- - - - - - - - - - - - - -a2 k

43、14a k1416 k20学习必备欢迎下载解得ak124k. 由a k10ak124k4 k1 2这就是说 , 当 n=k+1时, 上述结论成立 . 依据、 , 上述结论对全部的自然数 n成立 . 例2 用数学归纳法证明对于任意自然数,错解 ：证明：假设当（ k N）时,等式成立,即时,时,等式成立,那么当这就是说,当- - - - - - - - - - - - - 可知等式对任意kN成立的情形,所以等式成立错因在于推理不严密,没有证明当正解 ：证明：（ 1）当时,左式,右式（2）假设当（）时,等式成立,即那么当时,精品pdf 资料 可编辑资料 第 19 页,共 24 页- - - - -

44、- - - - - - - - -学习必备 欢迎下载这就是说,当 时,等式成立由（ 1）、（ 2）,可知等式对任意 k N成立 例 3 是否存在自然数 m ,使得 对任意自然数,都能被 整除,如存在,求出 的最大值,并证明你的结论；如不存在,说明理由分析 此题是开放性题型,先求出 f 1 ,f 2 ,f 3 再归纳、猜想、证明解 ：, 猜想,能被 36 整除,用数学归纳法证明如下：能被 36 整除（1）当时,能被 36 整除（2）假设当nk,（ kN）时,那么,当时,由归纳假设,能被 36 整除,- - - - - - - - - - - - - 第 20 页,共 24 页当为自然数时,为偶数,就能被 36 整除能被 36 整除,这就是说当时命题成立由（ 1）、（ 2）对任意,fn 都能被 36 整除当取大于 36 的自然数时,f 136不能被整除,所以36 为最大精品pdf 资料 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - - 例 4设点A 是曲线 C：xy1 x学习必备0欢迎下载yx的交点,过A 点作直线yx0 ,y与直线的垂线交 轴于 B ,过 B 点作直线 y x 的平行