8-1第二类日方程

1、第8章广义坐标中的-日原理由动能定理到第二类日方程第二类日方程第8第8章第8章d d(1 mv v ) d (1 mv 2 ) dT理：理约束系统：广义坐标为q1, q2, , qN22动能是的标量，运算方便；完整r质点i矢径：r riri r r ri能量在物理中具有普遍意义；ni di ri q2 , ,qN , t m r Q*dt qiqqq常用运动量、列运动微分方程；ki i k k nni1kk质系动力学普遍方程： fi ri mi ai ri 0对单度问题能直接列出最终的运动微 d n r d r n i i i i m r m ri1i1分方程；只有一个方程，不能处理多ii N

2、 ndt qk ndtq f r f i1理想iii度问题。ki1kk 1 i 1 d nr ri 1n im r m 第二类日方程：iiNQk qk 0dt ik保持动能定理的优点；把动knnN n n m a r m d 11完整系统 q2r2m r2i iiii i ti 1i 1k i1 r ri iN* 0 证明过程：从广义坐标表示的动力学普遍方程出发；模仿动能定理作变换，转换为用能量表示。kk d T1 i1k d 广义主动力和广义惯性力相互平衡！ k Q *kk第二类拉格朗日方程及其应用第二类拉格朗日方程及其应用第二类拉格朗日方程及其应用第二类拉格朗日方程及其应用广义惯性力第二日

3、方程2002 年12 月朗日方程及其应用参考题： 8-1；8-8；8-12作业： 8-2；8-4；8-5日关系式第二类日方程日方程的特点第8章第8章第8章Q* d T T2 , ,qN , t) 0日方程的方程数等于质系度kkdt对t求导数，是最少量方程kq 求导 d T T Q ,Nrr第二类 k 1,2, N不需要考虑理想约束的约束反力动能计算只需要分析速度，不需加速度dt riiqkqk日方程kj 1如主动力都是有：对qk求导k日方程是标量方程 d T T VV 0 2r2 rrNN qkdt i qk基于能量的方程，可推广至非机械（如tq jkkj1主动力为时电磁）系统。的日方程L =

4、 T V 日函数，或动势交换对 t 和对 q 的求导顺序 k势例1例1解日方程的解题步骤第8章第8章第8章理 束，一个度。否理想完整约束，能否用拉氏方程；主动力是否有势，用何种形式的拉氏方程。机构在水平面内运动。质量为m的行均质曲柄AB 带动行星齿轮 II在固定齿轮I 上取曲柄的转角 为广义坐标。纯滚动。齿轮II的质量为m2 ， 半径为r2。定T 1 (2m 9m )(r r )22确定系统的度数，选择广义坐标。2 1 2齿轮I的半径为r 。杆与轮铰接处的摩擦力忽121略不计。当曲柄受力偶矩为M的常力偶作用按所选广义坐标，写出系统动能、势能或广义力。 M MQ时，用日方程求曲柄的角加速度。T

5、1 ( 2m 9m )(r r ) 22 1 2把动能、广义力或日函数代入 6朗日方程。共得N个二阶常微分方程。利用初始条件，求解日方程。N个二阶常微分方程对时间积分时需要2N个初始条件：6M16 (2m 9m )(r r )2 1 2( 2m 9m )(r r ) M222 12qqt = 0 时给定：k 0 和 k 0和动能定理结果一致第二类拉格朗日方程及其应用第二类拉格朗日方程及其应用第二类拉格朗日方程及其应用第二类拉格朗日方程及其应用第二类拉格朗日方程及其应用第二类拉格朗日方程及其应用 d T T Qdt d L L Q , k 1,2, N 主动力既有dtqkk力又有非 d L L

6、0, k 1,2, Ndtqk ri d ri qkdt qk 例2例2用例2解第8章第8章第8章x 2 1 mB (x 2 l2 2 2lx cos ) mB gl cos理 二个约束，有势，度。yAm g方程求椭圆摆的运动微分方程2xAx取x和为广义坐标系统的势能为OL 0L (m m )x m l cos xxABB ABBd LV mBgl cos ( m m )x m l cos m l sin2dt xBB系统的动能为 (mA m B )x mB l cos mBl 2 sin 0 动量方程mBg11LLT m v m v22 mBl x sin mBgl sin mBl2 mBl

7、x cos A AB B 2211 m x m ( x l 2lx cos)d L22 22 m l m lxcos ml x sinAB222dt BBB l xcos g sin 0 系统的日函数为动能定理L T V同时导出 2 个方程，而动能定理只得 1 个方程。例3例3解例3解第8章第8章第8章动约束 ，解M半的圆环在力偶M Ldt Q代之于约束反力M。系统矩为M的力偶作用下以具有两个度，取 和角速度 匀速转动，质 为广义坐标。mg为，y量为m的可在圆环yM ( J mR2 sin2 ) 2mR2 siM不是。上滑动。已知圆xxO将约束条件 和 0 代入上式，即得为使圆环匀角速转动所需

8、施加的力偶矩 M为O环对y轴的转动惯量为J，忽略摩擦力。求为使圆环匀角速转动所需施加的力偶矩M。1L 2 ( J mR sin ) 22 2RRRR1 m2Qmm M MM 2mR2 si还有对度 的一个方程 L 0 L (J mR2 sin2 )d L L 0 d L (J m R2 sin2 ) 2mR 2 sidt dt 第二类拉格朗日方程及其应用第二类拉格朗日方程及其应用第二类拉格朗日方程及其应用第二类拉格朗日方程及其应用第二类拉格朗日方程及其应用第二类拉格朗日方程及其应用 d L L 0, k 1,2 dt qkymA g x OAxBmB g例4例4例4解解第8章第8章第8章理约束

9、，有势，二个度。 3 m)x mx mxx cos mgx sin 用日方程列写系统的运动微分方程。2224rrr取x和xr 为广义坐标。yLLx 0 ( M m )x mxr cos x2 xr111 1 rxT Mx2 m2 x cos ) mr2O 22r2 2 r2xCd L ( M m )x mx cos 12 3 2 ( M m)x mx mx x cosdt xrvrrxC24 x L mg sin mx mx cosL 3rxV mgx sin xrxr2rrO 13d L 3 mx mxcos L ( M m)x mx mxx cos mgx sin2224rrrdt x2r r x : (M m )x mxr cos 0 x : 3 mx mxcos mg sin 0rr2例5例5解第8章第8章义坐标， x 从静伸长位置起算。选m, M, k, a。求：系统运动微分方程。rT M x 2 1 m1 cos)22rxO第二类拉格朗日方程及