人教版八下数学 专题三 平行四边形中的最值问题

1、人教版八下数学 专题三 平行四边形中的最值问题如图，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 最小，则最小值为 A 3 B 23 C 26 D 6 如图，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点，点 M，N 分别是 AB，BC 边上的中点，则 MP+PN 的最小值是 A 12 B 1 C 2 D 2 【测试 2 】如图，在正方形 ABCD 中，AB8，AC 与 BD 交于点 O，N 是 AO 的中点，点 M 在 BC 边上，且 BM6P 为对角线 BD 上一点，则 PM-PN

2、的最大值为 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6，点 P 是矩形 ABCD 内一动点，且 SPAB=12SPCD，则 PC+PD 的最小值为 矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 B 的坐标为 3,4，点 D 是 OA 的中点，点 E 在线段 AB 上，当 CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，A=120，点 P，Q，K 分别为线段 BC，CD，BD 上的任意一点，求 PK+QK 的最小值如图，在边长为 1 的菱形 ABCD 中，ABC=60，将 ABD 沿射线 BD 的方向平移得到 ABD，分别连接 AC，AD，BC，求 AC+

3、BC 的最小值如图，在 RtABC 中，BAC=90，AB=3，AC=4，点 D 为斜边 BC 上的一个动点，过 D 分别作 DMAB，垂足为点 M，作 DNAC，垂足为点 N，连接 MN，则线段 MN 的最小值为 如图，以边长为 2 的正方形的中心 O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于 A，B 两点，线段 AB 的最小值为 如图，在 ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点 M 是 AC 边上任意一点，连接 MB，以 MB，MC 为邻边作平行四边形 MCNB，连接 MN，则 MN 的最小值为 如图，在菱形 ABCD 中，AB=4，BAD=120，AEF 为正三角形，点

4、E，F 分别在菱形的边 BC，CD 上滑动，且 E，F 不与 B，C，D 重合当点 EF 在 BC，CD 上滑动时，求 CEF 面积的最大值如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=2，E 为 AB 的中点，F 为 EC 上一动点，P 为 DF 中点，连接 PB，求 PB 的最小值答案1. 【答案】B2. 【答案】B3. 【答案】 2 【解析】如图所示，以 BD 为对称轴作 N 的对称点 N，连接 PN，MN，根据轴对称性质可知，PN=PN， PM-PN=PM-PNMN，当 P，M，N 三点共线时，取“=”， 正方形边长为 8， AC=2AB=82， O 为 AC 中点， AO=OC=42，

5、 N 为 OA 中点， ON=22， ON=CN=22， AN=62， BM=6， CM=AB-BM=8-6=2， CMBM=CNAN=13， PMABCD，CMN=90， NCM=45， NCM 为等腰直角三角形， CM=MN=2，即 PM-PN 的最大值为 2，故答案为：24. 【答案】 45 5. 【答案】如图，作点 D 关于直线 AB 的对称点 H，连接 CH 与 AB 的交点为 E，此时 CDE 的周长最小 D32,0，A3,0， H92,0， 直线 CH 解析式为 y=-89x+4， x=3 时，y=43， 点 E 坐标为 3,436. 【答案】如图，过点 C 作 CEAB，垂足为

6、点 E 在菱形 ABCD 中，AB=2，A=120， ABC=60，BC=2，BD 平分 ABD BE=1，CE=3 BD 平分 ABD， 在 AB 上作点 P 关于 BD 的对称点 P， PK+QK=PK+KQ， 当 P，K，Q 三点共线且 PQAB 时，PK+QK 有最小值，即最小值为平行线 AB，CD 的距离，则最小值为 37. 【答案】如图，过点 C 作直线 lBD，以直线 l 为对称轴作点 B 的对称点 E，连接 CE，AE，AC设 AC 与 BD 交于点 O，BE 与直线 l 交于点 F，则 BC=CE，EBD=90由 ABC=60，AB=BC，易得 AC=AB=1，BF=OC=1

7、2AC=12， BE=2BF=1由平移的性质可知 ABD=ABD=30， ABE=30+90=120 AB=BE=1，AB=AD，ABE=BAD=120， ABDBEA， AE=BD 在 RtABO 中，AO=12AC=12， BO=32， BD=3， AE=3 在 AEC 中，AC+CEAE， 当 A，C，E 共线时，AC+BC 有最小值为 38. 【答案】 125 9. 【答案】 2 10. 【答案】 12013 11. 【答案】如图，连接 AC 四边形 ABCD 为菱形，BAD=120，AEF 为正三角形， 1+EAC=60，3+EAC=60， 1=3， BAD=120， ABC=60，

8、 ABC 和 ACD 为等边三角形， 4=60，AC=AB， 在 ABE 和 ACF 中， 1=3,AB=AC,ABC=4, ABEACFASA， SABE=SACF， S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值作 AHBC，垂足为 H 点，则 AH=23， S四边形AECF=SABC=12BCAH=43由“垂线段最短”可知：当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短， AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，此时 SAEF=33又 SCEF=S四边形AECF-SAEF，则此时 CEF 的面积就会最大， SCEF=S四边形AECF-SAEF=312. 【答案】如图：当点 F 与点 C 重合时，点 P 在 P1 处，CP1=DP1；当点 F 与点 E 重合时，点 P 在 P2 处，EP2=DP2所以 P1P2CE 且 P1P2=12CE当点 F 在 EC 上除点 C，E 的位置处时，点 P 的运动轨迹是线段 P1P2，所以当 BPP1P2 时，PB 取得最小值因为矩形 ABCD 中，AB=4，AD=2，E 为 AB 的中点，所以 CBE，ADE，BCP1 为等腰直角三角形，CP1