线性系统频域分析

1、关于线性系统的频域分析 第一张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出线性系统的时域分析综述频率特性是研究自动控制系统的一种工程方法。应用频率特性可以间接地分析系统的动态性能与稳态性能。频率特性法的突出优点是组成系统的元件及被控对象的数学模型若不能直接从理论上推出和计算时，可以通过实验直接求得频率特性来分析系统的品质。其次，应用频率特性法分析系统可以得出定性和定量的结论，并且有明显的物理意义。在应用频率特性法分析系统时，可以利用曲线，图表及经验公式，因此，用频率特性法分析系统是很方便的。 第二张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出本章是本书的重点，本章的重点有：乃氏图的绘制；伯德图

2、的绘制；乃奎斯特稳定判剧；系统的相对稳定性。 第三张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出第四张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出基本概念1 何谓乃氏（Nyquist）图在复平面上，当 由 变化时，向量 端点的轨迹，称为幅相频率特性图即乃奎斯特图通常又称为极坐标图，简称乃氏图乃氏图的优点：它可以在一张图上描绘出整个频域的频率响应。不足之处是，不能明显地表示出开环传递函数中每个单独因子的作用。0 第五张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出第六张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出2 何谓尼氏（Nichols）图尼氏图又称为对数幅相图，对数幅相图采用直角坐标系，其中

3、取幅频特性 的对数 为纵坐标，单位为分贝（dB），线性分度，取相频特性 做横坐标单位为度（），线性分度，对数幅相图是以频率 为参变量的。 第七张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出第八张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出3 何谓伯德（Bode）图对数幅频特性曲线以频率 为横坐标，并采用对数分度；纵坐标表示对数幅频特性的函数 ，单位为分贝（dB），线性分度，对数相频特性曲线的横坐标与对数幅频特性曲线相同；纵坐标表示相频特性的函数值单位为度（）线性分度，对数幅频特性和对数相频特性组成的对数坐标图，称之为伯德图。第九张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出第十张，PPT共九十

4、二页，创作于2022年6月退出4 何谓频率响应系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应。开环系统对正弦输入的稳态响应称为开环频率响应；闭环系统对正弦输入稳态响应称为闭环频率响应；第十一张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出第十二张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出（1）其稳态输出也是与输入信号频率相同的正弦信号；（推倒P129）（2）稳态输出信号的幅值为 ，得称为系统的幅频特性；（3）稳态输出相对正弦输入的相移为称为系统的相频特性， 称为相位滞后， 称为相位超前。在线性定常系统中，系统或元部件的正弦输入信号为 ，当频率由0变化到 时，则其输出量的稳态分量的复数形式与输入量的复数形

5、式之比，称为频率特性。记为 第十三张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出5 何谓最小相位系统和非最小相位系统在s平面右半部没有极点和零点的传递函数称为最小相位传递函数；反之，在s平面右半部有极点和零点的传递函数称为非最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统；反之，称为非最小相位系统。第十四张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出第十五张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出第十六张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出6 何谓幅角定理在s平面上任选一封闭曲线 ，并使 上每个点不包含 的零点与极点，则 映射到 平面上也是一条封闭曲线。当s顺时针沿 变

6、化一周时， 向量端点轨迹按顺时针围绕原点总圈数 等于封闭曲线 内包围的零点数目与极点数目之差，其中， 与 是指 在 内的零点数与极点数。第十七张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出第十八张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出 对的分析第十九张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出7 何谓负穿越在乃氏图上，开环频率特性，从上半部分穿过负实轴的 段到实轴的下半部分，称为正穿越；开环频率特性从下半部穿过负实轴的 段到实轴的上半部分，称为负穿越；起始于（或终止于） 段的负实轴的正、负穿越称为正负半穿越；在伯特图上，在幅值 的区域内，当角频率 增加时，相频特性曲线 从下向上穿越 线

7、称为正穿越；相频特性曲线 从上向下穿越 线称为负穿越；第二十张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出8 何谓控制系统的相对稳定性在控制系统的基础上，进一步表征其稳定程度高低的概念，称为控制系统的相对稳定性。第二十一张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出5.2 乃氏图及伯特图的绘制频率响应法是一种图解法，因而简捷而准确地作出满足工程分析和设计需要的系统开环频率特性曲线是非常重要的。幅相曲线主要用于判定闭环系统的稳定性，故只需要概略地绘制，而对于对数频率特性伯特图，工程上采用简便作图法，即利用对数运算的特点和典型环节的频率特性，绘制系统开环对数幅频渐近特性。第二十二张，PPT共九十二

8、页，创作于2022年6月退出1 乃氏图的绘制（1）基本法1）作表格2）在复平面上找到相应的点，用光滑曲线连起来。表5-1 幅相表第二十三张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出（2）求实部、虚部分别计算 的实部和虚部，在复平面上找到相应点，用光滑曲线连起来。第二十四张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出（3）找特殊点找到几个特殊点绘制大致图形若存在渐近线，找出渐近线，绘出幅相频率特性图，如果需要另半部分，可以用镜像原理，做出全频段的幅像特性图 第二十五张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出 典型环节的乃氏图（幅相频率图）的绘制1 比例环节第二十六张，PPT共九十二页，创作

9、于2022年6月退出 2 积分环节和微分环节第二十七张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出 3 惯性环节和一阶环节第二十八张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出 证明写出实部与虚部各自的参量方程如下：第二十九张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出 第三十张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出 4 型系统的开环频率特性 第三十一张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出 第三十二张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出 第三十三张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出 第三十四张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出 第三十五张，PPT共九十

10、二页，创作于2022年6月退出2 伯特图的绘制（1）将系统的开环传递函数化为典型环节的连乘积形式；（2）找出每一个典型环节对数频率特性的交接频率与斜率；（3）在 处作20lgk，在此基础上作积分环节，然后按转折频率由小至大依次作出其它环节；（4）进行必要的修正说明：在绘制Bode图时，一般惯性环节无特殊说明不需要修正；而振荡环节需要修正。第三十六张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出（5）分别作出每个典型环节的相频特性，然后叠加；或者先作对数相移计算表，然后在半对数坐标纸上找到相应点再用平滑曲线连接而成。 第三十七张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出1 比例环节第三十八张，P

11、PT共九十二页，创作于2022年6月退出2 积分环节第三十九张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出3 惯性环节第四十张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出4 振荡环节第四十一张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出4 振荡环节第四十二张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出第四十三张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出4 其他环节第四十四张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出第四十五张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出5.3 乃氏判剧的八种形式1 形式闭环系统稳定的充要条件是，当 由 变到时，系统的开环频率特性 按逆时针方向包围（-1，j0

12、）点P周，P为位于s平面右半部的开环极点数目。否则，系统不稳定。第四十六张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出第四十七张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出第四十八张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出第四十九张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出第五十张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出7 何谓负穿越在乃氏图上，开环频率特性，从上半部分穿过负实轴的 段到实轴的下半部分，称为正穿越；开环频率特性从下半部穿过负实轴的 段到实轴的上半部分，称为负穿越；起始于（或终止于） 段的负实轴的正、负穿越称为正负半穿越；在伯特图上，在幅值 的区域内，当角频率 增加时，

13、相频特性曲线 从下向上穿越 线称为正穿越；相频特性曲线 从上向下穿越 线称为负穿越；第五十一张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出第五十二张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出第五十三张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出综上所述，乃氏判据判稳时可能发生的情况为：（）不包围（-1，j0）点，若 则系统稳定。否则，闭环系统不稳定；（）逆时针包围（-1，j0）点次，若 则系统稳定。否则，闭环系统不稳定；（）顺时针包围（-1，j0）点，闭环系统不稳定。第五十四张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出问题：1 在引入Nyquist判剧时，为什么只就开环极点在虚轴上的分布情

14、况进行讨论而没有就开环零点的情况进行讨论？2 原点处有开环极点时为什么要补作一条虚线，虚线在实际中是否存在？补作虚线与开环传函中的那一个环节有关系，在给出的Nyquist判剧形式与形式中的具体关系是什么？3 根据Nyquist判剧给出如下情况的分析：对于P=0的开环系统，若其开环频率响应通过（-1，j0）点，则系统处于什么状态？第五十五张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出2 形式闭环系统稳定的充要条件是，当角频率由0变化到时，开环频率特性 正、负穿越 平面负实轴上（-1，- ）段的次数差 为，这里 是开环传递函数极点中处于s平面右半部的数目。否则，闭环系统不稳定。第五十六张，PPT共

15、九十二页，创作于2022年6月退出3 形式闭环系统稳定的充要条件是，在开环对数幅频特性 不为负值的所有频段内，对数相频特性 与 线的正穿越与负穿越次数差为 ，这里 是开环传递函数位于s平面右半部的极点数目。否则，闭环系统不稳定。 第五十七张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出第五十八张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出4 形式闭环系统稳定的充要条件是，在Nichols图0dB线上方，开环频率响应的对数幅相特性对 线的正、负穿越次数差应等于 ，其中 为s平面右半部含有的开环传递函数极点的数目。否则，闭环系统不稳定。第五十九张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出第六十张，

16、PPT共九十二页，创作于2022年6月退出5 形式对于最小相位系统，闭环系统稳定的充要条件是 ， ；否则不稳定。 6 形式乃氏判据左手定则。乃氏判据左手定则的内容如下：将左手平伸，拇指和其余四指在手掌平面内垂直且指尖向上，对于最小相位系统，将左手放在系统开环频率特性即将包围（-1，j0）点的最里层上，且四指指尖与系统开环频率特性的方向相同，若手背朝向（-1，j0）点，则该闭环系统稳定，否则不稳定。 第六十一张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出第六十二张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出7 形式若系统不稳定，系统的开环增益增加大于原来 倍，则闭环系统稳定；否则，系统不稳定。

17、8 形式若系统不稳定，系统对频率为 的信号的相角增加大于 ，则闭环系统稳定；否则，系统不稳定。第六十三张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出5.4 稳定裕度设计控制系统，要求它必须稳定，这是控制系统赖以正常工作的必要条件。除此之外，还要求控制系统具有适当的相对稳定性。相对稳定性的概念：基于Nyquist判剧，当控制系统的开环传递函数 在s平面右半部无极点时，其开环频率响应 若通过点（-1，j0），则控制系统处于临界稳定边缘。在这种情况下若控制系统的参数发生漂移，便有可能使控制系统的开环频率响应包围点（-1，j0），从而造成控制系统不稳定。因此，在Nyquist 图上，开环频率响应 与点

18、（ -1，j0 ）的接近程度可直接表征控制系统的稳定程度。第六十四张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出其定性关系是：在Nyquist图上， 不包围点（-1，j0）的情况下，若 离点（-1，j0）越远，说明具有P=0的控制系统的稳定性程度越高；反之， 越靠近点（-1，j0） ，则上述系统的稳定程度越低。在控制系统稳定的基础上，进一步用以表征其稳定程度高、低的概念，便是通常所谓的控制系统的相对稳定性。第六十五张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出稳定裕度是衡量系统相对稳定性的指标，有相角裕度和幅值裕度1 相角裕度当系统开环频率特性的幅值为1时，系统开环频率特性相角与 的和定义为相

19、角裕度，所对应的频率 称系统的剪切频率，即式中 满足第六十六张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出2 幅值裕度当系统开环频率特性为 时，系统开环频率幅值的倒数定义为幅值裕度，所对应的频率 称相位交界频率，即如果以分贝为单位来表示幅值裕度时，有保持适当的稳定裕度，可以预防系统中元件性能变化等可能带来的不利影响。为了得到较满意的暂态响应，一般相角裕度应当为在 到 之间，而幅值裕度应大于第六十七张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出第六十八张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出第六十九张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出5.5 闭环频率特性性能指标常用的指标有谐振峰

20、值，系统带宽和带宽频率。1 谐振峰值谐振峰值 是指系统闭环频率特性幅值的最大值2 系统带宽和带宽频率设 为系统的闭环频率特性，当幅值特性 下降到 时，对应的频率 称为带宽频率。频率范围 称为系统带宽。 第七十张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出5.6 频率域指标的计算对于典型二阶系统，频域指标可解析计算；高阶系统频域指标一般由经验公式计算。1 典型二阶系统开环传递函数为有阻尼自振角频率剪切频率相角裕度第七十一张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出带宽频率谐振频率谐振峰值典型二阶系统的幅值裕度 为无穷大第七十二张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出2 高阶系统谐振峰值

21、的确定，工程上常采用下述经验公式式中中间频段第七十三张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出例题1（教材P185，5-8） 已知系统的开环传递函数试绘制系统开环幅相特性与对数频率特性。第七十四张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出解：惯性环节的交接频率为找渐近线第七十五张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出则第七十六张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出 乃氏图第七十七张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出伯特图第七十八张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出例题2（教材P186，5-17）如图题5-17所示的乃氏曲线中，判别哪些是稳定的，哪些是不稳定的。 第七十九张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出解：所以系统稳定所以系统不稳定所以系统不稳定第八十张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出所以系统稳定所以系统不稳定所以系统稳定第八十一张，PPT共九十二页，创作于2022年6月退出例题3（教材P187，5-25）已知最小相位开环系统的渐近对