考研数学三试题及全面解析(word版)

1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流只供学习与交流2018年全国硕士研究生入学统一考试数学三考研真题与全面解析（Word版）、选择题:18小题，每小题 4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题、选择题:目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.下列函数中在X=0处不可导的是（）(A) f (x) = x sin(B) f(x)= xsinxf(x)=cosxf(x)=8S, x【答案】（D）【解析】根据导数定义,A.f(x)- f(0)=limx.0 x sin xlim 乜 0 x 0，可导;B. limx

2、)0f(x)-f(0)二x|sin J|x|x=0,可导;C.f(x)-f(0)【解析】根据导数定义,A.f(x)- f(0)=limx.0 x sin xlim 乜 0 x 0，可导;B. limx )0f(x)-f(0)二x|sin J|x|x=0,可导;C.f(x)-f(0)D.xxx10cosjxcos x -1=limx J0=0 ,可导;2.设函数f （x）在0,1上二阶可导。且x1x2,极限不存在。故选（D ）.f (x)dx = 0 ,则1(A)1(A)当 f (x) 0 时，f (一) 2.、一 一 1(B)当 f (x) 0时，f (一) 0时，f (3) 0，所以 f (

3、一) 0 ,应选(D).0 2!22【解析二】排除法。(A)错误。令f(x)1- ,、/-1J。f (x)dx = 0, f(x)=-10,但是 f (一)= 0。(B)错误。令f(x)1f (x)dx = 0 , f (x) = 2 0O2故选错误。令f(x)f (x)dx=0 , f (x) = 1 a 0,但是.1f(一)= 0。2(D).3.设Mdx, K3112T(1 + dcosx)dx,则(A) M N K(B)M K N(C) KMaN(D)K N M【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分则最简化积分。_ 2 (1x)二 1x2-1 _ 2

4、(1x)二 1x2-1 x2 2x dx= 2x 2x2 JL1 x2dx = .2二(12x2)dx = n ,K =12n(1 +Jcosx)dx J2n1Udx = n ,令 f (x)= 令 f (x)= ex -1 - x, x (-时，f(x)0,一,一),则 f x) e x 1 ，当 x (一2 2当 x (0,一)2时，（x） A 0,故对xx（-，-），有 f （x）至 f（0）= 0，因而一 11 x.N = ( Kdx N o 应选(C)x文e交4.设某产品的成本函数 C（Q）可导，其中Q为产量。若产量为 Q0时平均成本最小，则 （）(A) C(Q) = 0 (B) C

5、(Q) = C(Q) (C) C(Q) = QC(Q) (D) QC(Q) = C(Q)【答案】(D) C(Q) dC(Q) C (Q)Q-C(Q)【解析】平均成本 C(Q)二年”(j wQdQQ2由于产量为Q0时平均成本最小，因此 C（Q0）Qo - C（Qo） = 0,故选（D)1105.下列矩阵中阵，与矩阵。 11相似的是（_00111-11 0(A) |。 11(B) |。 1_0 01_0 0-111-110-11(C),10(D)|。101_001_001【答案】（A）1【解析】记矩阵H = 0,01 011 ，则秩r(H) = 3,迹tr(H) = 3,特征值0 1（三重）。观察

6、 A, B,C,D四个选项，它们与矩阵 H的秩相等、迹相等、行列式相等，特征值也相等，进一步分析可得：r（，E H） = 2,r（八E A）=2, r（九EB）=1r（九E C） = 1, r（uE D） = 1。如果矩阵A与矩阵X相似，则必有kE A与kE X相似（k为任意常数），从而r（kE A） = r（kE X）,故选（a）,6.设A,B是n阶矩阵，记r（X）为矩阵X的秩，（X,Y）表示分块矩阵，则（）(A) r(A,AB) = r(A)(B)r(A,BA) = r(A)(C)r(A, B) =maxr(A), r(B)(D)r(A,B) = r(AT ,BT)【答案】(A)则向量【解

7、析】把矩阵A,AB按列分块，记A= (口1尸2小卜n),AB= (P1,P2,ll|Pn)，则向量组P1, P2, | (|Pn可以由向量组a1,a2,|a n线性表出,从而a 1,a 2,| (| n与2，IIBn，%/2川巴，等价，于是 r(A,AB) = r(A),故选(A)。27.设随机变量X的概率密度f (x)满足f (1 x) = f (1 + x),且f (x)dx = 0.6 0则 PX : 0=()(A) 0.2(B) 0.3(C) 0.4(D) 0.5【答案】(A)f (x)关于x = 1对称,结合概率密度函数的性质 f (x)dx = 1及已知条件-oOf (x)关于x

8、= 1对称,结合概率密度函数的性质 f (x)dx = 1及已知条件-oOf (x)dx = 0.2,故选(A)。S* =(Xi - N)2 ,则 n y【解析】由(C)jn（x-）t(n)(D)：n(X -)t(n-1)X N( 2)=二2X N(J,)=X - N (0,1),2 CT【解析】由(C)jn（x-）t(n)(D)：n(X -)t(n-1)X N( 2)=二2X N(J,)=X - N (0,1),2 CT(n-1)S2(n-1)S2二、填空题:(n -1),且 -产 与 n(n-1)S2相互独立，所以(n-1)=、n（x -i） t（n -1）,故选（B）。914小题，每小题

9、4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.9.曲线y =2x +2lnx在其拐点处的切线方程为【答案】y = 4x-3.224解析函数的定义域为 （0,十）, y =2x + , y =2二；y 二=。 xxx令y” = 0,解得x = 1,而y（1） 0 ,故点（1,1”曲线唯一的拐点。曲线在该点处的斜率y（1） = 4,所以切线方程为 y = 4x 3。10.ex arctan 1 - e2xdx =【解析】e10.ex arctan 1 - e2xdx =【解析】ex arctan. 1 - e2xdx = Jarctan 1 - e2xdex=ex arctan 1 - e2x -

10、 exd arctan . 12x_ e=ex arctan . 1 - e2x-ex 1d . 1 - e2x1-(1-e2x)= ex arctan 1 - e2x - . d . 1 - e2x二 ex arctan . 1 - e2x - 1 - e2x C11、差分方程A2yx yx = 5的通解是 【答案】yx = C|_2x - 5,其中C为任意常数。 2【解析】由于 Nx八 34 3江八Nx(yx+2 - yx+i) (yx书yx) = vn - 2丫乂+/ l，原方程化为 yx+2 - 2yx十1 = 5,即 yx+1 - 2yx = 5。该一阶线性非齐次差分方程对应的齐次差

11、分方程为yx书-2yx = 0,其通解为yx = Cj2x。 * _ _ _ _ _设原万程的多寸解为 y = C1,代入原方程得 C1 一 2C1 = 5n C1 = 一5.故原方程的通解为 yx = C|_2x - 5。.设函数 f (x)满足 f (x + &x) - f (x) = 2xf (x)&x + ogx) (Axt 0),且 f (0) = 2, 则 f (1) =。【答案】2e o解析由 f (x + Ax) _ f (x) = 2xf (x)x + 口(Ax)(Axt 0)可得f (x x) - f(x)=2xf (x)f (x x) - f(x)=2xf (x)二(x)

12、(x 0)f (x x) - f (x)两边取极限得 lim = 2xf (x),即 f (x) = 2xf (x) TOC o 1-5 h z lx 0/. x2xdx2解一阶线性齐次微分方程，有 f (x) = Ce= Cex，代入f (0) = 2= C = 2 ,x2故 f(x)= 2e = i)= e22(x y z)二 22(x y z)二 xy z 2(xy yz zx) = 0- xy yz zx=-/nL , 1 T , 上 上、，1 匚，irk由轮换对称性可得：x xyds= ( (xy+ yz+zx)ds= d ds= U271 =。u 36匚L63.设A为3阶矩阵，31

13、产2产3是线性无关的向量组，若A1 = a1 +a 2, A 2 =Cf 2 +aI 2311222A3 =、+口3,则 A = 【答案】2.1 0 1【解析】已知（A 1，A 2A 3）= A（： - 2，二 3）=（二2/ 3）1100 1 1因为“1产2产3线性无关，所以矩阵P=（豆1尸2产3）可逆，P # 0，1 0A= P 1 1_0 110 1 0A= P 1 1_0 110 P=11囿=同10p-110 = 2.11.设随机事件A, B,C相互独立，P(A) = P(B) = P(C)=, 2则 P(AC|A|JB) =, P(ACAUB)=PP(ACUABC), P(ACAUB

14、)=PP(ACUABC)P(A) P(B)- P(AB)P(AC) 1P(A) P(B) P(A)P(B) 3三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.1.（本题满分io分）已知实数满足xlim（ ax+b）ex x =2.，求a,b。【解析一】令1. . (a bt) 【解析一】令1. . (a bt) te- 1t = x，可得L瓶一t2(1)于是则(a +bt)8 -1 = a -1 于是则(a +bt)8 -1 = a -1 =0= a = 1对（1）式使用洛必达法则，有(a bt )e - 1ttt嗯t=amibe

15、+(a+bt)e=b+a=2故 a = 1,b = 1。1【解析二】令t =,可得 xlim 1【解析二】令t =,可得 xlim (a 山) limt_.：,： ott_.：,： o(a bt)1 t ;(t) -116.=limJ.： 0(a-1) (a b)t 二a-1 = 0a b = 2a = 1,b = 1。（本题满分io分）设平面区域 D由曲线y =3（1- x2）与直线y = J3x及y轴围成，计算二重积分Wx2d。【解析】积分区域如图示,I 二 02 dx23(1 -xI 二 02 dx23(1 -x2)x2dy =2o2x2( ,3(1-x2) - 3x)dx二023(1-

16、x)2dx-_2出产x3dx，其中0=其中0=sin2 2td2t =8 432 x 与int _ _-x2)dx = = = 3 o4sin2tcos2tdt_ 二1616 2V3102 x3dx1616 217.（本题满分io分）将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。【答案】面积之和存在最小值,Smin1二 4 3:3【解析】设圆的半径为 x,正方形的边长为【答案】面积之和存在最小值,Smin1二 4 3:3【解析】设圆的半径为 x,正方形的边长为y,三角形的边长为z ,则2nx + 4y + 3z = 2,三个图形的

17、面积之和为2S(x, y, z)=二 x23 2y z ,4则问题转化为 “在条件2n x + 4y + 3z = 2, xA0,y0,z0下，求三元函数S(x, y, z)= 一S(x, y, z)= 一+ z2的最小值”。42z ( 2 二 x 4 y 3 z -2)LxLy解方程组Lz= 2x2： = 0=2y 4 =0LxLy解方程组Lz= 2x2： = 0=2y 4 =0,3=z 3 = 0 2,得到唯一驻点y =L ； 2二 x 4y 3z - 2 = 0由实际问题可知，最小值一定存在，且在该驻点处取得最小值。最小面积和Smin二 4 3.3ji24 3,3234 3.3为18.(

18、本题满分1018.(本题满分10分)已知cos2x-2(1 x)CO=a anxn(-1 x 1),求 an。n =01【解析】将 cos2 x和-2展开成哥级数,(1 x)oOcos 2x = n =0需(2x)oOcos 2x = n =0需(2x)2n一(-1)n 22nx2nn4(2n)!1 _2d (-1)122= 1 -x2!2 _4(-1)24!x4 口6!+HI + ( 1) 2 x2n +|, - x +a0 (2n)!1/1/1、(1 + x)2 口+ x/ oO、 oOoO/dnn，dnnTdnn工(-1) x I = (-1) nx = (-1) (n + 1)xn =

19、0n=n =0=1 + 2x 3x2 +4x3 5x4 +6x5 7x6 III十(1)n+(n + 1)xn + III, -1 x满足 X1 0,2=exn -i（n = 1,2,3,|）。证明xn收敛，并求lim xn。 n ； nx2 eX1 -1【证明一】因为 x1 0,所以ex2 =。X1e% -1-x2l ；-根据拉格朗日中值te理，存在 一三（0,x）,使得 = ee=e= x2 = t,x1因此 0 “ x1。完全类似，假设 0 xn书 xn,则exn1 _ 1exn* = e （0 父 xn书），即 0 xn+2 0：ex1 -1_x1当 n = 1 时，x1A 0。根据题

20、设 x2 = In，由 e - 1 x1 可知 x2 ln1 = 0 ；x1假设当n = k时，xk 0 ；, . exk -1xk ,人中 ln1 = 0。则当n = k +1时，xk+=ln，其中e 1 人中 ln1 = 0。xk根据数学归纳法，对任意的 n w N 0。再证明数列xn的单调性:exn -1exn -1 xexn -1、书Xn=ln% = lnlne = In-，xnxnXne(离散函数连续化)设 f (x) = ex 1 xex(x 0),则当 x 0 时，f(x) = xex 0,f (x)单调递减，f (x) f (0) = 0,即 ex -1 xexoex1 -1从

21、而 xn书xn = In ln1 = 0,故xn书笛，得aea = ea 1 ,解 nn方程得 唯一解 a = 0 ,故lim xn = 0。ncj20.(本题满分11分)设二次型222f (x1,x2, x3) = (x1 - x2 + x3) +(x2+x3) +(为 + 2%),其中 a是参数。(I)求 f (x1,x2,x3) = 0 的解；(II)求 f(x1,x2,x3)的规范型。【解析】(I)由f (%42,%) = 0可得x1 - x2 x3 = 0 x2 x3 u 0、x1 + ax3 = 0对上述齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换得11-1A= 01J 0当 a#2 时，

22、f (x1,x2,x3) = 0 只有零解：x=(0,0,0)T。10 2、当 a =2时，At 0 11,900f (x1,x2,x3) = 0 有非零解：x = k(2,1,1)T , k为任意常数。(II)当a #2时，若x1,x2,x3不全为0,则二次型f (x1,x2,x3)恒大于0,即二次型f（x1,x2,x3）为正定二次型，其规范型为 f（弘，丫2,丫3）= y； + y2 + y2。当a = 2时，f (Xi，X2，X3)= (Xi - X2 X3) a、 0可经过初等列变换化为矩阵7 一力1 a 2 B = 011。(I)求a ; ( II )求满足AP = B的可逆矩阵P

23、?L 1 a、0可经过初等列变换化为矩阵7 一力1 a 2 B = 011。(I)求a ; ( II )求满足AP = B的可逆矩阵P ?L 1 L【解析】（I）由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，故 对矩阵A, B作初等行变换，得2-13二次型对应的实对称矩阵B=|-12 0，其特征方程为 TOC o 1-5 h z _ 30 6九-21-31 九-20=九。-10 九+18)= 0-30，6解得特征值九1 = 5 + J7，九2 = 5 - J7, K3 = 0,可知二次型的规范型为I23f （马工4）=121.（本题满分ii分）设a是常数，且矩阵 a= 1r(A) = r(B)。,112,

24、100100-a0，2111010【0212a显然r(A) = 2,要使r(B)= 2,必有2-a二0=a=2。(II)将矩阵B(II)将矩阵B按列分块:易知，齐次线性方程组 Ax = 0的基础解系为0 二(-6,2,1)T ，三个非齐次线性方程组的B=(P1,P2,P3),求解矩阵方程 AP = B可化为解三个同系数的I ， 2， 3非齐次线性方程组：Ax = p j, j = 1,2,3。对下列矩阵施以初等行变换得 TOC o 1-5 h z 122 12210(A,B) = 130 m11 0127-2-1110 0因此，三个非齐次线性方程组的通解为-6k2 2 因此，三个非齐次线性方程

25、组的通解为-6k2 2 +、1 ,P：X= 1P：X =特解分别为：* = (3, 1,0)T J 2 = (4, 一 1,0)T J 3 = (4, 1,0)T。-6=k3 2 +、1 ,3-6k1 4-6k2 4-6k3 1从而可得可逆矩阵 P= j1 + 2K 1 +2k2 1 + 2k3 ，其中k2#k3。IL k2k3X的概率分布为(22)(本题满分11分)设随机变量 X,YX的概率分布为Y服从参数为九的泊松分布。令Z = XY, (I)求Cov(X,Z)； (ii)求Z的概率分布。【解析】(I)由X,Y相互独立，可得E(XY)= E(X)E(Y).。由协方差计算公式可知Cov(X,Z) = E(XZ) - E(X)E(Z) = E(X2Y) - E(X)E(XY)二 E(X2)E(Y)-E2(X)E(Y),其中 E(X) = 0,E(X2)=1,E(Y)=?l，代入上式可得 Cov(X,Z) = z。(ii )由于X,Y是离散型随机变量，因此Z = XY也是离散型随机变量。 X的可能取值为1,-1,.ke；、Y的概率分布为 PY = k = -,k = 0,1,2,|故Z的可能取值为0,1,2,3JHk!于是，Z的概率分布为 TOC o 1-5 h z 11pz = 0 = PX = 1,Y = 0 + PX = 1 ,