压轴题命题区间(五)增分点1多面体与球的切接问题专练

1、压轴题命题区间（五）立体几何增分点多面体与球的切接问题专练、选择题1.（20171.（2017全国卷川）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的TOC o 1-5 h z球面上，则该圆柱的体积为（）nD.4解析：选B设圆柱的底面半径为r，贝Vr2=12-12=3,所以圆柱的体积V=3解析：选B设圆柱的底面半径为 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 44_3n=4.2.（2016全国卷川）在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球若AB丄BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是（）9nA.4nB.y32nD

2、.3T解析：选B设球的半径为R,ABC的内切圆半径为解析：选B设球的半径为R,ABC的内切圆半径为6+8102=2,RW2.又2RW3,4-Vmax=3XnX3.已知正四面体3.已知正四面体A-BCD的棱长为A.12nC.20n12,则其内切球的表面积为（）B.16nD.24n解析：选D法一：女口图，作BF丄CD于F,AE丄BF于E，由A-BCD为正四面体可知AE丄平面BCD，设O为正四面体A-BCD的内切球的球心，则OE为内切球的半径，连接OB.因为正四面体的棱长为12,所以BF=AF=63,BE=43,所以AE=122432=46.又OB2OE2=BE2，即(46OE)2OE2=(43)2

3、,所以OE=-.6,则其内切球的半径是，6.所以内切球的表面积为4nX（6）2=24n.法二：因为正四面体的棱长为12,其内切球半径为正四面体高的4所以r=4x312=.6,故其内切球的表面积为24n.4.三棱锥4.三棱锥P-ABC的四个顶点都在体积为警的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16n,则该三棱锥的高的最大值为（B.10解析：选C依题意，设题中球的球心为344=005,解得R=5.由Ttr2=16n,解得330,半径为R,ABC的外接圆半径为r,则r=4.又球心0到平面ABC的距离为，R2r2=3,因此三棱锥P-ABC的高的最大值为5+3=8.5.（2018洛阳第一次统考）已知三

4、棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P-ABC的体积为学，则此三棱锥的外接球的表面积为（16na.T40nB.T64nCh80n解析：选D依题意，记三棱锥P-ABC的外接球的球心为0,半径为R,点P到平面ABC的距离为h,则由Vp-abc=SABCh=143x42xh=晋，得h=.又PC为球O的直径，因此球心一12ABO到平面ABC的距离等于2h=（3.又正ABC的外接圆半径为r=禹而4.3，因此R2=导32+&3=晋，所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积等于4冗R2=80n.6.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA

5、=PB=PC=PD，若个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（）B.59c.9解析：选D过点P作PH丄平面ABCD于点H.由题知，四棱锥P-ABCD是正四棱锥，内切球的球心0应在四棱锥的高锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE,PF是斜高,的一个切点.设PH=h,易知RtPMOsRtPHF，所以豐=翠，即FHPFPH上.过正四棱M为球面与侧面Ah2+132解得h=4.7.（2018成都一诊）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画CC.5nD.20n出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为B.34nD.18nC.25nD.18n解析：选B解析：选B由三视图知，该四棱

6、锥的底面是边长为3的正方形，高为4，且有一条侧3,3,4的长方体，该长方体外接棱垂直于底面，所以可将该四棱锥补形为长、宽、高分别为球的半径R即为该四棱锥外接球的半径，所以2R=32+32+42,解得R=3,3,4的长方体，该长方体外接棱锥外接球的表面积为4kR2=34n.8.（2018湖北七市（州）联考）8.积为（36n36n32nD.28n解析：选B32nD.28n解析：选B根据三视图可知，该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为4的正方形，高是2,3.将该四棱锥还原成一个三棱柱，如图所示,则其底面是边长为4的正三角形，高是4，其中心到三棱柱的6个顶点的距离即为该四棱锥外接球的半径.因为三棱

7、柱的底面是边长为4的正三角形,所以底面三角形的中心到三角形三个顶点的距离为2所以底面三角形的中心到三角形三个顶点的距离为2X23=警，所以其外接球的半径R33+22=,故外接球的表面积+22=,故外接球的表面积S=4nR2=4nX112兀9.某几何体的三视图如图所示，若这个几何体的顶点都在球表面积是（）O的表面上，则球O的解析：选C根据三视图可知，该几何体为三棱锥，且其中边长为1的侧棱与底面垂直，底面为斜边长为2解析：选C根据三视图可知，该几何体为三棱锥，且其中边长为1的侧棱与底面垂直，底面为斜边长为2的等腰直角三角形,所以可以将该三棱锥补形为长、宽、高分别为2,2,1的长方体，所以该几何体的

8、外接球O的半径R=二土二兰=严，所以球O的表面积S=4tR2=5n.10.底面为矩形的四棱锥P-ABCD10.底面为矩形的四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球0的球面上，且AB=23,AD=2,它的最大体积为163，则球O的表面积为（=2,它的最大体积为163，则球O的表面积为（）B.15nC.20nD.25n解析：选D如图所示，设矩形ABCD的对角线的交点为O1,P在O1O的延长线上，并在球面上时，四棱锥P-ABCD的体积最大,则有1X23X2XPO1=16乜,3w3所以PO!=4,连接OA，设球O的半径为R,则PO=OA=R,OOi=4-R,OiOiA=2,AB2+AD2=2.在RtAO1O

9、中，OO1+O1A2=OA2,即(4R)2+22=R2,解得R=5,所以球O的表面积为4冗R2=25n.11已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则此三棱柱的体积的最大值B.2C.3解析：选A如图，设球心为O,三棱柱的上、下底面的中心分别为11已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则此三棱柱的体积的最大值B.2C.3解析：选A如图，设球心为O,三棱柱的上、下底面的中心分别为O1,。2,底面正三角形的边长为a,则AO1=和呼a=a.由已知得O1O2323丄底面，在RtOAO1中，由勾股定理得OO1=以皿2.3.3a21=3,所以V三棱柱=：a2x2X3-=睾二,令f(a)=3a4

10、-a6(0vav3)，贝Uf(a)=12a3-6a5=6a3(a2一2),令f(a)=0,解得a=2.因为当a(0,2)时,f(a)0;当a(2,3)时，f(a)0,所以函数f(a)在(0,2)上单调递增，在(2,3)上单调递减.所以f(a)在a=.2处取得极大值f(2)=4.因为函数f(a)在区间(0，3)上有唯一的极值，所以当a=二时，三棱锥的体积取得最大值为1，故三棱柱体积的最大值为1.(2018广州综合测试)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA丄平面ABC,PA=AB=2,AC=4，

11、三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A.8nB.12nC.20nD.24n解析：选C法一：将三棱锥P-ABC放入长方体中，如图，三棱锥P-ABC的外接球就是长方体的外接球.因为PA=AB=2,AC=4,ABC为直角三角形，所以BC=；42-22=23.设外接球的半径为R,依题意可得(2R)2=22+22+(2.3)2=20,故R2=5,所以球O的表面积为4冗R2=20n,选C.法二：利用鳖臑的特点求解，如图，因为四个面都是直角三角形，所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC的中点为球心O,易得2R=PC=20,所以球O的表面积为4nR2=20n.二、填空题已知

12、球O的半径为R,A,B,C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为丁R,AB=AC=BC=2*3,则球O的表面积为.解析：设厶ABC外接圆的圆心为O1,半径为r,因为AB=AC=BC=2_3,所以ABC为正三角形，其外接圆的半径r=厶士=2,因为OO1丄平面ABC,所以OA2=OO?+r2,2sin60所以r2所以r2=+22,解得R2=16,所以球O的表面积为4kR2=64n.答案：64n（2018云南11校跨区调研）已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在表面积为卑扑千勺球面上，底面ABC是边长为3的等边三角形，则三棱锥P-ABC体积的最大值为解析：依题意，设球的半径为R,则有4冗R2=8

13、95,即R解析：依题意，设球的半径为R,则有168为r=2sd=1，球心到截面为r=2sd=1，球心到截面ABC的距离h=R2r2=“12-12=15，因此点p到截面ABC的距离的最大值等于15h+R=乎+譽4，因此三棱锥P-ABC体积的最大值为XX（3）XX（3）2x4=3.答案：315.已知在三棱锥P-ABC中,EC=竽，/APC=1BPC=n,PA丄AC,PB丄BC,BC,且平面PAC丄平面PBC,则三棱锥P-ABC外接球的体积为解析：取PC的中点0,连接AO,B0,设解析：取PC的中点0,连接AO,B0,设PC=2R，贝UOA=OB=OC=OP=R,.O是三棱锥P-ABC外接球的球心.易知，PB=R,BC=3R.vZAPC=,PA丄AC,O为PC的中点，二AO丄PC.又平面PAC宁宁11丄平面PBC，且平面PACn平面PBC=PC,.AO丄平面PBC,.Vp_abc=Va-pbc=3X?XRX3RXR=专，解得R=2,.三棱锥P-ABC外接球的体积V=4kR3=字 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 333答案：竽16.（2018长春质检）已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PBC丄平面ABCD,PE丄BC于点E,EC=1,AB=V6