高中文科数学立体几何知识点总结

1、1立体几何知识点整理（文科）l m1 /mm直线和平面的三种位置关系：一.al.线面平行方法二：用面面平行实现。1 1 al符号表示：.线面相交3 i la A 方法三：用平面法向量实现符号表示：方法一：用线线平行实现。方法一：用线线平行实现。1/11n 为 平若 面线在面内3. 的一个法向量，lnn l ll /且。 ,则 l a a 符号表7K:二 平行关系：线线平行：1. 方法一：用线面平行实现。3.面面平行：l m Bl /l方法一：用线线平行 实现。il / ml m% l / l m m / mm / 且相 交l , m 且相交l , m方法二：用面面平行实现。 小 B l ml

2、丫 mm a方法二：用线面平行实现。方法三：用线面垂直实现。l /l, m l / m m 若。，则 i l , m且相交m B方法四：用向量方法：m l l / m 。若向量和向量共线且l、m不重合，则a2. 线面平行：lCA方法三：用向量方法:l mIm ,则的数量积为和向量若向量0夹角问题。三 线面垂直：1.异面直线所成的角：一 ）（ 方法一：用线线垂直实现。（0 ,90 范围： （1）ACl ABl 求法： （2）P nlABAC A方法一：定义法。A e OAC, AB a ：平移, TOC o 1-5 h z 使它们相交，找到夹角。步骤1方法二： 用面面垂直实现。）常用到余弦定理步

3、骤2： 解三角形求出角。（余弦定理： Bl lma c 222cab l m, lmcos e 2abb a）计算结果可能是其补角（面面垂直：2. 方法二：向量法。转化为向量方法一：用线面垂直实现。C 的夹角B l i e l：）（计算结果可能是其补角BA AB AC a cos ABAC 方法二：计算所成二面角为直角。线面角）（二线线垂直：3.上任取一点（1） 定义：直线l ，作（交点除外）P 方法一：用线面垂直实现。内，则连结AO AO 为斜线PA 在面 于 O,PO llm PAO 图中（与面）为直线l l 所成的角。的射影，mmaP方法二：三垂线定理及其逆定理。A民OPPOPAl OA

4、l0 ,90 (2)范围： l OAn1l l /0 或时，当n1n l90 时，当 2e 求法：方法一：定义法。nn：作出线面角，并证明。步骤 1 21cos nn步骤一：计算 2inn：解三角形，求出线面角。步骤 2 21n n 二面角及其平面角三）（的关系，可能相等或步骤二：判断与 21（1） 定义： 在棱 l 上取一点P， 两个半平面内分别作者互补。l 的垂线（射线）m 、 n ，则射线m 和 n 的夹角为四距离问题。 l 的平面角。二面角点面距。1方法一：几何法。mlPPn OA0 ,180 范围：（2）步骤1:过点P作PO于O,线段PO 即为所求。步骤2：计算线段PO 的长度。（直

5、接解三角形；等（3） 求法：体积法和等面积法；换点法） 2线面距、面面距均可转化为点面距。方法一：定义法。步骤1 ： 作出二面角的平面角（三垂线定理）， 并证明。 3 异面直线之间的距离：解三角形，求出二面角的平面角。步骤2 方法一：转化为线面距离。方法二： 截面法。m 和 同时垂直于平面POA 步骤 1 ： 如图，若平面，n则交线（射线）AP 和 AO 的夹角就是二面角。n 为两条异面直线，n 和如图，m 且 步骤2：解三角形，求出二面角。m / ，则异面直线m 和 n 之间的距离可转化为直BP线 m 与平面之间的距离。 9 A方法二：直接计算公垂线段的长度。O方法三：公式法。）。方法三：坐

6、标法（计算结果可能与二面角互补3/11F)f . Fi 等. 小 #= * =i iMsC! _.u + * * . * .J,口 ；jM干 一 “如图，AD 是异面直线mnd m / m,则异面直线m彳mD.一1金3国和n的公垂线段，mB aA和n之间的距离为：cb 222 2ab cosadcb c空间向量五Aa 1 TOC o 1-5 h z 空间向量基本定理一）（Cc 1 dp a, b, c ，都存在唯一的有序实数对为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量若向量BB 1zc p xayb 、 z y、 x。 ，使得三点共线，四点共面问题） （二三点共线C 1. A， B，且

7、OA xOB yOCx1y 1 y x当的 A 时，是线段BC 2ABAC 三点共线A， C ， BCBA ， ， ， D 四点共面2.yOC zOD xOBOA xz 1y,且1 xy z当的BCD时，A是4 TOC o 1-5 h z ABy ADx AC 四点共面，D CA，B，空间向量的坐标运算)(三A 1. 已知空间中、两点的坐标分别为：B) B( x ), z, yA( x , y , z 则： ， 211122d ABAB ; A ,B，) , y( x , y , z b (x ) , za 若空间中的向量 2. 111222aa bb 则114/a bcos a b六.常见几

8、何体的特征及运算（一）长方体1. 长方体的对角线相等且互相平分。222+coscos +cos、 、2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为，则a B Y B a 丫222 cos +cos+ cos 、 、 ， 则若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为，则体对角线长为若长方体的长宽高分别为a、 b、 c3. ，体积为，表面积为。（二）正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。（三）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。（四）正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。（只有五种正多面体）（五）棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似

9、，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。VV ）体积： （六棱锥棱柱球 （七）定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。设球半径为R， 小圆的半径为r， 小圆圆心为O， 球心 O 到小圆的距离为d,则它们三者之间的数量关i。系是球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的 长度。球的表面积公式：体积公式：高考题典例考点 1 点到平面的距离5/11，为中点.2 D CC如图，正三棱柱例1的所有棱长都为CABCABi iii平面；(II)求二面角 的大小；! AB BDA(I )求证：DAA B ii(I )求证：DAA B

10、 iii (m)求点到平面的距离.BDAC 1解答过程 （I）取中点，连结.AO O BC为正三角形，.BC AOA ABC平面，中，平面正三棱柱 ABC ABC11BCCB BCA111111AA1别为连结BO BC， CC 分，在正方形平面中， D BCCB, O BBCC AO 正方形平面中， D BCCB, O BBCC AO 1 11111FCBD, ABBO BD C 的中点，Di11 OB 中，平面在正方形，AB AB AB ABB ABBDA1111111 于交于点，在平面连中，作，结，（II）设与 F G BD, ABBO BD C 的中点，Di11 OB 中，平面在正方形，

11、AB AB AB ABB ABBDA1111111 于交于点，在平面连中，作，结，（II）设与 F G GF111ABABD1，平面的平面角.bdaB 为二面角 DA Ada AF XAB /(I)得AF 1111由等面积法可求得在 DAA4 5 ， AF1 ，又 AB2AG 10 2AGi AFG / sin2 4AF4所以二面角A10 arcsin DA14中，（田）ABDa 12S6S BDAD5A B2BCD BDA 1111的距离为在正三棱柱中，到平面BCCBA 311d.设点到平面的距离为 C A BD111 ， ，得由 2 d SSV33SVdA A BCD A BD BCDAA

12、 A BDBCD11CdA A BCD A BD BCDAA A BDBCD11C12 33SBDAA12 的距离为12 的距离为ABD 点到平面122 考点异面直线的距离24ABC S， 底面是边长为224ABC S， 底面是边长为2例已知三棱锥AB 、 D BC、 ESC 的中点，求.分别为，且垂直于底面的长为2116/=CD与SE间的距离.解答过程：如图所示，取 BD的中点 F,连结 EF , SF ,CF ,BCD CD, CDSEFCD SEF EF EF 的距离即为 两异面直线间的/面的中位线，,/到平面为CD SEF到平面C上一点又.距离线面之间的距离可转化为线2 BC4、 的中

13、点， h ， 由题意知，AB,D 、 、 E、 FBC分别是 BD 的距离，设其为1 cd6, df2, sc22 6,efcd2V11efdf sc1162223S CEF3332222CESCSE2 3 SCE 中，Rt 在22CFSCSF424230 SCF 中， Rt 在S1 3 hh 1 S,即 6,3EF VV h2 332 由于，解 得 又 SEF CSSEF SEF CEF 33333 间的距离为CD 与 SE 故 .考点 3 直线到平面的距离AC AA GBD 的距离的正方体. 的中点， 求中， BD G TOC o 1-5 h z 到平面是2例 3 如图，在棱长为1111：

14、 把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解思路启迪.Di Ci Oi DGB BD ，平面：解析一解答过程11 A1B 1GBDBD 的距离皆为所求，以下求上任意一点到平面11GGBD 的距离GBDBD 的距离皆为所求，以下求上任意一点到平面11GGBD 的距离,点O 平面 DOAC BDA ABD A ACC11CDB ,，平面，AB11111111111GB D A ACCGBDBDOG ，两个平面的交线是平面又平面 ,111111111OGGBD OHGBD OH 平面 H 于，则有作点到平面，即OH 是 O . 的距离11111 11222O AO O. OG O S 中，

15、 在 1 OG1O1227/11一*u*一了 一 T X X1-Z-工JL*r 作 、 jicA1X JM41126 S 又 3OH2, OHGOH 62 DGB的距离等于即BD3GBD BD ，平面解析二 * * K =l卜A _hO. 1OG O1322到平面.1111GB D GBD的距离平面.的距离皆为所求，以下求点B BD上任意一点到平面1111GB DB GB D 的距离为h 的高，则，将它视为三棱锥设点 B 到平面1111 由于 1114, V V， 6VS 222223 DDGBBB GB, 1111 D GBDGBB 111132322 6 h,3626DGB .的距离等于到

16、平面即 BD 113都是线面距离. 所以求线面距离关键是直线上的每一点到平面的距离都相等，：当直线与平面平行时，小结选准恰当的点，转化为点面距离. 本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离 .考点 4 异面直线所成的角兀 AOAB4 为轴旋转以直线，斜边. 例 4如图，在中，可以通过 AOB A RtAOC A RtRt AAOB OAB6 AC AO B AB D 的中点是的直二面角得到，且二面角CODAOB ； 平面 ) 求证：平面I(D AO CD ) 求异面直线II( 所成角的大小与z AO BOCOAO , I）由题意，解答过程：（AE B O B AO C

17、 BOC 是直二面角，是二面角CBO O AOB COAOBOCO ， ， ，又平面DCO COD COD AOB 平面平面又平面E CE DE II AO OB DE ,（如图），则，连结，垂足为（II）作yCDAO 所成的角与是异面直线CDE BO 12XC BO2.中，在 5 OERt CO A COE BO , 2 CE COOE128/112 s2 sRtCDE 中，.在又tanCDE15 3 DE AO. 5CE33DE2AO CD 15 .所成角的大小为异面直线与 arctan3小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作 法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特

18、殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间如解析三. 一般来说，平移法是最常其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，图形补成熟悉的几何体，.0,. 同时要特别注意异面直线所成的角的范围：用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法2考点 5 直线和平面所成的角AB2 ,/ABC45为平行四边形，侧面 例5.四棱锥S底面.已知 ABCD 中，底面ABCD SBCABCD SB3BC 2 2， SA S（I ）证明；（II）求直线与平面所成角的大小.SAB SABCSDcb解答过程：（I）作，垂足为，连结，由侧面底面 BC AOSBC SOODA ,得底面.A B

19、SOXABCD SBO AOSA SB,因为，所以 AOB /ABC 45 为等腰直角三角形，故又O BC SA AO，BO由三垂线定理，得CSA BC AD II BC ,依题设（n）由（i）知 DA AD SAX,由故一ADBC22SA 3AO2121 SABSD112的面积SO 1ABS ，得 AB 2SA 122AB AD sin135S DAB2 DB 的面积连结，得 211V VhSAB D ， 解得 h2 ， 由于的距离为到平面设h S,得SO S D SABS ABD 21 33SAB SD 所成角为设与平面，则2h sin11SD11SD SBC 22 所成的我为所以，直线与

20、平面arcsin111 ）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（小结面斜交时，常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角，证明论证作出的角为所求的角，9/11计算一一常用解三角形的方法求角，结论一一点明直线和平 面所成的角的值.6考点二面角APQ BC CACB PQ ,已知直二面角 例6 .如图，CBCXPQ CA 45 30BAP. （ I）证明 和平面，直线所成的角为 A PQ P B AC的大小. II）求二面角（BCCO PQ O OB ,连结内过点于点作）在平面过程指：（ ICPQ CO ，所以，因为HA P Q OB CB OA CA

21、 又因为， 所以 O B BAOABO 45 AOB9045 ，而， ，所以BO 1 PQCO PQ,从而，又OBC PQ BC BC PQ OBC .所以平面.因为平面，故PQXBOXPQ ,又）知， （II）由（I,BO O OH AC BH ACBOBHH.故, 所以，由三垂线定理知，于点过点，连结作BHO BP AC 的平面角是二面角COCAO CA 30 CAO由（I）知，是和平面所成的角，则，所以3 3 AOOH ACAO sin 302 ，则，不妨设2BOA O 3 Rt BOH RtAOAB45ABOBAO，所以在 是 ， 在于中中，BP arctan 2 AC3BO 的大小为故二面角2t a n BHOOH32. 解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角. 无棱二面：本题是一个无棱二面角的求解问题小结角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.10 /117考点利用空间向量求空间距离和角7考点利用空间向量求空间距离和角D1 DABCABCD 3A是棱长为 如图，已知例7 .的正方体，iii