第三篇：技术经济预测

1、技术经济学讲义本科教学文件 第 PAGE 48 页 共 NUMPAGES 48 页扒第三篇：技术经按济预测爱 技术经安济分析的一个重搬要特征就是艾“捌预测按”哎性，是在项目尚绊未实施前进行分靶析和研究、论证绊。因此熟悉和掌伴握现代的预测方搬法是进行技术经皑济分析的一个至暗关重要的基本技蔼能。半 目前在靶众多的技术经济版分析方法里所介白绍的是线性预测翱，即把所要求讨拌论的两个（或等把多）的变量之间巴的关系认定为线唉性关系，与之相按对应的有套较完斑整的回归方法和坝检验手段。但是暗，这还远远不够伴，因为在实践中斑，我们所遇到的肮问题中，变量与百变量之间的关系阿往往是非线性的暗，要求我们用相暗应的非线

2、性预测拜方法来讨论和建邦立变量之间的函熬数问题。扒第七章：线性回哎归按 线性回懊归的前提假设是氨：所研究的变量背之间具有线性的盎关系。变量之间肮所构成的函数关肮系为线性的巴埃一次函数。绊坝7.1 一元氨线性回归八我们知道，变量氨之间存在着两种挨关系，第一种是瓣确定性关系。即芭变量之间相互制啊约，通过一些已袄知的变量就可以澳精确地求出另外安一些变量的值。拜如：运动定律中百的F=am知道埃其中任何两个变拜量的值。就能够案求出第三个变量笆的值；第二种是懊非按确定性关系。然颁而，非确定关系白中，有些变量之邦间仍然存在着某摆些相关的因素，搬如我们常说的市昂场需要量与人们罢的收入之间的关扮系。在非确定性案

3、关系中，还有些半变量之间毫无关傲系，如人的体重捌与树木的高度等背，这种关系称为拜完全无关系。伴 确定性拌关系是函数关系颁，导数学领域里跋的事情；非确定懊性关系是数理统埃计的内容。哎 所谓回肮归分析就是研究瓣相关关系的变量岸之间的关系。安一、碍一元线形回归模袄型的建立绊 芭 如果两个相关熬的变量有一序列按的原始数据（笆x盎1啊,y皑1疤）（x白2岸,y蔼2把）办般,（x半n阿,y阿n拜）在直角平面背坐标系中的离散暗图呈线把性澳分布趋势。则用办线形回归方法求拌其近似表达式（拜回归模型）。佰 捌 把 盎 般 鞍 邦 翱 唉 把 啊 把 昂.颁 盎 搬 跋 .跋 案 岸 .半 挨 稗 皑 . 芭 邦

4、暗.拌 艾 罢 按 袄 捌 吧 斑 艾 设回归方程式为瓣 （坝为两背待定拔参数）2、设定误差巴显办然，这里得出的袄估计值与实际值拜之间有误差。即翱: 拜3、板最小二乘法原理艾为了使描述的直拜线最能代表离散摆图的趋势，根据癌最小二乘法的原白则，必须使这些扳误差的平方和为盎最小。4、极值原理背根据翱， 这里有两背个待定参数耙，于是，依极值鞍原理有：八解联立方程组 版 唉 巴 埃 斑 叭 板胺捌(1)啊二、一元线性回坝归应用懊昂例1：某一亩实靶验田每年使用化傲肥和粮食的产量肮如下表所示，求叭：当化肥施用到翱150斤和捌18袄0斤时，相应的隘粮食灿烂是多少跋？昂各年所施化肥量版70阿74唉80霸78爱

5、85岸92艾9捌0哎95摆各年粮食产量埃510叭600唉680拜700熬900白1020澳1000癌1100阿各年所施化肥量摆92瓣108暗115傲123八130傲138熬145半各年粮食产量颁1150半1100氨1180暗1220案1250盎1280埃1300挨解：设化肥的施暗用量为x,粮食安产量为y罢于是根据耙以上的氨统计资料有昂抽样序列 败 , 已知哎 啊计算数据: 鞍 ; ; ;搬于是，由一元线翱形回归方程的待败定系数公式有：瓣故其回归方程为柏：爸 隘 于是,肮当x=150时邦， 得出 敖 柏=1470（公爸斤）邦 爸 蔼 搬当x=爸18敖0时， 得出 疤=1950（公吧斤）安奥*搬附

6、录：当自变量凹为年（或其他时癌间表示时），可巴以简化系数翱的表达式 = 1 * GB3 俺百当年数为奇数时坝，则以中间的一拔年为原点。即：爸令霸=0并将啊的值以一年为计奥算单位。此时，跋时间的序列就相搬应地变为：绊袄-3，-2，-跋1，0，1，2爱，3，癌 = 2 * GB3 鞍把当年的系数为偶安数时，则以中间背两年之中点为原叭点。令其为零，翱并将霸的值以半年为计袄算单位。此时，吧时间序列就相应笆地变为：拔埃-5，-3，-矮1，1，3，5凹叭 扮 因此有： 芭 胺得出：蔼 瓣 颁 安 拌 翱 隘跋澳(2)鞍例笆2百：已知某产品1柏974年至19拌85年的销售资俺料如下表。昂请预测绊19氨88艾

7、年的销量暗。挨 疤 矮 阿 凹单位（吨）鞍1974敖1975芭1976芭1977傲1978扳1979艾1980隘1981爱1982邦1983挨1984胺1985昂500半510扒480佰600颁600邦660瓣580癌700翱680把740把790笆960鞍解：设时间序列摆为，因为是偶数安年，故取197绊9到1980年靶的中间点为原点邦。于是列表如下扮所示：按年份斑1974盎1975把1976鞍1977颁1978芭1979摆1980碍1981埃1982拔1983阿1984安1985邦-11白-9鞍-7跋-5败-3皑-1懊1叭3蔼5哎7背9敖11氨500凹510岸480敖600俺600坝660拔

8、580佰700半680氨740耙790叭960计算： 蔼 隘 ; 唉; 斑 安 办所以根据回归方哎程有 跋故回归方程为：摆 y=17.搬52x+650挨当1988年时翱， x=17艾 肮 背 芭 办 y=17.5半2办暗17+650=坝947.5吨鞍罢7.2版 佰多元线跋性霸回归拌假定因变量办与自变量按之间存在线形关俺系阿。扳一、多元线性回耙归模型的建立1、取样本点 即： 捌2、设定多元线盎性回归模型败回归方程：按 皑 矮颁(3)3、取误差变量 扮 =罢 （肮）肮 吧叭(4)半4、最小二乘法瓣原理 傲 俺 =吧 霸埃.(5)5、极值原理澳 捌 艾挨.(6)袄二、多元线性回按归的矩阵形式鞍1、引

9、进向量、败矩阵的概念（1）矩阵： （2）向量：傲 扒 坝 捌 拔 伴（3）班线性方程组：巴 佰 敖 搬皑捌(7)艾 简化形坝式为：唉 暗 稗 氨奥胺(8)2、简化模型 = = = =稗 =安 罢 懊靶氨(9) 扮 又傲背 鞍是一个数， 叭 于是有柏： 按 扳 爸 埃瓣疤(10)3、假设条件芭 如果满啊足条件：哀 可逆，则有：袄 般 叭 艾扳半(11)阿鞍7.3 背回归模型的检验捌上面得出的回归摆模型是以假定两阿个相关变量存在鞍着线形相关的基搬础上的，然而，鞍这种线形假定究板竟是否符合客观熬实际？它们之间矮的线形相关程度叭究竟如何？还要把进一步用统计理挨论加以检验。按 目前，检罢验一元线形回归瓣

10、最常用的方法是爸检验和t检验.靶一把、癌检验百（相关系数的检啊验）白1、计算相关系办数爱 案 拜 暗把按(12)般袄其中班：鞍 ； 翱 （平均值）熬背将平均值公式代哀入（12）有：捌 爱 疤奥(13)2、判别胺 通过（哎12）或（13哎）式的计算可知啊，扒（1）拌当暗=1时邦：拌说明癌变量癌完全线形相关。吧所有的经验点按都伴严格地皑分布傲在一条直线上，跋且版为白的般增按函数。笆（2）坝当搬=0时霸：绊说明坝变量扮不存在线形关系靶。矮 半（ = 1 * GB3 碍拔x与y毫无关系按； = 2 * GB3 跋皑x与y胺属于爸非线形关系）搬（3）板当啊=-1时耙：氨说明肮变量白完全线形相关，八且y为

11、x的减函瓣数扮（4）一般地，班在（-1，1）邦之间，而且肮的绝对值越大，败说明傲x与y俺有较强的线性关敖系，线性回归效拔果越好；唉反之，澳的绝对值越小，拌说明败x与y碍的线性关系越差败，线性回归效果邦越差。r=1笆 暗 啊 r=-1扮 岸 胺 鞍 搬 澳 半 氨 办 胺 百 哀 俺 癌 3、取置信水平阿 昂为置信水平，一氨般取俺在0.霸1俺巴0.001之间版，（百取得越小，表明爸越严格），扒同时查奥凹表格（相关系数案检验数表），求芭出4、比较与阿在实际检验中，扒先计算出版的值，并取一置疤信水平爱，然后查表得出拜在置信水平熬下的标准相关系碍数胺，然后再用伴与伴比较哎。芭当爸般时，则认为在置疤信水

12、平芭下，办x与y坝是线扒性扳相关的盎；疤当拔扮时，则认为在置哎信水平搬下，x与y是线跋性无吧关的捌。啊例班3爱：对例爱1哀进行巴检验，取置信水哎平挨=0.05扳 解：则有斑： 蔼 柏=疤 斑=0.8848罢由n=1拜5柏,靶 唉=0.05挨 翱查表得霸=0.5324啊 澳 跋0.8848=盎扒=0.5324扳 所啊以在置信水平x靶=0.05下，板x与y是线形相昂关的凹(回归效果良好白)傲。二、t检验昂1、罢对给定的问题，按求出回归模型之澳后，计算下列数奥据 办2、取置信水平般 疤 取置信矮水平百，且查爸分布表求得：3、比较懊 （1）如果瓣吧，则说明在此置伴信水平下，回归爸效果良好；翱（2）胺如

13、果般绊，则认为在此置扳信水平下，回归啊效果不好。袄例4：百仍拔对例佰1哀进行t检验扳解：因为吧=101 懊 肮=999.33斑 所以 笆 拔 摆 矮 而鞍 佰 所以，翱=207731皑 佰 拜=斑 凹 办=扮 取置信水平笆=0.05 伴 则 于是，查表 因为6.85肮所以，说明在此伴置信水平下回归败效果良好。耙第八章 非线挨性预测叭熬8.1埃 疤季节性波动曲线碍预测佰在懊实际中，许多商隘品，尤其是消费癌品，都是随着氨“哀季节把”案的变化而改变其摆市场的需求情况瓣，如服装、食品鞍等。这就称为季版节性波动。同样埃的产品，在一个案时期（往往是以鞍年为时期）内的俺销售曲线是呈周坝期性变化的。这澳类曲线

14、可以利用靶线性回归来进行哀建立预测模型。鞍一、收集原始数霸据办（取样本点）吧1、取疤个样本点叭 坝为了表现出周期扮性变化规律，一斑般要取两个以上鞍的周期样本点 挨 败 例挨1败：颁某企业将200皑3年、2004肮年各月份的产品艾销售量统计如下肮表，试建立季节耙性预测模型，且扳预测2005年疤1、6、8月份隘的销售量。2003年：笆月份邦1昂2吧3肮4矮5胺6敖7捌8吧9板10案11摆12笆销量坝59.1笆55隘50.2埃46.9矮46.2摆46.1盎46.5暗47.2背49.5叭53.1鞍64.4熬66.22004年：伴月份翱13背14岸15胺16稗17唉18柏19哎20拜21拜22伴23鞍2

15、4邦销量稗65.6耙63.2扮59.2柏55.7捌54.3邦53.7耙54百54.8背56.3哎62.6巴69.1伴71.92、作图把在直角平面系中阿作出抽样点的离办散图，并且光滑盎地连成曲线。敖 哎 奥 办 销柏售量叭 啊 摆 皑 半 傲 奥 疤 耙 跋 B啊 扮 半 肮 爸 拌 翱 阿 按 矮 板 把 鞍 白 白 昂A般 叭 拌 笆 八 耙 八 败 矮 啊 敖 佰 版 哀 鞍 办 搬 拔 时捌间挨 哎 笆 0 啊 袄 半 蔼 拔 肮 斑 八取点后在班直角平面上描点凹,并光滑地连接半成曲线(见上图拌)巴二、确定长期趋傲势波动罢 长期趋吧势波动的确定一扳般有两种方法：1、两点法笆 氨取两点坐标

16、：A奥（靶第一个周期的中柏点，懊前鞍个罢抽样点的平均值霸）扳 拔 碍 B（第二个半周期的中点，后隘个抽样点的平均背值）傲 根据A、B绊两点的坐标，建疤立直线方程式：暗 挨 稗 笆 办 扳皑办(1)俺 肮澳例办1鞍中，计算200哀3年的平均销售摆量为：邦2004年的平版均销售量为：凹 于是得到两傲点：A（6，5艾2.95） 癌B(18，60蔼.03)背 班利用两点式求得邦直线方程为:颁 哎 2、线性回归法澳 利用已背得到的邦个稗抽样点进行线性稗回归，将得到回绊归直线方程：奥 艾 柏 扳 傲板碍(2)阿 凹例1中，样本板点的个数是24澳个，于是计算得翱到柏 版 ； 疤 ； 拔 ； 懊根据一元线性回

17、柏归公式计算得到靶 胺 以及直线方程背 搬 蔼三、计算各点的把趋势值澳 胺得到长期趋势的叭直线方程之后氨（上述两种方法皑中，无论用哪一办种方法得到的均捌可以。这里我们唉不妨取瓣）捌，将各办代入模型计算埃值：扮月份x哀j碍1岸2背3搬4昂5半6安7扮8熬9氨10安11埃趋势值y安*皑j芭49.5板50.1败50.7暗51.3扳51.9艾52.5办53.1柏53.7敖54.3胺54.9阿55.5氨12佰13氨14袄15半16柏17熬18白19爱20八21斑22稗23办24靶56.1暗56.7拜57.3版57.9暗58.5白59.1捌59.7翱60.3败60.9靶61.5按62.1矮62.7肮63.

18、3耙 扒由上面计算出来绊的败是表明按照回归白方程邦各点值，它隐去岸了曲线各周期内挨的季节性变化情扳况。傲四、确定季节性稗系数爱 耙 疤 胺计算公式：隘 叭 岸绊叭(3) 斑（其中胺为抽样点的值，暗为回归趋势值）懊 暗在例题中，我唉们取的样本点是班两个完全循环周按期，因而应该将拌各周期中的相同绊月份的季节性系昂数进行平均，取叭平均值作为预测罢模型的季节性系佰数：瓣月份哀x肮j半1芭2拌3柏4斑5癌6鞍7啊8叭9奥10叭11颁12扒03年挨袄j罢1.19哀1.10班0.99霸0.91拔0.89翱0.88唉0.88懊0.88爸0.91搬1.06坝1.16芭1.18岸04年绊矮j坝1.16袄1.10胺

19、1.02拜0.95俺0.92哀0.90扮0.90哀0.90碍0.92叭1.01哎1.18拜1.14翱均值鞍般*把1.18邦1.10柏1.01蔼0.93拔0.91挨0.89叭0.89霸0.89叭0.915版1疤.035阿1.17俺1.16百根据两个周期的昂季节性系数相加俺后取平均值得到板：绊 疤 按 叭 矮 阿 唉 败 罢 班 稗 邦 班 办 蔼五、建立季节性版波动预测模型懊 鞍 肮 八 按疤鞍(4)凹 绊 在例题中，翱我们得出拔（啊）六、预测巴 板在例题中，我们暗要预测2005袄年1月、6月、八8月份的销售量俺，故有：斑2005年1月蔼：艾 巴 斑 隘2005年6月疤： 八2005年8月柏：

20、艾懊8.2矮 背修正指数曲线笆预测艾一、修正指数曲鞍线巴对于取得的一组袄样本点序列稗 ，如果分布成背下面形状，就可昂以用修正指数曲俺线模型拟合。阿1、修正指数曲坝线模型蔼修正指数曲线的巴表达式为：伴 百 袄傲摆鞍(5)岸 唉 绊式中，昂是三个参数，且板0， 0俺1 把2、凹修柏正指数曲线败图像哀在岸中,x代表哀时间（一般为案年次皑）艾,(以原始资料扳中最初年份为0半,依次递增,y懊表示趋势值,阿 伴为待定参数,其霸图形如下:3、函数取值表蔼 绊为了求出参数邦，我们岸将时间序列爸按年次分为相等巴的三个部分矮（即：将抽样点瓣分为三个相等的俺部分）爱。巴 如果爱不是3的倍数，爱则可以在各段接版头胺（

21、首尾）氨处重复一年或两安年岸（一次或两次）蔼。 y斑 奥 胺k 蔼 啊 摆K拌+a翱 坝 0唉 扳 澳 昂 癌 坝 哎 澳 隘 x叭（修正指数曲线般图形） 佰设抽样点分段后斑每段有八个点（年），于坝是从第0年开始敖，根据懊的表达式，列出哀表如下：霸年碍 版份挨 唉的值俺的值斑的值皑第一部分巴0坝1搬2袄3稗啊坝碍第二部分笆把白靶-1扒第三部分氨霸败摆二、修正指数曲安线预测模型1、我们记吧 矮 伴 岸表示第一个八年观测值之和；昂 翱 表示第二罢个邦年观测值之和；叭 澳 表示第三蔼个氨年观测值之和盎2、瓣把上表中取值结搬果代入公式于是得到： 班 啊 =翱 扳 = 扒 坝 =矮 扒 爸 =昂 艾 哎

22、 =颁 暗 瓣 =熬 3、推导 澳 扮 = 稗 伴 =邦将上面两式相除百，有 挨得到：摆 隘 肮 白 爱芭班(6) 笆将(6)代入肮 懊=耙 跋得到:埃 芭 跋 稗 扮 靶 般伴邦(7)办再将(6)和(按7)代入公式靶=矮便有:阿 耙 艾 拌 哎 巴板岸(8)敖三、修正指数曲啊线预测计算程序般 哎1、盎取时间序列的样办本点般 般，并将样本点按耙时间序列（按年安或其它时间段）扮编号：0，1，耙2，靶案,分为三个相等盎的部分，每个部澳分包含安个样本点。稗 笆 若蔼，则可在每部分背的相接处重复1阿2次。2、计算参数澳3、巴写出修正指数曲昂线回归方程： 4、预测。胺 摆例2；某新产八品的销售资料如扒下

23、表所示，试建颁立预测模型，并伴预测2006年敖的销售量。阿年份翱1992安1993矮1994败1995斑1996氨1997敖1998唉销售量罢150氨250啊380般540邦790百900艾1100挨年份皑1999挨2000凹2001扮2002百2003斑2004挨销售量板1350叭1600邦1650瓣1700隘1710奥1720 解：背 = 1 * GB3 扒巴因为样本点的数碍目是13个，不把是3的倍数，所巴以在分段时要重邦复用到有些样本叭点，分段及编号白如下表：氨 叭 八 昂 癌 袄 邦 伴 矮 般佰年份拌19叭9爸2啊19霸9挨3凹19罢94芭19奥9稗5斑19蔼9盎6耙销售量肮150八

24、250拌380八540疤790翱0碍1肮2板3案4靶年份暗19隘96班19按97爱19胺98伴19霸99八2000吧销售量半790瓣900唉1100艾1350翱1600败5岸6伴7奥8熬9罢年份按2000按2001隘2002懊2003霸200埃4板销售量敖1600笆1650隘1700埃1710败1720哎10搬11袄12皑13绊14安 = 2 * GB3 叭叭计算数据（注意碍这里版=5）霸 挨=2110绊 背=5740败 熬=8380 凹 叭 = 3 * GB3 敖矮回归模型为 = 4 * GB3 预测懊 因为2稗006年对应于绊时间序列中的凹=16，代入回碍归方程得出：吧 澳=白1756.2

25、霸四、可化为修正白指数曲线模型的矮其它曲线拔1、傲逻辑曲线方程邦 肮 靶暗挨(9)矮作变换： 般 ； 昂 得出：笆再作变换： 败 ； 啊 ； 隘 ； 碍便得到逻辑曲线绊预测模型：拜 百 俺癌跋(10)坝2、傲戈铂兹曲线方程唉 拜 凹败按(11)两边取对数:坝作变换: 懊 ； 笆 ； 拔便得出搬戈铂兹曲线熬预测模型：百 办哀耙(12)绊戈铂兹曲线又称安生长曲线，反映罢了事物的生长过埃程艾,懊如科学发展的过稗程正如此。第二个生长过程第一个生长过程袄颁8笆.捌3按一般可化为直线安模型的凹曲线预测邦一、曲线预测一扮般程序和步骤班在实际中，有时盎两个变量之间的版关系，并不是线氨形关系，而是非扮线扮性爱关

26、系，这时，就隘要根据经验点（搬原始资料统计的扒数据），选配适傲当的曲线来进行班回归。在一些曲伴线的回归过程中疤，是通过将曲线暗化为直线进行回叭归的。曲线模型斑的线半性背演化过程的程序版如下：奥第一步：收集原败始资料，得出一摆组经验点巴；靶第二步：在吧直角平面坐标系蔼中作出经验点的傲离散图胺；般第三步：分析离捌散图，选择适当按的曲线模型与之拔拟合背；安第四步：将曲线版模型吧进行适当的变换安，使之成为碍线矮性坝模型白；碍第五步：求出线摆形回归方程暗；俺（得出参数值）敖第六步：还原成挨曲线模型碍；昂第七步：回归跋（预测）。哀 吧 例笆3按：下表是碍某产品连续十年傲来的销售情况，哀试建立回归模型唉，并

27、预测200邦6年的销售量。艾年 份案1995白1996氨1997暗1998蔼1999熬2000靶2001扳2002翱2003爱2004耙序 号版1袄2懊3瓣4瓣5半6阿7唉8熬9按10吧销售量稗5疤12啊20昂29拌40隘50啊63昂74背86罢96挨解：先将观察点矮绘成离散图盎这个图形呈幂函按数的形状，因而扳选取搬作为拟合曲线昂进行回归。暗对于捌两边取对数： 凹 叭作变换凹：伴 搬 ； 霸 ； 挨 ； 败 蔼便有白直线模型叭 阿计算艾=唉，按列表如下：案样本值拜1矮2白3芭4邦5矮6搬7扳8鞍9暗10柏0佰0.3坝0.48稗0.6靶0.7扳0.78矮0.84板0.9翱0.95阿1靶样本值拌5

28、稗12拌20罢29按40斑50芭63傲74扳86哎96爱0.7拔1.0办8坝1.3肮1.46俺1.6捌1.7办1.8扮1.87按1.93八1.98八 奥翱 隘 ； 跋 ；罢 ； 矮 坝把 依线性回归公袄式有： 般得到线性回归方熬程式： 奥查反对数表还原拌：扒 奥 故有： 巴于是，得到原问班题的曲线回归模搬型为： 盎预测，因为20胺06年对应于序扳列数12，所以癌有： 罢二、常见几类基唉本初等函数的表爱达式及图按像1、幂函数扳 表达式佰： 扳 步骤：翱 扮（1）两边取对唉数 按（2）艾作变换 肮 半 得出线哎性回归模型：哀 由样本唉点懊计算出唉，求出懊及吧，并查反对数表袄还原艾及板，就可以得到幂

29、半函数回归方程式瓣：2、指数函数肮 表达式鞍： 步骤：吧 （1）澳两边取对数 隘 （2）挨作变换 暗 得出线熬性回归模型： 岸 由靶样本点办计算出肮，求出案及暗，并查反对数表稗还原霸及版，就可以得到敖指数安函数回归方程式瓣：3、对数函数板 懊 表达式：隘 步骤：耙 作变换版 白 得出线按性回归模型： 罢由样本点跋计算出耙，求出皑及班，就可以得到对搬数函数回归方程扮式：4、多项式函数翱 表达式哀： 耙 步骤：般 作变换巴 背 得出多拜元线性回归模型蔼：蔼 由样本安点艾计算出敖，求出氨，就可以得到对唉数函数回归方程巴式：摆 蔼 5、双曲线函数般 表达式蔼： 步骤：拌 作变换班 懊 得到线拜性回归模

30、型：蔼 由样本矮点懊计算出扒，求出扒及斑，就可以得到对版数函数回归方程巴式：案第九章 佰马尔柯夫链9.1 概论叭马尔柯夫过程（捌简称马氏过程）癌是一个数学模型败。马尔柯夫过程伴首先要满足基本爱的条件：无后效碍性（或无记忆性背）盎马氏过程是研究埃不同状态下变化巴的情况。也就是昂研究系统由一个艾概率向另一个状肮态转移的主观观鞍察的概率。败马氏过程所研究稗的动态概率系统斑的状态转移是服邦从一个概率转移爸矩阵，可以连续靶地或周期地观察佰。扳 靶 背马尔柯夫过程目疤前在国防、生产胺，特别是在系统坝控制、可靠性、挨生存产储、设备爸维修、市场占有搬的预测、市场销坝售的动态的决策颁等应用最广泛。安一、拜转移概

31、率矩阵绊1、一次转移概鞍率矩阵拜设昂事物按有案个状态：状态芭，状态百，状态肮,敖啊,熬状态案；艾事物澳处于各个状态的般概率分布为:佰 （其中碍）；案表示由状态俺一吧步转移到状态办的概率.般于是哎有哀转移概率皑矩阵八：坝 安 P=矮转移概率搬矩阵斑P叭具疤有下面两条性质肮：八 扒胺、敖 0拔凹翱1 （挨=1,2,捌奥；邦 肮=1,2,案稗）懊 扮邦、暗 版 （澳=1,2,八柏）笆 半例如：某产品胺A的销售情况分氨为：唉状态1；销路很皑好状态2：销路好败状态3：销路一艾般八状态4：销路不佰太好阿状态5：销路不半好疤状态6：销路很绊坏状态7：无销路吧因而，产品A现隘阶段（可以是年拌，月，季度等）隘可

32、以处在以上7挨个状态中间的某笆一个状态（当然爱是随机的）于是艾：半表示现在处于销爸路很好时，下一凹阶段仍为很好的稗概率摆；扳表示现在处于销笆路很好时，下一耙阶段销路好的概皑率稗；埃表示现在处于销阿路很好时，下一哀阶段处于销路一凹般的概率俺； 熬2、K次转移概扮率矩阵扳假设前提：扳事物靶每一步转移都按按照相同的转移概邦率矩阵进行。胺我们记袄 艾为经过巴步转移后的转移捌概率矩阵，那么凹应该有：背 班 （安个凹相乘）柏 按 = 蔼二、霸有熬“蔼利润傲”爱的马爱尔巴柯夫链1、定义蔼设版事物奥由状态拌（爸=1,2,跋罢）氨经过一步转移到罢状态耙（矮）蔼时有一个利润值捌与之把对应稗。 （癌其中：啊）癌便得

33、出按事物埃经过一步转移肮的岸“班利润熬”班矩阵： 澳2、K步转移利翱润碍记岸为爸事物半现在处于状态白经过俺步转移后获得的搬总百“半利润板”颁期望值绊，摆且定义矩阵运板算：P*R=*=引进向量：= 唉我们白作颁出般状态啊转移昂及利润计算案示意胺图佰（罢如下阿“霸有利润马尔柯夫昂链计算示意图跋”疤 百）吧由图中可以看出笆； 令便有：白 拌 暗 罢哀(13)爸由于懊事物矮每转移一次,就斑产生一个敖“芭利润伴”澳，故第败次转移后所产生巴的霸“皑利润蔼”爱期望值 = 第鞍一次转移的期望鞍值+第二次转移哀的期望值+绊霸+第班次转移的期望值凹。板 八 矮 板 皑 = = =于是得到：啊第一步转移 笆 按 第

34、二步转移 板 搬 第三步转移拌 靶 跋 懊 爱碍 胺 鞍 拌 鞍 蔼 皑 疤 跋 挨 阿 捌 蔼 版 摆 哎 靶 耙 瓣 叭 八 摆 埃 埃 半 癌 疤 半 搬 跋 鞍 昂 澳 袄 氨 扮 佰 败 拌 绊 盎 疤 盎 颁 盎 稗 百 板 翱 巴 八 鞍 拔 澳 袄 罢 袄 唉 吧 霸 半 芭 跋 奥 埃 八 绊 扒 芭 矮 八 白 袄 靶 氨 奥 邦 稗 爸 凹 芭 叭 佰 八 坝 碍 暗 唉 疤 翱 背 搬 稗 挨 傲 埃 芭 稗 敖 癌 爱 埃 芭 巴 罢 把 阿 拌 袄 搬 把 瓣 翱 氨 按 邦 矮 芭 耙 背 挨 芭 艾 阿 把 翱 霸 癌 翱 拔 吧 隘 傲 搬 案 板 邦 隘 氨

35、 般 霸 鞍 佰 佰 氨 巴 绊 芭 隘 扮 背 瓣 爸 癌 霸 哎 霸 昂 扮 耙 鞍 癌 皑 盎 稗 扮 懊 爱 扒（有利润马尔柯叭夫链计算示意图耙） =班 昂 =瓣 摆 版稗(14)叭=第一次转移期挨望值+第二次转懊移期望值+第三隘次转移期望值艾 =第二隘次转移后的期望氨值+第三次转移傲期望值= +袄 耙 鞍 扒+拜 袄 艾 瓣板 +办颁 +疤 啊 佰 巴 =昂 皑 +碍 奥 +挨 扮 +耙办 暗 += + +罢 +颁 += += += 令便有： 佰 稗 =敖由(14)式袄=袄可知:懊 百 绊 伴蔼(15)白依此类推,我们伴得到一般递推公岸式为:稗 埃 阿 哀敖(16)或者:隘 唉 拜唉

36、(17)疤这就是哎事物邦现在处于状态爱，经过办步转移后的利润版期望值总和！罢瓣9.2 懊 暗平稳理论一、平稳理论熬定理1罢：敖设岸为一概率矩阵，疤则有：拜 霸 佰 跋芭(18)版矩阵疤称为概率矩阵班的平稳概率矩阵摆。同时不难发现袄，在搬中癌个行向量是相同案的。跋定理2哀：扮设扒是一个分布向量阿，则有：唉 翱 安 澳颁靶(19)拔 也就是坝说，无论起初的奥分布向量如何，背只要当概率矩阵奥经过无穷次转移熬，最后的分布仍靶然趋向一个稳定叭的分布岸柏平稳概率矩阵中敖的一个行向量。二、实际变动啊 在实际暗应用中，我们不暗可能去按照拜寻求矮，拜（因为这样是几版乎不可能的事情案）蔼，而是用一些近昂似的方法求

37、得隘。稗 我们认懊为，只要奥相当大，下式就熬可以成立：俺 瓣 搬 拜爸芭(20)而 所以有：哎 胺爸氨(21)安当靶充分大时，我们阿又可以认为：懊 俺 蔼 班肮埃(22)绊结合(21)和巴(22),肮于是就得到： 即:肮 哀百案(23)搬解齐次线性方程蔼组芭 扳 哎 般盎敖（24）俺便可求出稳定向佰量拌。盎百9.3把马尔柯夫链应用扳一霸、市场占有率的绊预测碍1、进行市场调颁查，分析得出下俺面两组信息翱（1） 叭目前市场占有情氨况。矮即你邦企业艾的产品在市场上版的占有率以及同澳类产品的厂家在半市场的分别各自佰的占有率伴；拔（2） 前一阶矮段（年，月，季翱度等）你疤企业隘的市场占有情况摆以及其它厂

38、家的瓣市场占有情况，颁且分析占有流动哀情况。拜（当然，也可以把用前几个阶段的摆占有流动情况综挨合分析。）吧2、建立转移概巴率矩阵皑3、进行市场占吧有预测袄例伴4颁：某出口产品，唉其竞争对手有日艾本、南朝鲜，其伴调查得出现在市盎场占有情况为： = 1 * GB3 袄把目前瓣购买中国产品的颁顾客占40%，鞍购买日本产品的捌占30%，购买敖南朝鲜产品的顾爱客占30%，同摆时，分析得知：叭 = 2 * GB3 扮斑前一年买中国产版品的顾客中，本拔年仍有80%买癌中国产品，15版%买日本产品，鞍5%买南朝鲜产敖品敖 前一年版买日本产品的顾熬客中，本年有4靶0%买中国产品笆，40%仍买日把本产品，20%爸

39、南朝鲜产品隘 前一年昂买南朝鲜产品的敖顾客中，本年有案20%买中国产班品，20%买日扮本产品，60%耙仍买南朝鲜产品分析如下我们可以得出：八1）芭现在的市场占有叭分布为：（一共伴有三个状态，买挨中国的产品，买氨日本的产品，买搬南朝鲜的产品）摆 稗 把=（40%，3昂0%，30%）坝2）熬转移概率矩阵为氨：澳 笆=傲 板 如案果我们要预测3隘年以后的市场占巴有情况，则应该按取蔼=3蔼 捌 班=蔼=蔼 绊此矩阵表示意义巴为三年以后：绊现在购买中国产懊品的顾客仍有6案6.4绊%笆购买中国的产品扮，20.25%唉的顾客购买日本阿的产品，13.挨35%顾客购买挨南朝鲜的产品肮；凹现在购买日本产敖品的顾客

40、三年以氨后将有56.4百%购买中国的产吧品22.6%的碍顾客购买日本产版品，21%的顾败客购买南朝鲜的背产品敖；阿现在购买南朝鲜癌的产品的顾客三伴年以后将有46盎.2%购买中国吧产品，22.8背%的顾客购买日败本产品，31%癌的顾客购买南朝爱鲜产品。绊3）盎市场占有预测扒 三年以后市凹场占有情况为： =拔 敖=（爱40%，30%爸，30%芭）靶 搬 =（扳57.34%，扒21.72%，啊20.94%吧）敖即：三年以后该袄产品中国在香港绊的占有率为57坝.34%，日本按占有率为21.蔼72%，南朝鲜案为20.94%扳。胺 半例5：某地区艾经过对300人稗的抽样调查得到把资料如下：胺 = 1 *

41、GB3 吧啊原背来皑饮水果酒的人现胺在仍然喜欢饮水颁果酒的占85%靶，巴改饮啤酒的占5疤%，改饮白酒的阿占10%；凹 = 2 * GB3 颁凹原来饮啤酒的人柏现在仍然喜欢饮艾啤酒的占90%碍，改饮水果酒的背占5%，改饮白鞍酒的占5%；半 = 3 * GB3 挨捌原来饮白酒的人爸现在仍然喜欢饮安白酒的占80%氨，改饮啤酒的占爱10%，改饮水碍果酒的占10%胺。佰 试问经过若昂干年后，当处于百平衡状态时，三摆种饮酒的人各占把多少？ 分析：盎建立状态转移概扮率矩阵如下：哎保持或丧失按水果酒哀啤酒搬白酒熬保持或八获得肮水果酒敖0.85版0.05澳0.10靶啤酒坝0.05柏0.90板0.05凹白酒稗0.

42、10斑0.10佰0.80即:解联立方程组:斑得到向量搬：靶(摆0.32，0.疤42，0.26耙)，这就是若干袄年后饮酒人群中办饮各种酒的人数阿分布。罢二按、有搬“霸利润哎”般的期望报酬预测霸1、抽样调查，斑统计，并且处理伴数据得出以下两暗个矩阵 = 1 * GB3 凹般概率转移矩阵蔼； = 2 * GB3 “利润”矩阵熬由P和R构成了艾一个有俺“熬利润伴”盎的马尔柯夫链。斑 2、建立期望岸预测的数学模型澳 办 搬3、进行预测和皑决策捌办例柏6俺：某工厂准备开扳发一新产品，投耙资15万元，对熬市场作出了大量傲的调查。估计产敖品可能出现三中疤状况：畅销、一巴般、滞销。并分斑析得出P和R如俺下，如果

43、该工程办的寿命为五年佰，矮试决策之。拜 = 1 * GB3 哀笆目前的概率分布斑为：按 捌（销路好，一般把，滞销）=（8爸0%，20%，叭0）八 = 2 * GB3 俺拔转移概率矩阵为肮：版 啊P=白 = 3 * GB3 肮伴“蔼利润背”疤矩阵为靶：拔 R=皑 （单位啊：万元）瓣解：首先计算 扒 =P*R=*= =+疤 案 办= =+班 奥 澳=背+昂 敖 懊=啊+= =+捌 蔼 芭=昂+=+=+ =背由笆可知皑，碍若新产品处于畅埃销时，5年后可拔获得期望利润2按4.32。万元岸；若新产品现在埃处于一般时，5叭年后可获得利润傲20.52万元搬；若新产品现在昂处于滞销时，5邦年或可获得利润扒10

44、.95万元邦。肮 柏 隘再由现在产品的霸分布概率（80佰%，20%，0啊）可知5年后将鞍获得期望利润为澳 （0背.8，0.2，摆0）班=23.56（矮万元）拌 霸 袄 因为23.5板6-15=10败说明方案可行。岸如果考虑资金的岸时间价值，设芭=10% ， 吧则23.56（罢P/F，10%按，5）=23.癌56笆百0.6209=般14.63万元斑罢10万元，说明爸方案俺还是俺可行。熬三、选择设备保拌养地点拔例7：挨汽车出租公司在斑甲、乙、丙三个哎地点附近设有停傲车场，哀顾客可在甲、乙吧、丙三处租车，颁汽车送走顾客后爱，（如果没有载岸客）就要回到甲胺、乙、丙三处候芭客。根据过去统百计资料，汽车在

45、肮三处的往返关系蔼的概率如下：盎返回敖甲奥乙熬丙鞍租车笆甲稗0.8哎0.2艾0胺乙跋0.2罢0伴0.8叭丙拜0.2唉0.2般0.6安 凹 半 版若该公司准备在啊甲、乙、丙三处翱的某一处建设一昂个汽车保养厂，俺问，应该选择在伴哪里最优？ 分析：哀 根据题傲意可知，要选择暗地点建厂，就是巴要知道公司经过奥长期的经营后，伴集结在何处的汽鞍车最多。板 这就成八为一个求稳定概皑率向量的问题。盎 半敖 癌 暗 凹懊有方程组：疤 爱 显然，扒这是一个齐次线扮性方程组，根据笆克莱姆法则，如昂果碍是非奇异的，则办方程组只有唯一隘的零解；如果安是奇异的，则方捌程组有基础解系袄（即有无穷多个皑解）拔，为此，再增加佰

46、一个方程： 扒于是解联立方程绊组：瓣经过计算得出解吧=（0.5，0昂.17背，癌0.33）靶，说明经过长期把的经营后，甲地颁的汽车集结最多敖，所以保养厂应岸该建在甲处。绊四氨、选择零部件的半更新方式拔例8：败机械制造厂要定暗期检查机床轴承案，按照惯例，工熬厂把轴承分为四鞍个等级：第一级懊斑新轴承；第二级蔼拜轻度磨损；第三氨级把霸中度磨损；第四半级拜拌报废轴承。疤 如果在扮检查中更换一副稗轴承，其费用是跋50元，但如果耙机床仍用坏轴承罢运行，则就可能佰发生事故，而根跋据过去的统计资隘料表明，每发生哎一次事故所造成澳的费用损失平均袄为250元（其瓣中还不包括换新熬轴承的费用）霸。板又败根据过去的经

47、验按：一副新轴承在颁下次检查时有0案.9的概率成为俺二级，0.1的霸概率成为三级；伴一副二级轴承在捌下次检查时有0熬.6的概率仍为鞍二级，0.3的绊概率变为三级，版0.1的概率成俺为四级(报废)拔；一副三级轴承巴在下次检查时有按0.7的概率仍背为三级，0.3邦的概率变为四级胺(报废)。阿工厂现有两个方疤案：拔（1）般在每次检查中把吧四级轴承全部换搬掉；跋（2）在每次检办查中把三级及四伴级轴承全部换掉敖。试选优。 分析：绊 = 1 * GB3 叭傲根据题目可知啊，由于在检查开鞍始时，机床上不啊可能存在一级的肮轴承；反之，在袄检查完毕后，机伴床上也不再存在扮着四级轴承。所拌以得到各级轴承凹之间的转

48、移概率隘矩阵为：笆转换成扳一级般二级版三级按四级艾原来的哎一级办0靶0.9拔0.1肮0版二级拜0办0.6芭0.3爸0.1安三级疤0扮0蔼0.7爸0.3哎四级巴1挨0昂0袄0即: =暗 = 2 * GB3 跋哀对于第一种方案鞍:岸 经过长背期的运转及更换阿后，达到平衡状阿态时，各级轴承盎所占的份额是多稗少呢？这就要求敖计算平衡概率分叭布向量，解联立半方程： 得到：氨 背 =（0.15傲，0.33，0捌.37，0.1碍5）颁这里有一点值得背注意，实际上我般们在机床上永远摆只能看见三个级埃别的轴承（1，巴2，3级或2，阿3，4级），因阿为一级轴承和四翱级轴承不可能同伴时出现在机床上昂，所以，扳=（0.15，俺0.33，0.坝37，0.15拌）实际上并不是扮概率向量，所以昂此向量该写成下般面形式更为确切班：（一级，二级跋。三级，四级）傲=（奥0.15，0.肮33，0.37暗，0）懊，为了使这个向把量成为概率向量挨，由于在机床上哎只有三个级别的芭轴承，于是，败真正的分布向量挨应该为：=哎 爱 跋 拔 =（0.17哀7，0.388斑，0.435鞍，0靶）挨以一副轴承为计疤算单位，我们知安道，更换的概率瓣为17.7%，巴（即每次检查时岸有17.7%的案轴承为四级轴承瓣），同时，四级熬轴承可能发生事