吉林省长春市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【含答案】

1、吉林省长春市2021-2022学年高一下学期期末数学试题题号一二三四总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、单选题1复数的虚部为（）A1BCD2设，为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则3如图，是水平放置的AOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且AOB的面积为12，则的长度为（）A1B2C3D44若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且直角边长为，则该圆锥的侧面积为（）ABCD5在中，角的对边分别为，已知三个向量，共线，则的形状为（）A等边三角形B钝角

2、三角形C有一个角是的直角三角形D等腰直角三角形6关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论错误的是（）A某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查B为了解高一学生的视力情况，现有高一男生480人，女生420人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为63，则样本容量为135C若甲乙两组数据的标准差满足则可以估计乙比甲更稳定D若数据的平均数为，则数据的平均数为7设复数满足，则（）AB2CD8如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（）AA，M，O三点共线BA，M，O，A1不共面

3、CA，M，C，O不共面DB，B1，O，M共面评卷人得分二、多选题9设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（）A给定向量，总存在向量，使；B给定向量和，总存在实数和，使；C给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；D若，存在单位向量和正实数，使，则.10对于，角的对边分别为，有如下判断，其中正确的判断是（）A若，则B若，则C若，则符合条件的有两个D若，则是钝角三角形11为了解某贫困地区实施精准扶贫后的成果，现随机抽取了该地区三个县市在2021年建档立卡人员年人均收人提升状况.经统计，A县建档立卡人员年人均收人提升状况用饼状图表示，B县建档立卡人员年人均收人提升状况

4、用条形图表示，C县建档立卡人员年人均收入提升的均值为122（百元），方差为4，A，B，C三县建档立卡人数比例为345，则下列说法正确的有（）AA县建档立卡人员年人均收入提升的均值为122BB县建档立卡人员年人均收入提升的方差为5.6C估计该地区建档立卡人员的年人均收入提升120.75百元DC县精准扶贫的效果最好12已知球O的半径为4，球心O在大小为60的二面角内，二面角的两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆，若两圆，的公共弦AB的长为4，E为AB的中点，四面体的体积为V，则正确的是（）AO，E，四点共圆BCDV的最大值为评卷人得分三、填空题13已知复数满足，则_.14在中，E是中点，则_.1

5、5如图，铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面边长、高都为，圆柱的底面积为.若将该螺帽熔化后铸成一个高为的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_.（不计损耗）16平面过正方体的顶点平面平面，平面，则所成角的正弦值为_.评卷人得分四、解答题17如图，在四棱台中，底面是平行四边形，平面，.(1)证明：；(2)证明：平面.18已知，为不共线的单位向量，且与共线.(1)求的值；(2)在，这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答.问题：若_，分别求和的坐标.（注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分）19从某校高一年级新生中随机抽取一个容量为20的身高样本

6、，数据如下（单位：，数据间无大小顺序要求）：(1)若为这组数据的一个众数，求的取值集合；(2)若样本数据的第90百分位数是173，求的值；(3)若，试估计该校高一年级新生的平均身高.20如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PAAB4，E为PB的中点，F为线段BC上的点，且BFBC.（1）求证：平面AEF平面PBC；（2）求点F到平面PCD的距离.21如图，在ABC中，ACBC延长BA到D，使得AD2，且(1)若，求DBC的面积；(2)当时，求ACD面积的取值范围22如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，点在线段上，且(1)探究在线段上是否存在点，使得平面

7、，若存在，试证明你的结论；若不存在，请说明理由(2)设二面角的大小为，若，求直线与平面所成角的正弦值答案：1C【分析】根据复数的概念判断即可；【详解】解：复数的虚部为；故选：C2D【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可【详解】解：对于A：若，则或，故A错误；对于B：若，则或，故B错误；对于C：若，则或或与相交（不垂直），故C错误；对于D：由线面垂直的性质定理可知，若，则，故D正确；故选：D3B【分析】画出AOB的原图，根据三角形AOB的面积为12可得答案.【详解】画出AOB的原图为直角三角形，且，因为，所以，所以. 故选：B. 4B【分析】求出圆锥的母线

8、，底面半径，利用圆锥侧面积公式求解出答案【详解】因为圆锥的轴截面是直角边长为的等腰直角三角形，所以圆锥的母线长为，底面直径长为，半径为，则此圆锥的侧面积为，故选：B5A【分析】由向量共线的坐标运算可得，利用正弦定理化边为角，再展开二倍角公式整理可得，结合角的范围求得，同理可得，则答案可求【详解】向量，共线，由正弦定理得：，则，即同理可得形状为等边三角形故选：A6C【分析】对于A，根据普查的适用情形即可求解；对于B，根据分层抽样的抽样比即可求解；对于C，根据标准差的含义即可求解；对于D，根据平均数的公式即可求解.【详解】对于A，了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查，故A正确；对于B，

9、根据分层抽样抽样比可知，样本容量为，故B正确；对于C，因为，所以甲的数据更稳定，故C不正确；对于D，因为数据的平均数为，所以，所以数据的平均数为，故D正确.故选：C.7D【分析】设，由条件列关系式化简可求.【详解】设，因为，所以，所以，又，所以，所以又，所以，故选：D.8A【分析】只需证明A，M，O三点均在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上即可.【详解】由ABCDA1B1C1D1是长方体，易得A1，C1，A，C四点共面A1C平面ACC1A1MA1C，M平面ACC1A1，又M平面AB1D1M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上A，M，O

10、三点共线，故A正确，所以BC错误对于D，BB1与OM异面，故不正确故选：A.9ABD【分析】根据向量减法说明A；根据平面向量基本定理判断B；举例说明C；根据平面向量基本定理，结合三角形的性质，即可判断D.【详解】对A，给定向量，总存在向量，使，即，显然存在，所以A正确.对B，因为向量，在同一平面内且两两不共线，由平面向量的基本定理可得：总存在实数和，使，故B正确对C，给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使，当分解到方向的向量长度大于时，向量没办法按分解，所以C不正确.对D，存在单位向量、和正实数，由于，向量、的模为1，由三角形的三边关系可得，所以D成立.故选：ABD10ABD【分析】利用

11、正、余弦定理、倍角公式以及三角形的一些结论进行判断求解.【详解】对于选项A，若，则，由正弦定理有： ，故A正确；对于选项B，若，则由正弦定理有： ，所以，即，故B正确；对于选项C，若，显然三角形的一个内角及两邻边确定，则符合条件的只一个，故C错误；对于选项D，若，由正弦定理有：，由余弦定理可知， ，所以在中，角C为钝角，所以是钝角三角形，故D正确.故选：ABD.11BCD【分析】A.利用均值公式求解；B.先求得平均数，再利用方差公式求解；C. 利用均值公式求解；D.利用平均数和方差判断.【详解】A. A县建档立卡人员年人均收入提升的均值为，故错误；B. B县建档立卡人员年人均收入提升的平均数为

12、，B县建档立卡人员年人均收入提升的方差为，故正确； C. 该地区建档立卡人员的年人均收入提升：百元，故正确；D. A县建档立卡人员年人均收入提升的均值为，所以，故C县精准扶贫的效果最好，故正确； 故选：BCD12ABD【分析】连结OE,O1E,O2E,O1O2,OA,判断出,利用勾股定理求出,可判断B证明出, 即可判断四点共圆,从而判断出A正确.直接求出,可判断C错误;设,先求出，即可求出,可以判断D.【详解】因为公共弦AB在棱l上,连结OE,O1E,O2E,O1O2,OA,则,则,故B正确.因为二面角的两个半平面分别截球面得两个圆O1，O2，O为球心,所以OO1,OO2,又平面, 平面,所以

13、, , 故，所以，对角互补的四边形为圆内接四边形，所以四点共圆,故选项A正确.因为E为弦AB的中点,故AB, AB,故即为二面角的平面角,所以,由正弦定理得,故选项C错误;设,在中,由余弦定理可得, ,所以,故，所以,当且仅当以时取等号,故选项D正确.故选:ABD与球有关的问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：公式法；多面体几何性质法；补形法；(寻求轴截面圆半径法；确定球心位置法131+i#i-1【分析】利用复数的运算进行化简即可【详解】，则，故142【分析】由向量的线性运算结合数量积的定义及运算律求解即可.【详解】.故2.15【详解】设正三棱柱的底面边长为 ，则 16【分析】根据已知条

14、件画出图形，再利用异面直线所成角的定义及解三角形即可求解.【详解】由题意可知，延长与平面交于点，延长与平面交于点，连接，即平面所在平面为平面，如图所示因为平面平面，平面平面，又，所以.同理可证,所以所成角的大小与所成角的大小相等，在正方体中，所以是等边三角形，所以所成角就是,所以所成角的正弦值为.故答案为.17(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据题意证明平面，进而证明结论；（2）连结AC，设，连结，证明四边形是平行四边形即可结合判定定理证明结论.（1）证明：（1），在中，由余弦定理得，平面ABCD，且平面ABCD，又，平面.又平面，.（2）证明：连结AC，设，连结， 四边形是平行

15、四边形，由棱台的定义及知，且， 四边形是平行四边形，又平面，平面，平面.18(1)(2)答案见解析【分析】（1）由与共线，可设，得到，得出方程组，即可求解；.（2）选择：设，得到，列出方程组，求得的值，即可求解；选择：设，得到，列出方程组，求得的值，即可求解.（1）解：由题意，向量，为不共线的单位向量，因为与共线，可设，则，所以，解得.（2）解：选择：设，因为，所以，可得，解得或，当时，；当时，.选择：设，因为，所以，可得，解得或，当时，；当时，.19(1)(2)172(3)【分析】（1）首先排列19个数据，根据众数的定义，即可确定的取值集合；（2）首先确定第90百分位数是第18项和第19项数

16、据的平均数，再讨论的取值，根据百分位数，列式求值；（3）根据平均数公式，列式求值.（1）其余十九个数据，中，数据出现的频数为3的数有165，170，出现频数为2的数据有164，168.因为为这组数据的一个众数，所以的取值集合为.（2）因为，所以90百分位数是第18项和第19项数据的平均数，若，则90百分位数为，矛盾.若，即，所以.若，则90百分位数为，矛盾.综上，的值为172.（3）依题意可得所以平均数为，估计该校高一年级学生的平均身高.20（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据题意可得AE平面PBC，进而可证明平面AEF平面PBC；（2）利用等体积法求点到面的距离.【详解】（1）证明：

17、因为PA底面ABCD，BC底面ABCD，所以，又因为底面ABCD为正方形，所以，又因为AB平面PBC，PA平面PBC，且，所以BC底面PAB，又因为AE平面PBA，所以，因为PAAB，E为PB的中点，所以，又因为PB平面PBC，BC平面PBC，所以AE平面PBC，因为AE平面AEF，所以平面AEF平面PBC；（2）解：因为，所以，又，所以，因为，设点B到平面PCD的距离为，所以，由BFBC，知点F到平面PCD的距离为.21(1)(2)【分析】（1）在ACD中，根据正弦定理可得，则可利用面积公式求ACD的面积，根据边角关系再求RtABC的面积；（2）设，用表示，代入面积公式计算整理，并注意（1）在ACD中，则，即ACD的面积在RtABC中，即ABC的面积DBC的面积（2）在ACD中，设，则ACD的面积若，则则，即ACD面积的取值范围22(1)存在点，当时平面，证明见解析；(2)【分析】（1）当时平面，连接，交于点，连接，利用相似比证明，然后由线面平行的判定定理证明即可；（2）取的中点，连接，可得为二面角的平面角，在中利用余弦定理求解，过点作，交于点，可证平面，又平面，所以即为点到平面的距离，再利用等面积法