江苏省南通市启东市吕四中学2019-2020学年高一第一次质量检测数学Word版

1、高一数学试卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求0.5毫米黑色墨水的签字笔.答题前，请您务必将自己的班级、考号、姓名、座位号用 填写在答案卷的规定位置，把姓名、考试号填写在答题卡的相应位置。.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答 必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。、选择题（本大题共 6小题，共30.0分）1.已知?, A: B: ?= 1: 1 : 4,则a： b： c等于（）A. 1 ： 1 ： v3B. 2：

2、2： v3C. 1： 1： 22.给出下列命题，其中错误命题的个数是若直线a与平面？外平行，则直线 a与平面？内的所有直线都不平行;若直线a与平面？不垂直，则直线a与平面？酌所有直线都不垂直;若异面直线？?不垂直，则过直线a的任何平面与 b都不垂直;若直线a和直线b共面，直线 b和直线c共面，则直线 b和c共面.3.A. 1B. 2C. 3D. 4如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N, Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面 MNQ不平行的是A.B.D.眄1()4.A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形在?,角 A、B、C 所对的边分别

3、为 a、b、c,且？ + ?= ?+ ?密.sin ?sin ?= sin2?贝U ?W状是().如图，在直三棱柱 ？?？中，底面为直角三角形./?90 , ?= 2,?= ?= 2, P是？社一动点，贝U （?+ ?第2的最小值为D. 8 - 42A. 8 + 4V2B. 4V2C. 8sin?且满足赤2?= 2,平面四.在?, a, b, c分别为内角A, B, C所对的边，？?= ? 1-cos?cos?.若点。是?片点，/ ?（0 ? ?） ?=边形OACB面积的最大值是（）A. B.中C.3二、填空题（本大题共 8小题，共40.0分）.已知?三边长分别为3, 5, 7,则该三角形的外

4、接圆半径等于 . 如图，？?为正方体，下面结论中正确的是 .？?/任面？?？；？?？面？?？；？?与底面ABCD所成角的正切值是匕2？?!?W BD为异面直线. 在?, ?3+ ?= 6?cos?sin2?= 2sin?sin?贝U角 C 的大小为 TOC o 1-5 h z .在?,已知 tan?= 7，tan?= 且 ?!?:边的长为 屈，则? 45小边的长为. _ _ ?、万?？.在?,若？?= ? / ?方 则=.? sin?+cos?.在?, a, b, c分别为角 A, B, C 的对边，？?二可，若？ + ?= 4?则sin(?+?)sin?sin?.如图，在?角A, B, C的

5、对边分别为a, b, c, ?=?(sin?R cos?)若？?= 2, D 为?晨点，?= 2, ?=弋1,则四边形ABDC面积的最大值为 .”.如图，？?1圆。所在平面，AB是圆。的直径，C是 圆。上一点，？?圻别是A在？?？?？的射影，则下列结论正确的是 (把正确结论的序号都填上 )%?L?？?！ ?D ?! ?？?平面 PBC三、解答题(本大题共6小题，共80.0分).在?,角A, B, C所对的边分别是a, b, c,且掾+(I )证明：sin?sin?= sin?(n )若? + ?- ? = 6?求 tan?. 5.如图，在直三棱柱？?？?中，/ ?900,? ?,?盼别 是？?

6、？?的中点.求证：(1) ?/平面？?;(2) ?L?.如图，?爸等边三角形，D是BC边上的动点(含端点)，记/?/ ?(?/2cos?- cos?的最大值;-1(?徜？ 1, cos?=求?面积.已知如图：四边形 ABCD是矩形，？?在面ABE,且？= ?: ?=2 占F为CE 上一占且?11L )/ 、1/ J.1、/ 、 )1La _1平面ACE.(1)求证：？?呼面BFD；(2)求多面体ABCDE的表面积. 如图，在六面体 松8.4耶冷中 AAtHCG，AB = &D , HB = A).求证.如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物

7、，DE是玻璃幕墙，游客只能在 ?饺域内参观，在 AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，/?监控角，其中 M、N在线段？?f端点)上，且点M在点N的右下方，经测量得知：？?妾6米，？?= 6米，？? 2米，? .一一 . 一、/?=?，记/?弧度)，监控摄像头的可视区域 ?面积为S平万 米. 5(1)求S关于？?勺函数关系式，并写出 ？酌取值范围：(参考数据：tan 4-3)(2)求S的最小值.B. 2C. 3D. 4一、选择题（本大题共 6小题，共30.0分）. 已知?, A： B： ?= 1： 1： 4,则 a： b： c等于（）A.1： 1： v3B. 2： 2： v3C.1： 1： 2D

8、.1: 1: 4【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角形内角和公式、正弦定理的应用，属于基础题.利用三角形内角和公式求得三个内角的值，再利用正弦定理求得a： b: c的值.【解答】解：?赳，. ? B: ?= 1 : 1 : 4,故三个内角分别为 30、30 、120 ,则 a： b: ?= sin30 : sin30 : sin120 = 1 ： 1：故选A.给出下列命题，其中错误命题的个数是若直线a与平面？不平行，则直线a与平面？的的所有直线都不平行;若直线a与平面？不垂直，则直线a与平面？酌所有直线都不垂直;若异面直线？?不垂直，则过直线a的任何平面与 b都不垂直;若直线a和直线b共

9、面，直线b和直线c共面，则直线b和c共面.A. 1【答案】C3.如图，在下列四个正方体中,中点，则在这四个正方体中，直线【解析】【分析】 本题考查命题的真假判定，空间中直线与直线的位置关系，空间中直线与平面的位置关系对各命题逐一判断可得答案.【解答】解：直线a与平面？不平行，则a在平面？两时，平面？物存在与直线a平行的直线,故错误；直线a与平面？不垂直，则平面？物的存在直线与直线 a垂直，故 错误；异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与 b都不垂直，故 正确；若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c不一定共面，故 错误.错误的命题有3个.故选C.A, B为正方体的两个顶点， M, N, Q

10、为所在棱的【解析】 解：对于选项 B,由于？/？结合线面平行判定定理可知B不满足题对于选项C,由于？/？结合线面平行判定定理可知C不满足题意;对于选项D,由于？/？结合线面平行判定定理可知D不满足题意;所以选项A满足题意， 故选：A.利用线面平行判定定理可知 B、C、D均不满足题意，从而可得答案.本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.4. 在?,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且？ + ?= ?+ ?.sin ?sin ?= sin2?贝U ?W状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答

11、案】C【解析】【分析】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.?+?= ?+ ?例用余弦定理可得 cos?= 1,可得？?= ?由 sin?sin?= sin2?禾U23正弦定理可得：? ?答代入？+?=?+ ?可得？?= ?解：在?,.? + ?=? + ? .cos?=?吊+?吊-?2 2?1=一 2? 2?. ? (0, ?), .,.?=.sin?sin?= sin2?.? ?,代入？ + ?= ?,+ ? .-.(?- ?2 = 0,解得？?= ?形状是等边三角形，故选C.如图，在直三棱柱 ？?？中，底面为直角三角形./?90, ?=

12、2,?= ?= 2, P是？此一动点，贝U (?+ ?)2的最小值为A. 8 + 4V2B. 4v2C. 8D.【答案】A【解析】【分析】本题考查根据三棱柱的结构特征来求线段和最小问题，把二面角？-平面图形，不难看出？和为最小值，再有余弦定理即可求解. 【解答】解：连接？把二面角?- ?- ?展开成平面图形，连接？&？?F P,则？?+ ?= ?即为最小值，?- ?展开成由题知？?？?狗？?是直角三角形，在直三棱柱？中，?= V?2 + ?另=V（2 v2）2 + 22 = 2V3,?2 = ?+ ?3 = 22 + 22 = 8, .?2+ ? = ?3即？，？?？ 又？= ?= 2,/ ?

13、= 45,. ./?= 135，7v3【答案】3由余弦定理得 ？ = ?2+ ? - 2 x? x?x cos / ?= 8 + 4v2, .(? ?2的最小值为8 + 4幅.故选A.sin?.在?, a, b, c分别为内角A, B, C所对的边，？?= ?且?t足蓊?1-cos?cos?.若点O是?点,/ ?(0 ? ?) ?= 2?= 2,平面四边形OACB面积的最大值是(A 8+5 v3B 4+5 v3C. 3【解析】解：?, .?= ?sin?sin?cos?sin?N sin?,即 sin(?+ ?) =sin(?- ?)= sin?= sin?,.?= ?又？?= ? .,.?W

14、边三角形.D 4+5 v3 .-2嘿?，sin?cos?+?=? ? ? ? ?1=-? 21、?sin?+ ?2?sin 一1v322=2X2 X1 Xsin?+ (?+ ?- 2?cos?)=sin?- v3cos?+ 543= 2sin(?- 3? +0 ? ? .- ? ?- ? 2?,故当 333一 ?-二 3,sin(?- ?5取得最大值为1, 3故?蛔大值=2+?=*，故选：A.依题意，可求得 ?等边三角形，利用三角形的面积公式与余弦定理可求得?=? 2sin(?- 3) + Fl。 ?= ?=，故正确； ？?平面？? ?平面 ABCD, ? ?，由异面直线判定理，知 ？?i为B

15、D为异面直线，故 正确.故答案为.在?, ?3+ ?= 6?cos?sin2?= 2sin?sin?贝U角 C 的大小为?【答案】3-3【解析】 解：由正弦定理有：sin2?= 2sin?sin? ? = 2?由余弦定理有：？+ ?= ?+ 2?cos? ?(1 + cos?)又？ + ? = 6?cos=?3?cos?由 得 1 + cos?= 3cos?1? cos?= 2,又 0 V ? ?.?=3?故答案为3-.3利用正弦定理与余弦定理可求得cos?= 2,从而可求得角 C的值.本题考查正弦定理与余弦定理，考查代换与解方程的能力，属于中档题.在?,已知 tan?= 1, tan?=且?

16、”：边的长为 汨，则?45小边的长为.【答案】v2 .cos?= sin?,即 tan?= 1.313【解析】解：.在?, tan?= 4, tan?=5,，tan?= -tan(? +?)=-tan?+tan?1-tan?tan?1 3Z+_5d= -11- V%.,.?= 135 ,即C为最大角，A与B都为为锐角,. tan? tan?, . .? ?即A为最小角，a为最小边, .cos2?=1_1+tan 2?=1617sin?=VI- cos2?=卫, 17由正弦定理?sin? 一V176： T?17解得：？?= v2,则?小边的长为 楼.故答案为：比由tan?Wtan?勺值，利用两角

17、和与差的正切函数公式求出tan?勺值小于0,得到C为钝角，A与B为锐角，再利用正切函数的单调性得到A为最小角，可得出a为最小边，c为最大边，根据tan?勺值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin?勺值，利用正弦定理求出a的值，即为三角形 ABC最小边长.此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.11.在?,若？?= ?？?；则手?=本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想根据已知及正弦定理可得？?= /sin?,再运用三角函数恒等变换可得答案.【解答】 TOC o 1-5 h z ?1?解：:？?=1,

18、/?力.由工=新=而， 4v2_3?S S可得：？?= v2sin?, .二?？=2sin?= 2sm 彳-?)= 2(3sin?+方cos?)=万.sin?+cos? sin?+cos? sin?+cos? sin?+cos? v故答案为v2.2?12.在? a, b, c分别为角 A, B, C 的对边，？?二 y,右？ + ? = 4?则sin(?+?) sin?sin?【答案】【解析】 解：由余弦定理可得：？=?+ ?- 2?cos=?4? 2?(- 2)= 5?，sin2?= 5sin?sin? sin(?+?)5sin?510V3二.=sin?sin?sin 2? sin? 3故答

19、案为：巴f. 3由余弦定理可得：？=?+?- 2?cos=?4? 2?(-。= 5?再利用正弦定理可得sin2?= 5sin?sin?硼可得出.本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、三角形内角和定理与诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.13.如图，在?,角A, B, C的对边分别为 ?(sin?- cos?)若？?= 5, D 为?晨点，1,则四边形 ABDC面积的最大值为 .本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识的 应用，考查了运算求解能力，考查了化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题.利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cos

20、?sin?= sin?sin?结合 sin?w0,可求tan?= 1,结合范围?(0, ?)即可求得/?,由已知利用余弦 定理可得？?？= 5- 4cos?,利用三角形面积公式可求 ？2?从而根据正弦函 数的性质即可彳#解四边形 ABDC面积的最大值.【解答】解：在?, . ?= ?(sin? cos?),.sin?= sin?(sin?+ cos?),.sin(?- ?- ?)= sin?(sin?+ cos?),.sin(?+ ?)= sin?(sin?+ cos?),.sin?cos?+ cos?sin?= sin?sin?+ sin?cos?.cos?sin?= sin?sin?又.

21、? (0, ?),故 sin?w0,又. ？ e（0, ?）?在?, ? 2, ?= 1,.?= 12+ 22 - 2X1 X2 Xcos?= 5 - 4cos?.?又？?=5,，”？?？?腰直角三角形， TOC o 1-5 h z 11125. .?=? 2 ? 2? 4?= 4- cos?,1 又? 2 x ? ? AEF,而?面 AEF , ?面 AEF ,?L ? ?L ?故 正确,.?= 面 PCB,假设？?L面 PBC.?/?显然不成立，故 不正确.故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在?,角A, B, C所对的边分别是a, b, c,且叫+ cos?sin?

22、(I )证明：sin?sin?= sin?c cc 6(n )若? + ? - ? = 5 ?求 tan?.【答案】(I)证明：在?, .cos?+ cos?sin?，由正弦定理得:cos? cos? sin?sin? + sin? = sin?cos?sin?+cos?sin?sin(?+?)=1 .sin?sin?sin?sin?.sin(?+ ?)= sin?.整理可得：sin?sin?= sin?,(n)解:?+ ?- ?=!?由余弦定理可得 cos?= 3.4cos?3sin?= 一 =5 sin?4cos? cos?sin? sin?sin? _ cos? _ 1sin? = 1，

23、sin?= tan?= 4.【解析】（I ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明.（n）由余弦定理求出 A的余弦函数值，利用（I）的条件，求解B的正切函数值即可.本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理, 三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题.如图，?等边三角形，D是BC边上的动点（含端点），记/?(?/2cos?- cos?勺最大值;1(?)?= 1, cos?= 7，求?面积. TOC o 1-5 h z 【答案】 解：（1）由?!?边三角形，得？?=?+? 0w?w?： 33一 一 一一一？故 2cos?- co

24、s?= 2cos?- cos (?+ 3)=2cos?- 1 cos?+ 3sin?= v3sin (?+ ?, 223?故当？?= 6,即D为BC中点时，原式取最大值 V3.(2)由cos?= 7,得 sin?=,?_?故 sin?= sin(?- 3)= sin?cos3-?cos?sin_ =33 334，由正弦定理?sin / ? sin / ?4v3故 AB=?2 买 x 1 = 1sin?3T4-故？? 2?sin?= 5X3X13X=22v333【解析】本题考查正弦定理及三角形面积公式和三角函数的性质在解三角形中的应(1)本小题考查两角和的三角公式及三角函数图象和性质的应用，根据

25、条件得到丁? ,2cos?- cos?= v3sin (?+ 3),即可求出其最大值.(2)本小题考查正弦定理及三角形面积公式在解三角形中的应用，根据条件结合公式直接计算即可.略.已知如图：四边形 ABCD是矩形，？?在面ABE, 且？= ? ?= 2,点 F 为 CE 上一点，且？? 平面ACE.(1)求证：？?/平面 BFD；(2)求多面体ABCDE的表面积.【答案】(1)证明：如图，记？?？?= ?,连FM ,则M为AC的中点;而？?和平面ACE,.?!_ ? ?在?, . ?= ? .?为 CE 的中点；从而FM是?。位线，所以?/?又?平面 DBF , ?平面 DBF ,. .?/片面 BFD；(2)由题意：由？?？在面ACE,.?L ? ?. ?L平面 ABE,.?L? ?”面 BEC, ?L?因此?直角三角形，所以？ 2/,而？= 2 v2, ?= 2亚,所以?正三角形.1所以多面体 ABCDE 的表面积？?+? ?2