线性代数汇总整编课程教案

1、Q皖西学院教案2014- 2015 学年 第2学期课程名称线性代数授课专业班级 14级合班 TOC o 1-5 h z 授课教师 汪轶职 称讲师教学单位金数学院教研 室 高数学期授课计划说明课程类别必修总学分3总学时48本学期学时教学周次周学时学时分配48163讲授实验上机考查其他48教学目的要求教学目的通过本课程的教学，使学生掌握线性代数的基础理论与方法，培养学生正确运用数学知识来解决实际问题的能力，并为进一步学习后续课程与相关课程打好基础。基本要求通过本课程的教学，使学生系统地掌握行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型的基本概念、基本理论及基本方法，具有比较热练的运算

2、 能力、一定的逻辑推理能力和抽象思维能力，并且培养学生运用获取的基本知识和 基本理论去分析问题和解决问题的能力。教学重点难点教学重点线性方程组解的结构；线性变换应用。教学难点矩阵和向量组的秩及其性质；线性无关概念。选用教材同济大学应用数学系，线性代数（第五版），高等教育出版社，2007年主要参考资料1张禾瑞，郝炳新：高等代数（第四版），高等教育出版社，1999年；2胡金德，王飞燕：线性代数（第二版），清华大学出版社，1995年3李永乐：线性代数辅导讲义，西安交大大学出版社，2010年备注单元教案知识单元主题A章行列式学时10教学内容（摘要）二阶与三阶行列式达 全排列及其逆序数n阶行列式的定义4

3、对换行列式的性质6 行列式按行（列）展开克拉默法则教学目的要求.会计算二阶和三阶行列式，了解n阶行列式的定义；.理解代数余子式的定义及性质；.会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的n阶行列式；.掌握克拉默法则。教学重点难点重点：1.行列式的性质及其计算；2.克拉默法则。难点：n阶行列式的定义；对换。QQ教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演教学后记对n阶行列式定义的理解有点困难，需要通过对二三阶行列式展开式的特点逐渐引入.需适当加强学生对行列式计算技巧的训练.分教案授课主题第一章1- 3课次2教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演学时4教学目的要求会计算二阶和三阶行列式；会计算排列逆序数

4、；了解门阶行列式的定义.教学重难点二三阶行列式的对角线法则；门阶行列式的定义.教学内容纲要备注1二阶与三阶行列式知识导入、二元线性方程组与二阶行列式在中学，我1用加减消元法解线性方程组们接触过二2二阶行列式的定义aiiXia21 X1ana21会2bia22X2b2耳2a22al1a22 a12 a21二阶行列式的值等于主对角元乘积减副对角元乘积.例1解二元线性方程组3x1 2x2 122x1 x2 1简单的线性方程组.提问1在中学时我们已知要得3三阶行列式到一个线性ana12a13a22a23a32a33a12a23a11a2a3a11a22a33方程组的一组确定解的33a13a21a32a

5、13a22a31a11a23a32a12a21a33条件是什例2计算三阶行列式例3求解方程、全排列与逆序么？提问2例1的方程组有几个方程？2全排列及其逆序数定义2.1 由n个不同元素排成一列，称为这n个元素的一个 全排列（或简称n级排列）.提问3n个不同元素的所有不同的排列共有 n!种.用 1、 2、 3规定一个标准排列次序：称 1,2,L ,n为标准序。在1、2、n所构成的三个数字,任一排列中，若某两个元素的排列次序与标准顺序不同，就称为一个逆序。可以组成多般地，n个自然数1,2,L ,n的一个任意排列记作 Pi P2Pn,若第i个位置少个没有重上的元素Pi的左边有ti个元素比Pi大，就说元

6、素Pi的逆序是ti。一个排列中所有复数字的三逆序的和,称为这个 排列的逆序数，记作t.因此排列pi P2Pn的逆序数就是:位数?解:t1 t2tnnti1讨论所有n级排求排列32514求排列n n 1的逆序数.1的逆序数n级排列的标准序为1,2,L ,n排列n n 11的逆序数为t tn n 11 0 1(nn n 12) (n 1)2列中逆序数最大的排列的逆序数是多少?逆序数t为奇数的排列称为 奇排列，而逆序数t为偶数的排列称为偶排列。例1中的排列就是一个奇排列；排列561423也是一个偶排列.易知：n!个不同的n级排列中，奇排列和偶排列各占一半3n阶行列式的定义定义3.1 由1,2,L ,

7、n)排成n行n列，构成的运算式ana21a22a2naman2ann2人-_/n 1 兀素 aij (i, jDn(1) a1q1a2q2anqn称为n阶行列式，简记为det(aj),其中aj称为行列式det(a0)的元素，q,q2,L ,qn为1,2,L , n的一个排列，t为排列q,q2,L ,qn的逆序数.从上面定义可知，n阶行列式的运算式(1yaq1a2q2anqn中，一般项(1)、q1a2q24qn由n个位于不同行不同列的元素相乘而得，符号由排列q, q2,L ,qn的逆序数的奇偶性决定.特别规定，一阶行列式 a a .注意行列式记号不要与绝对值记号混淆.在行列式D中，将aii,a2

8、2, ,ann所组成的对角线称为 D的主对角线，这些元 素称为主对角元。而ain ,a2,n 1， , ani所组成的对角线则称为 D的副对角线.除了 主对角线元素外其它元素都为零的行列式称为对角行列式.a2例5证明n阶对角行列式 D1a1a2an；ana1 a2n(n 1)D2( 1) 2 a1a2anan称主对角线以上(下)的元素全为零的行列式称为下(上)三角形行列式.a11.、.一 _a21 a22例 6 证明 Dai1a22L ann,M M Oan1 an2 Lanna11a12 La1na22 La2nDaa22Lann-O Mann请同学们理解逆序数的求法n(n 1)2C2 Cn

9、课后作业P25-261,2.分教案授课主题第一章孙6课次2教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演学时4教学目的要求掌握行列式的性质并利用性质计算行列式.教学重难点行列式的性质及计算教学内容纲要1 备注对换对换的概念7E义4 . 1在一个排列中，将任思网个儿系对调，其余兀素不动，这种作出 新排列的手续叫做对换.若对换的是相邻的两个元素，则称为相邻对换.2对换的性质 1定理1 一个排列任意两个兀素对换，排列改变奇偶性.证 先证相邻对换的情形；再证一般对换的情形.推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证 由定理1.1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准

10、排列是逆序 数为零的偶排列，故推论成立。定理2 n阶行列式也可定义为D( 1) ap11ap22a pnn ,其中t为排列P1P2Pn的逆序数.行列式的性质一、行列式的基本性质 C C CT把行列式D的行、列互换所得到的行列式称为D的转置行列式，记作D ，若记a11a12La1nDa21a 22 La 2nMMMan1an2Lann黑板演示一般的对换 可以通过一 系列的相邻 对换来实现， 且为奇数次 邻换实现提问n元排列共 有n!个，其 中奇、偶排列 的个数相等， 各有多少 个？提问如何计算行 列式？讨论具有怎样特a11a21Lan1a12a 22Lan 2MMMana 2 nLa nn性质1

11、行列式与它的转置行列式相等，即DT .证将Ddet（aj）的转置行列式记作bnb21Lbn1Tb12b22Lbn2MMMb1nb2nLbnn可用定义计算？则 bij aji (i, j1,2,L , n).由定义知DT(。blPib2 P2bnPn。aP11aP2 2aPnn于是由定理1.2 推出：D （ 1）、P11ap22aPnnD 由性质1可知，行列式中行与列具有对等的地位，对行成立的性质，对列也成 立，反之亦然。以下我们仅讨论行的性质，然后引申到列即可.性质2行列式两行（列）互换，行列式的值变号.以ri表布第i行，ci表布第i歹U,则ri。表不交换i,j两行，ciCj表不交换i, j两

12、列.由性质2即可得到下面的推论推论性质3用数k乘以行列式D,等于将数k乘到D的某一行（列）中所有的元若行列式D中有两行（列）元素对应相等，则 D的值为零.素上。anLanMMa1LainMMan1Lann证按定义，D(1)ta1q1L aiqL a。用 ,则kD k( ( i)taiqiaiqianq(i)taij (k)L %naiiLainMM筛LkanMManiLann推论1行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面第i行（列）乘以k，记为ri k （ g k ）;第i行（列）提出公因子 k ,记为ri k （或Cik)。推论2若行列式有一行（列）的元素全为零，则其值为

13、零性质4若行列式有两行元素对应成比例，则其值为零卜面的性质称为“拆行”性质5若D的某一行（列）的元素都可表为两数之和，则以下等式成立:aiiMa12MalnMaiiM2i biMa2卜2Man bnMaiMan2ainaila1nMbnM证 按定义,aiiMa12MalnMai biM%bi2MainbinMaiian2ann(DtaiqL (%biq)L anqn(1)aiq L aiqi L anqn +(i)taiqiLbiqi L anqna11Ma12MainMa11Ma12MainMaiMai2MainM-fiMbf2MbinM性质5列式的值不变.an2ann把行列式某一行（列）的

14、各元素k倍加到另一行的对应元素上去，行LLaila2 L L anrj kriaiiai2LM MMMMajiaj2L Lajn由 kai aj2 ka2 LLL2、3、5涉及到行列式的三种运算:换行（列）、ainMajn kan行列式性质倍乘、倍加，即rirj , rik , rj krf 和 gcj , cik , cj kci 。二、运用性质计算行列式利用行列式的性质可有效地简化行列式的计算.如利用性质把行列式化成上三角行列式，便可直接得到行列式的值。例7计算D3ii25i3420iii533对于元素排列有某些明显规律的行列式,可根据其特点采用一些计算技巧，常用的如建立递推公式和用数学归

15、纳法计算行列式D3iiii3iiii3iiii3计算行列式abcdaa ba b ca b c da2a b3a 2b c 4a 3b 2c da3a b6a 3b c 10a 6b 3c da11qnna1kMMOD1Oak1 L akkCd2c11Lc1kb11LblnMMMMcn1LcnkbmL 坊口10 设 Da11LakbnLbinD1MM,D2MMak1Lakkbn1Lbnn证明D D1 D2 .对D1作运算rikrj,把D1化为下三角形行列式:DiP11MPiiLPkk ,PkiL pkk对D 2作运算cikcjD2化为下三角形行列式:D2qiiMq11 L qnn ,qni于是

16、，对D的前k行作运算rikrj ,再对后n列作运算CikCj ,就可把D化为下三角形行列式P11MOOPk1LPkkc11Lc1kq11MMMOcn1Lcnkqn1Lqnn故 DP11L Pkk qiiL qnn(P11L Pkk) (qiiL qnn)D D2 .例11 计算2 n阶行列式D2n、余子式与代数余子式定义1在n阶行列式6行列式按行（列）展开a11a12Lana21a22La2nMMMan1an2LannDn中任取一个元素ajaj所在的第i行、第j列,剩下来的1阶行列式称为元素aj的余子式AjjMj,Aj称为元素aj的代数余子式.例如在D中，元素a124的余子式是M126,而它的

17、代数余子式是A121 2 -1) M12(6) 6.引理如果n阶行列式D的第i行除aj外的其余元素都为零,则这个行列式等于aj与其代数余子式 Aj的乘积，即讨论适用递推和数归法计算的行列式具I有什么特点？提问 行列式中各 项的元素如a. Aoij ij证先证最简单的情况：设这是例10中k 1时的情况，由例a11a21Man1a22Man21.6的结论,a2nann即有 Ba11Mli .ai1A11 1 1 一又因 A11( 1) M11 M11再证一般的情况,D的第i行除aj外的其余元素都为零:anMan1a1jMaijManja1nMann将D的第i行依次与上面的1行逐行对换，再将第 j列

18、依次与左面的j 1列逐列对调，共经i 1 j 1次对调,将aj调到了第1行第1列的位置上，所得的行列式讨论(1)i j 2D ( 1)i j D ,此处证明而aj在D为何不作2D aj Mj次的对调D (1)ijD(1)ijajMj aj Aj .实现?定理3n阶行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即Dai1Ai1ai2Ai2ain AinnaikAik(i 1,2,n),k 1D a1j A1ja2 j A2janj AnjnakjAkj(j 1,2,n).k 1中的余子式仍然是aj在D中的余子式M j。利用已证的结果有证任选D的第i行，把该行元素都写作n个数

19、之和:由引理即得aiiai2LainMMM为ai2LainMMManian2LannaiiMai2Mal nMaii22 LMLainan2aiiai2LainMMMaii0L0MMManian2Lannaniaiia12Lainaiia12LainMMMMMM0ai2L0+ L L00LainMMMMMManian2Lannanian2Lann+ailAilai2 Ai2ain Ainaik Aik i(i1,2,n)。按第j列展开可类似证明.这个定理称为行列式按一行展开法则它为行列式计算提供了又一种思路:将n阶行列式的计算转化为 n i阶行列式的计算，这称为 降阶.3ii25i34按定理3

20、计算例7 D20iii533例i2证明范德蒙行列式11L1x1x2Lxn22L2x1x2xnMMMn 1n 1Ln 1x1x2xnDnn i j 1 xixj其中记号” ”表示全体同类因子的乘积.推论 行列式某一行（列）元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和ai1 Aj1ai2 Aj2Lain A jnaik Ajk 0Lani Anjalk 1D ,当i j时,0,当i j时;D,当i j时,0,当i j时.nk 1a1i A1 ja 2 i A2 jnaik Ajk k 1例13D 的 i, j元的余子式和代数余子式依次记作M j和Aj，求A11A12A13A4 及 M 11M21 M3

21、1 M41.课后作业P26-284 (2) (4)、5 (4)、7(2)(4)(6)分教案授课主题第一章7课次i教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演学时2教学目的要求掌握克拉默法则教学重难点克拉默法则及其逆否命题教学内容纲要备注4克莱默（Cramer ）法则一 Cramer 法则（Cramer法则）设线性方程组，an%a2X2LamXnba2ixia22X2La2nXnb2.1LLLLLLLLLLL 1aniX an2X2 L annXn bnaiiai2an其系数行列式D a21 a22a2n ,ani an2ann灯用常数向量2替换D的第j列所得的n阶行列式记作Dj ,即bnaii&,j

22、ibiai,jiaina2ia2,jib2a2,jia2nDj，anian,jibian,jiann（j i,2, ,n）.若D 0,则线性方程组存在唯一解： iDiD2DnXi, X2,Xn,DDDi提问何谓齐次线性方程组？例14解线性方程组例15设曲线y f(x) a0通过四点1,3、2, 4、3, 3、4,解将在四个点的坐标代入y方程组ff ( 1)f (2) f (1)a。其系数行列式是1111112211)2222)21111111)1)122)2)2x1x1x2 3x2 2x2 4x22ax a?x5X3 X4x37x36x42x46x43a3x-3 ,试求系数f(x)得,关于a3

23、8,9,5,0a0,a1,a2,a3a0,a1,a2,a3 的线性1)a 122是一个四阶范得蒙行列式，得于是由克莱默法则知,分别计算:D0576 ,Di故 a0 8,a12)a111)232)(1 1)(2 1)(方程组有唯一解72 , D261)2a22)1)(2aj23a32 a 21)( 2DjD144(1)3a362)3a31)(j2)720！0,1,2,3),冉!72于是所求曲线方程为y f（X） 8 x 2x2 x3（Cramer法则）的逆否命题是:定理4如果线性方程组（1）的系数行列式D 0,则（1） 一定讨论定理4 如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系命题与逆有

24、唯一解.否命题等价问题如果线性方程组（1）的常数项bi,b2, ,bn都等于零，即a11 X1a12 X2a 21 X1a22 X2an1X1a n 2 X2LLLLa2n Xna nn X n数行列式一定为零.二、齐次线性方程组称为齐次线性方程组。利用克莱默法则容易得到下面的定理:定理5若齐次方程组（2）的系数行列式D 0,则它只有零解。其逆否命题是:定理6若齐次方程组（2）有非零解，则它的系数行列式一定为零.事实上，齐次线性方程组（2）有非零解它的系数行列式为零.例16取何值时，齐次线性方程组2y2z2x2x有非零解?Cramer法则只能应用于方形的方程组，且系数行列式不能为零.在计算时需

25、要计算n 1个n阶的行列式，当n较大时计算量通常很大。因此Cramer法则的主要意义是在理论上，它明确指出了方程组的解与系数之间的关系，并给出了一种新颖的“块状处理”的模式.课后作业P2810 (1)、11QQQ单元教案知识单元主题第二章矩阵及其运算学时10教学内容（摘要）1矩阵他矩阵的运算3逆矩阵4 矩阵分块法教学目的要求1、理解矩阵的概念，了解零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等矩阵的 特点。2、熟练掌握矩阵的线性运算、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列 式以及它们的运算规律。3、理解可逆矩阵的概念、性质、以及矩阵可逆的重要条件，理解伴随矩阵的 概念和性质，会用伴随矩阵求矩阵的逆阵

26、。4、知道分块矩阵及其运算规律，掌握分块对角矩阵的计算。教学重点难点.矩阵的计算.矩阵的按行，列分块难点：逆矩阵的求法；分块矩阵的运算教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演教学后记对一般分块矩阵只做了解，只掌握分块对角矩阵的计算，其它可弱化分教案授课主题第一章M- S课次2教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演学时4教学目的要求1、理解矩阵的概念，了解零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等矩阵的特 点。2、熟练掌握矩阵的线性运算、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式 以及它们的运算规律。教学重难点矩阵与矩阵的乘法教学内容纲要i 备注第二章矩阵及其运算前一章讨论的 Cramer法则，对于线

27、性方程组不是方形的或其系数行列式等于零，便不能用了，但它的那种集成化处理的思想方法还是可以借鉴的。由此可以引向线性代数更重要的概念矩阵。矩阵是许多学科使用频率很高的一个集成化的数学工具，凡涉及到多个方面相互关联的多元数量关系，往往可用矩阵来进行整体描述和处理。本章主要学习矩阵的基本代数运算一一加法、数乘、乘法、转置、（方阵）取行列式、（可逆矩阵）求逆，以及矩阵的分块及分块矩阵的基本代数运算。1提问、矩阵的定义n列,矩阵与行定义2.1由m n个数aj(i 1, 2,L , m； j 1, 2,L , n)排成 m 行、列式的本diWn质区别?a2ia22a2nam1am2称为一个m行n列矩阵，简

28、称mn矩阵，通常记为A或Am n。有时也记作 A(aij )或A （aij ）m n ,其中aij称为矩阵A的（第i行、第j列的）元素。并加上括号，这样排成的数表:二、一些常用的特殊矩阵m n个元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为Om n .只有一行的矩阵称为行矩阵：A (ai,a2, ,an).只有一列的矩阵称为列矩阵：卜面是几种特殊的方阵:j时a。j时a。j时a。bib2bm提问的矩阵称为n阶方阵。三角阵，也是下三角阵，可以记作对角线上的元素行aiia2ianiaiiaiia22an2anna12a22annaina2nann，则称A为n阶下三角矩阵.,则称A为n阶上三角矩阵.则称它为对角矩阵

29、.它既是上点？A diag (aii, ,ann)。若A为n阶对角矩阵，且主对角元素全相等，即为n阶纯量矩阵。，则称E为n阶单位矩阵.i当且仅当A （a。），(bj）是同型矩阵（即行数相等、列数也相等）、且它们的对应元素相等（即a。bj,i,2, L ,m； j i,2, L , n )时，则称矩阵 A与矩阵B相等，记作A2矩阵的运算、矩阵的加法定义2.2 设矩阵A (aj)m(bj)n ,那么矩阵A与B的和记作A B ,规定其和为ana2ibiib2ia12a22bl2b22aina2nbinb2nanibn1an202根据定义容易验证矩阵的加法满足下列运算律（A, B,C,O都是同型矩阵）

30、：交换律:ABB(2)结合律:(A B) C(B C);(aj)m,则存在矩阵a ij)m n ,满足A ( A) O .称 A 为 A的负矩阵.由此可以定义矩阵的减法为(B)。二、数与矩阵相乘（“数乘”定义2.3 设矩阵A （aj）mn,是一个数，规定与矩阵A的乘积为anA a (aij)a2iai2aa22aam2a1n2nmnami矩阵的数乘满足下列运算律（设A, B为同型矩阵,为数）:交换律:(2)结合律：（)AA)A)；提问(3)第一分配律:(AB)B;数乘行列(4)第二分配律:)AA.式如何乘矩阵的加减运算以及数乘统称为矩阵的的？i 0 i例i 设A, B2 i 32A 3B .三

31、、矩阵的乘法定义2.4 设A（a。）是一个m s矩阵，B（bj）是一个s n矩阵，则规定矩阵A和矩阵B的乘积C AB是一个m n矩阵C(Gj ) m n ,其中Cjai1，jai2b2jsaisbsjaikbkj ( ik 11,2, ,m;j 1,2 ,n)A的列数等于右说明边矩阵B的行数时，这两个矩阵才可乘,我们称C AB为A左乘B ,或B右乘A。为何称为矩阵的乘法应注意以下几点1.任意两个矩阵未必可乘,，求AB与BA.矩阵的线性运算?应首先考察矩阵的规格，以确定是否可乘以及乘积上述定义表明，乘积矢I阵C的第i行第j列元素Cj，是A的第i行的s个元素与B 的第j列的s个元素一一对应相乘的乘

32、积之和。因此只有当左边矩阵的规格.2.交换律一般不成立.一般来说 AB BA;即使是同阶矩阵相乘，交换律一般也不成立。例如设A与B可交换。容易3证 AB BA。而如果 AB BA成立，则说矩阵3.消去律一般不成立，即由ABO,不能断定A 。或B O。例如因此，即使A O, 一般由ABAC也不能推出B但矩阵的乘法仍满足以下运算律（假设运算都可行）(1)结合律：(AB)CA(BC);(2)左分配律：A(BC)AB AC ;右分配律:(BC)A BA CA; j 提问(3)与数乘可交换:(AB)(A)B A( B)。:同学们所对单位矩阵E,容易验证i学的运算AmnEnAmn,Em Am nAm n

33、,|还有哪种 i可见单位矩阵E在矩阵乘法的运算中的作用类似于数的运算中1”的作用。不满足交由于数量矩阵故当它乘方阵A时便有 nA EA A利用矩阵的乘法,可以将线性方程组aBa1 n Xn表示成矩阵形式并简记为AX其中EnAE A.a m1 X1amnXnbma11a1namnX1b1Xna11X1am1amnXnbmA即为线性方程组的系数矩阵为未知数(变元)向量,为常数向量.而矩ia11a12a21a22a2nbib2am1am2a mnbm称为线性方程组的增广矩阵例3 若A, B, C都为同阶的对角矩阵aiibiia nnc11,Cbnncnn容易3证ABC仍为对角矩阵，且aiibiiCi

34、iABC =推广之，有限个同阶对角矩阵的乘积还是对角矩阵,annbnncnn其主对角元就是各个对角矩阵对应的主对角元相乘积。有了矩阵的乘法，可以定义 n阶方阵的哥：定义2.5设A是n阶方阵，当k为正整数时， A的哥运算规定为:A1A, A2 AAAk 1AkA . A0 E.Ak就是k个A的连乘，显然 只有方阵才有哥。由于矩阵乘法符合结合律，所以方阵的塞满足以下运算律（其中 k,l为正整数）：AkAlAk l ,注 对两个n阶方阵A、B来说，一般（AB）k AkBk .因此，一些熟知的的乘法公式一般不再成立，如(AB)2 A2 2AB B2、(A B)(A B) A2 B2 ,等等。但只要A与

35、B可交换,则这些公式就都成立了。k求A （ k 2为正整数）。解：逐次相乘于是猜测：A2= 0A3=0Ak= 0下用数学归纳法证明之:当k 2,上已见结论成立。假设k n时结论成立，则1时:An 1AnA(n1)n n 12(n 1) n 1所以对任意的k2的正整数，均有Ak四、矩阵的转置定义2.6 把m n矩阵A的行、列互换,得到一个m矩阵，称为A的转置,记为AT ,即:a11a12ana11a21am1a21a 22a2nATa12a22am2am1am2amnm nana2 namnn m转置也是矩阵的一种代数运算，满足下述运算律(设运算是可行的)(AT)T A ;(A B)T ATBT

36、;(A)T AT,(是数);(AB)T BTAT证:我们仅证明(4):Aaj m sbij s n记ATaiT , BTij s mbTij ns(AB)TT cijBTAT则有aTaji ,bij bji,s TCj k 1ajkbki ,dijbikakjk 1ajk bki 若AT若AT(AB)TBTAT .A ,即有ajA,即有ajaji (i,j 1,2,n),则称A为对称矩阵；aji (i, j 1,2,n),则称A为反对称矩阵；对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，而反对称矩阵的主对角线上所有 元素a.均为零，其余元素以主对角线为对称轴对应相反.例5 设列矩阵X Xi,X2,

37、L ,Xn T满足XTX 1,E为n阶单位矩阵，H E 2XXT ,证明H是对称矩阵，且HHT E.五、方阵的行列式定义2.7 由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方 阵A的行列式，记作| A或det (A)。对方阵取行列式，是施加于方阵的一种运算,且满足下列运算律(A、B为n阶方阵， 为数)：A；(2)(3)ABaiia12a2ia22anA11A21An1a2 n,记AA12A22An2annAnA2nAnn其中Aj是行列式证：记AAA中元素aij的代数余子.试证AA? A?A A E(Cj )n n ,据第一章的性质8,有:cijaii Aj1ai2 Aj2ain

38、Ajnnaik Ajk k 1i, j1,2,nAA类似地亦可证有|A. _ * . . . . . . . . 本例中的方阵 A ,是由方阵A所唯一确定的，称为 A的伴随矩阵.六、共辗矩阵设A aj为复矩阵时，A aj称为A的共轲矩阵.QI提醒同学i注意此处I!公式2,再i次强调数i乘行列式： i !和矩阵的i区别.P53 56 3、4 (4)、7、9课后作业分教案授课主题第一章3- 4课次2教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演学时4教学目的要求1、理解可逆矩阵的概念、性质、以及矩阵可逆的重要条件，理解伴随矩阵的概念和性质，会用伴随矩阵求矩阵的逆阵。2、知道分块矩阵及其运算规律，掌握分块对

39、角矩阵的计算。教学重难点分块矩阵及其运算规律教学内容纲要!备注i3逆矩阵课题引1、可逆矩阵的概念阵与数定义2.8 对于n阶方阵A ,若存在一个同阶方阵 B ,能使AB BA方阵A可逆，称B是A的逆矩阵.A的逆矩阵记为 A 1 .注1 若方阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.有力口、CA E事实上，若B、C都是A的逆矩阵，由 AB BA E、AC出B BE B(AC) (BA)C EC C ,所以A的逆矩阵唯一.2、矩阵A可逆的充要条件以及求逆阵的公式定理2.1 方阵A可逆的充分必要条件是|A证：必要性：设A可逆，即A 1存在，由|AA充分性：设网 0,由例2.5知有AA AA AA|1AAi 怛A

40、e.因|A*A- A E法是否也和数样有逆运算呢？若A 0,称A为非奇异的，即“A可逆”A非奇异”.推论设A、B是同阶方阵，若有AB(或BAE ),则A、B皆可逆，且于是由定义知 A可逆，且得求逆公式：A、B互为逆矩阵.3、逆矩阵的性质(2)1A可逆，则A亦可逆，且(A1)A;A可逆，数 0,则A亦可逆,1(A) 1-A1 ；(3)A、B同阶且皆可逆，则 AB亦可逆，且(AB) 1 B 1A 1;A可逆，则AT亦可逆，且(AT) 1 (A 1)T ；PCk kP 1PCk1k1P1 L Pg P 1 PC0EP 1 P f P 1PCk kP 1PCk1k1P1 L Pg P 1 PC0EP

41、1 P f P 1注2 若A可逆，则由AB AC可推出B C ;即对可逆矩阵，消去律成立.提醒:类当|A| 0时，定义:当k、l为整数（正或负）时求二阶矩阵A求矩阵X使其满足AXBAk AlC./ 1、k(A ),Ak l的逆矩阵.（其中k为正整数）(Ak)l此处公结合加法、数乘和乘法三种运算，可定义设有n阶方阵A和关于x的k次多项式定义矩阵A的k次多项式为 f （A）kCkA是一个n阶方阵.注3 矩阵A的任意两个多项式f A的计算方法:f (A) CkAk则AkkCk 1 A二fkPAkl均成立.积转置公式.，求 An.方阵的多项式：f(x)kCkXk 1Ck 1XC1X Co ,kCk 1

42、AcA cE,易见 f(A)仍是可交换的，即c1A c0Ediagn 为对角矩阵，则k diag从而f()CkLc1CoE若方阵由A22A满足A2EA 2E可逆，并求其逆。A 2E O 及E可交换得:A 3E A 2E 4E ,即/A 2E E, 4由定理2.推论知,1 A 3EA 2E可逆，且有 A 2E3矩阵分块法把一个规格较大的矩阵划分成若干小块, 用分块方式来处理， 把大矩阵的运算转化为小矩阵的运算，不仅能使运算较为简明,更重要的是使运用微型计算机组合来计算大矩阵成为可能。、矩阵的分块定义2.9用一些纵、横虚线将矩阵A分割成若干小矩阵,以这些小矩阵为元素的例如其中 A11矩阵称为分块矩

43、阵,A11A21A2221A22也可以按行分块:或按列分块:现1A1a2ia22a2nA2am1am2amnAmana12ana21a22a2nB1am1am2amnB2Bn二、分块矩阵的运算对分块矩阵进行运算时,可以把每一个子块当作矩阵的一个元素来处理,但应保证运算的可行.1、分块矩阵的加法、数乘和转置设矩阵A、B是两个同型矩阵，且分块法A11A12A rB11B12B1rAA21A22A2 r,B21B21B22B2rAs1As2AsrBs1Bs2Bsr致，即:其中每一 %与Bj的规格都对应相同，则规定A11B11A12B12ArB1rA21B21A22B22A2rB2rAs1Bs1As2

44、Bs2AsrBsrA11A12A1r加法为A2r设为数，则规定数乘为规定转置为 ATA11A12AiA22AsiAs22.、分块矩阵的乘法ATr设A是m n矩阵,B是n p矩阵.若将A分为r s个子块（Akj ）s ,将B分为s t个子块（Bkj）st,A的列与B的行分块法则规定A与B的乘法为其中CjA11A21A12A22AsA2sB11B21B12B22B1tB2tC11C21C12C22C1tC2tA2BsiBstCr1Cr2CrtAkBkj , i 1三、分块对角阵1,2,L,r；1,2,L,t设A是n阶矩阵，若diag(A1,A2, As)riA的一个分块矩阵只有在主对角线上有非零子

45、块，即其中Ai是ri阶小方阵（阶数可不同），i 1,2,s ，板书:n,而其余的非主对角子块都为零矩阵,那么称A为的分块对角矩阵.C=AB例如：若记相应矩阵进行3则Ai10 05 1 00 00 02 6 10 00 04 1 50 00 00 0 04 10 00 0 00 6A100 00 03 20 0 00 0 01 4AiA2A3及左行，A3诀.注1分块对角阵有以下性质便得Ai(1)若 A(2)若每一证由|A|AiAilAs|Ai| ；Ai1|A| 0,则有 A 110知A存在，由Ai1AsAs11AA1As5 0 00 3 1，求 A 1 .0 2 1As1A1A11AsAs1A1

46、As1E1EsB C例3设A，其中B,D皆为可逆方阵(不必同阶)，求证A可逆，并求O D对矩阵分块时，应特别重视按行和按列分块:a11a12La1nT1a21a22La2 nTAa=u按行分块A2矩阵MMMm nMam1dm2LamnT ma11a12La1nA按列分块a21a22La2n矩阵a=uAa1,a2,L ,anm nMMMam1am2LamnTT111 1TT注1A222 2m，1 nOMMTTnmm mAmnn a1，a2,L ,an2O1a1,a2,L例4 设AT A0,证明A 0.n线性方程组allxlai2x2Lal n Xnbia21Xia22x2L LLL La2n X

47、nL Lb2amiXiam2X2LamnXnbm简记为 AX其中Aai1ainXXibiam1amnXnbmXi也可记为X2ai,a2,L ,anMb.Xn1nan四、克拉默法则的证明P53 56课后作业11 (3)、12 (4)、13 (2)26、28、29 (1)、30 (2)单元教案知识单元主题第三章矩阵的初等变换与线性方程组学时8教学内容（摘要）1矩阵的初等变换他矩阵的秩3线性方程组的解教学目的要求1、掌握矩阵的初等变换，并会用初等行变换求矩阵的逆；2、理解矩阵的秩的概念， 知道初等变换不改变矩阵秩的原理，掌握用初等变换求矩阵秩的方法，知道矩阵的秩与标准形关系；3、掌握齐次与非齐次线性

48、方程组有解的条件；4、熟练掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法。教学重点难点矩阵的初等变换；用初等行变换求矩阵的逆；矩阵的秩，初等变换求矩阵的秩；用矩阵的初等行变换解线性方程组。难点：矩阵的初等变换；矩阵秩的概念；线性方程组有解的条件教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演教学后记加强初等变换矩阵乘法关系这一部分内容的教学。部分同学对初等（行）变换求 逆矩阵的原理理解不够.分教案授课主题第三章国课次2教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演学时4教学目的要求掌握矩阵的初等变换，初等矩阵；理解初等变换与矩阵乘法关系教学重难点理解初等变换与矩阵乘法关系，部分学生对初等（行）变换求逆矩阵的原理理

49、解不够.教学内容纲要备注第三章矩阵的初等变换与线性方程组1矩阵的初等变换、分析用消元法解线性方程组的过程2x1X2X3X42X1X22X3X441X16x22X32x414X16x29x37x49的增广矩阵21112112 141121401 10A, b462240 0133697900 00方程组（1）课题引入:对用消元法解线性方程组的三个手二、初等变换的概念续抽象为对定义3.1下面三种变换称为矩阵的初等行变换：矩阵的初等对调两行（对调i、j两行，记为ri口），称为对调变换;变换.并从(2)解方程的角用数k 0乘某一行中所有元素 （第i行乘k记为kn ）,称为倍乘变换;(3)度说明非零第i

50、行上记为ri kj）,称为倍加变换.数乘的必要把某一行所有元素的 k倍加到另一行的对应元素上（第 j行的k倍加到性.将定义中的“行”换成“列”，即得到矩阵的 初等列变换 的定义（将记号r换成c).矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换,统称为矩阵的初等变换都存在着逆变换，如变换。r j的逆变换就是其本身； 变换kri的逆(k)rj ；1变换为一 口；变换ri krj的逆变换为n k定义3.2 如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B,则称矩阵A与B行r等价.记为A: B ；如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B ,则称矩阵A与Bc列等价.记为A: B；如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵等价.记为A:

51、 B .1等价关系具有下面三条性质:反身性:A: A;2.对称性:若有A : B ,则必有B : A;3.传递性:若有A: B、B : C,则必有A: C.容易验证矩阵之间的初等变换满足上面等价关系的三条性质。、利用初等行变换解线性方程组B A, b上面矩阵对应方程组X1X30，（行阶梯形3（行最简形矩阵）X2X33 ,取X3为自由未知量，并令x3c,即得X4X1c 414X2c 313cX3c10X4303其中c是任意常数.行阶梯形矩阵的特点:可划一条阶梯线,线的下方全为零;每个台阶只有一行,非零首台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，称为行最简形矩阵 的特点：行阶梯

52、形，非零首元为1,且非零首元所在的列的其他 I元素都为0.!:注2对于任彳S矩阵Am n总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩!阵和行最简形矩阵.初等变换的主要作用是化简矩阵而保持其等价性（这在用矩阵解线性方程组中i很重要）。化简矢I阵A的主要过程是：首先通过初等行变换把 A化成行阶梯形矩阵然后继续用初等行变换把 A化成行最简形矩阵。此后如果再用初等列变换，还可将!A进一步化成标准形.!i注3 对于任彳S矩阵 Am n总可以经过有限次初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形FEr0此标准形由m, n, r三个数完全确定，其中 r就是行阶梯形矩阵的非零行的行数.所有与A等价的矩阵组成的一个

53、集合，称为一个等价类，标准形是这个等价 类中形状最简单的一个.021302,把A, E化成行最简形.230二初等矩阵、初等矩阵的概念定义3.3单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵（初等方阵）1、对调两行或对调两列由单位矩阵E的第i、j行（列）对调而得到的初等矩阵，记作1 ! TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark870 o Current Document 1 01(i) HYPERLINK l bookmark606 o Current Document 10E(ij) 01 HYPERLINK l bookmark9

54、71 o Current Document 10(j)-112、以数k 0乘某行或某列 由单位矩阵第i行(列)乘k而得到的倍乘初等矩阵，记作！1 - i1E (i(k)k(i) ;1 1 I 3、倍加变换得倍加初等矩阵由单位矩阵E的第j行的k倍加到第i行而得到(也就是由单位矩阵 E的第i列j TOC o 1-5 h z 的k倍加到第j列而得到)的初等矩阵，记作iI 11k(i) HYPERLINK l bookmark484 o Current Document E ( j(k), i) 1( j)I1i(j)i注1初等矩阵皆可逆，且它们的逆阵仍为同类初等阵。一 一 一 一 一 1由于 E(i

55、,j)E(i,j) E, E(i(k)E(iJ) E, E(j(k),i)E(j( k),i) E,； kE(i,j) 1E(i,j), E(i(k)1 E(i(；), E(j(k),i) 1 E(j( k),i)。|二、初等矩阵的应用i容易验证：E(i, j)A导致A的第i , j行对调(即G ；AE(i, j)导致A的第i , j歹U !i TOC o 1-5 h z 对调(即ciCj);iE(i(k)A导致A的第i行乘k (即k )(k 0); AE(i(k)导致A的第i歹U !乘k (即k Ci) (k 0)；!iE(j(k),i)A导致A的第j行的k倍加到第i行(即G g ); AE

56、(j(k),i)导致!A的第i列的k倍加到第j歹U (即Cj kc。；:定理1设A是一个m n矩阵，对A进行一次初等行变换，相当于在A的左rI：边乘一个相应的 m阶初等矩阵；对 A进行一次初等列变换，相当于在A的右边乘!一个相应的n阶初等矩阵。!定理2 矩阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵Pi, P2,L , Pi,使jI:得 A R F2 L P.r TOC o 1-5 h z 推论1方阵A可逆 A: E.!推论2 m n矩阵A : B 存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q ,使得jIPAQ B.(此推论证明留给读者)j注2 对可逆矩阵 A和同阶单位矩阵 E作同样的初等行变换，则把 A

57、变成单j HYPERLINK l bookmark609 o Current Document 1:位矩阵的同时，单位矩阵 E也就变成了A .j证 由定理2知，若|A 0 ,则A P1P2P (其中Pi为初等矩阵，ji 1,2, ,l)由此推得 P1P；P/A E.|bl p 111111 AA 1111A A 1 A 1p p PiLP e p PiLP aa p p iL p a a a .所以对A和E施行相同的初等变换 P 1Pl11Pi1,则A变成了 E, E变成了 A 1 .1例1 设A 2 2 1 ,求A .3 4 3注意：用初等行变换求 A的逆矩阵(或求解线性方程组) 时，不必3

58、证A是否 可逆，如果作变换时左边子块出现了全零行，则表明 A不可逆，此时需要另行讨论了。对于n个未知数n个方程的线T方程组 AX b ,若A可逆，则线性方程组的.11_1解为X A b .由A (A|b) (E | A b)知：利用矩阵的初等行变换当将 A变成E时，b就变成A1b ,此即方程组的解.2 , b12b2求线性方程组Axb2的解.例3求解矩阵方程AXA X,其中分析 AX A X学生思考：如何求Y CA 1?对矩阵A作初等列变换，使CECA 1一 一一 1即可得Y CA 1.或者改为对AT, CT作初等行变换,AT, CTE,ATCT即可得YT1T-TT1.T ,IA 1 CT A

59、T CT ,从而求得Y .QP79 81课后作业3 (2)、4 ( 1)、5分教案授课主题第三章曲-S课次2教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演学时4教学目的要求理解矩阵的秩，掌握线性方程组的解 .教学重难点矩阵的秩，线性方程组解的判定定理备注教学内容纲要2矩阵的秩一、矩阵秩的概念 I给定矩阵Am n,它的标准形jF Er 00 0m n：i由数r完全确定，这个数r就是行阶梯形矩阵的非零行的行数，便是本节要讨论的矩j阵A的秩. I定义3.4 在m n矩阵A中，任取k行与k列k m, k n，位于这些行列交：i叉处的k2个元素，不改变它们在 A中所处的位置次序而得的 k阶行列式，称为矩阵A ：

60、的k阶子式.m n矩P$ A的k阶子式共有Cm C：个.j定义3.5 设在矢I阵A中有一个r阶子式D 0,且所有r 1阶子式(如果存 j在的话)全等于0 ,那么D称为矩阵A的最高阶非零阶子式，数r称为矩阵A的秩记!作R A .注1 (1)规定零矩阵的秩等于 0.j(2)在A中当所有r 1阶子式全为0时，则所有高于r 1阶的子式也全为0 i :;(3)若A中有某个s阶子式不为0,则RA s ;若A中所有t阶子式全为01 TOC o 1-5 h z 则 R A t .(4)若 A为 m n矩阵，则 0 R A min m, n .i(5) R A R AT .!对于n阶矩阵A,当|A 0时，R A