函数的连续与间断课件

1、 第一章 第七节 函数在一点连续函数的间断点函数的连续与间断区间上的连续函数 间断点的分类复习(通俗说法)函数f(x)当x x0时的极限（ f(x)在x0 的某去心邻域有定义） 0 0 当0|xx0|时 |f(x)A| .= A 是指:2.1.(-定义)当x无限趋近于x0 时 函数f(x) 的值无限趋近于常数A不存在的常见情形O x0 xO x0 xO x0 x两个单侧极限存在 但不相等至少一个单侧极限无穷大至少一个单侧极限为振荡型 第一章 第七节 函数在一点连续函数的间断点函数的连续与间断区间上的连续函数 间断点的分类O x0 24 x 1.引例 设某地昨天的气温：y=f(x) (0 x24

2、)在x0处：点(x0,f(x0)两侧“粘连”着其图象“连绵不断”，可一笔画成新课 函数在一点连续的概念气温f(x)在x0处不可能出现如下情形：（在x0处无定义）O x0 xO x0 xO x0 x气温f(x)在x0处不可能出现如下情形：（在x0处无定义）O x0 xO x0 xO x0 x 不存在f(x0)A气温f(x)在x0处不可能出现如下情形：（在x0处无定义）O x0 xO x0 xO x0 x =A 这些情形给人“不连续”的印象 曲线的“连续性”在x0处遭到破坏 何谓“连续”呢？ 不存在气温f(x)在x0处不可能出现如下情形：（在x0处无定义）f(x0)AO x0 xO x0 xO x

3、0 x =A 须存在极限值须等于函数值 不存在极限值等于函数值2. 函数在一点连续的定义若则称f(x)在x0处连续。f (x)在 x0 的某邻域内有定义，且 注意： 不是去心邻域定义1涉及极限还涉及函数在x0的值极限值等于函数值2. 函数在一点连续的定义定义2若,则称函数f(x)在x0处连续。若则称f(x)在x0处连续。f (x)在 x0 的某邻域内有定义，且 即即定义1f (x)在 x0 的某邻域内有定义，且 动画演示两增量趋于0极限值等于函数值定义2若,则称函数f(x)在x0处连续。若则称f(x)在x0处连续。f (x)在 x0 的某邻域内有定义，且 定义1f (x)在 x0 的某邻域内有

4、定义，且 两增量趋于0 把连续性与极限联系起来了,且提供了连续函数求极限的简便方法 只需求该点函数值（无穷小定义法）自变量在x0处作微小变化时,相应函数值的变化也很微小,形象地表示了连续性的特征.2. 函数在一点连续的定义定义3 把定义严密化,便于分析论证.0 0 当0|xx0| 时 | f(x) |A用 - 语言表述设f (x)在x0 的某邻域有定义,称f(x)在x0处连续,如果对于0 0 当0|xx0|时 | f(x) |.f(x0)(定义1) 可替换为定义3设f (x)在x0 的某邻域有定义,称f(x)在x0处连续,如果对于0 0 当0|xx0|时 | f(x) |.f(x0)0|xx0

5、|xx0|0 0 当0|xx0| 时 | f(x) |A(定义1) 可替换为定义3设f (x)在x0 的某邻域有定义,称f(x)在x0处连续,如果对于0 0 当0|xx0|时 | f(x) |.f(x0)0|xx0|xx0|0 0 当0|xx0| 时 | f(x) |A(定义1) 例解(定义1)函数处是否连续？?所以( 有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量 )0练习 设解因为所以必需且只需即必需且只需即判断下面的命题是否正确：如处处连续,但不连续.练习(1)(2)提示：3. 左连续、右连续左连续；右连续；左连续右连续（统称为单侧连续）f(x)在x0处: 连续 “ 极限值等于函数值 ” 左连续 “

6、 左极限值等于函数值 ” 右连续 “ 右极限值等于函数值 ”3. 左连续、右连续f(x)在x0左连续且右连续f(x)在x0连续= =A因为所以= f(x0)问：连续与单侧连续的关系？ 极限与单侧极限的关系即：4. 区间上的连续函数在内每一点都连续. 如果函数在区间上每一点都连续，则称函数在该区间上连续。如：在区间连续是指：4. 区间上的连续函数在内每一点都连续 如果函数在区间上每一点都连续，则称函数在该区间上连续。连续是指右连续，如：在区间连续是指：在左端点 a如果区间包括端点，那么函数在左端点.,右连续。在右端点连续是指左连续。定义出现如下三种情形之一:5. 函数的间断点 (即不连续点)无定

7、义;不存在;间断点.从三处破坏(回到引例) 不存在f(x0) 气温f(x)在x0处不可能出现如下情形：（在x0处无定义）f(x0)AO x0 xO x0 xO x0 x间断点 =AO x0 xf(x0)O x0 xO x0 x 图形变化相对平缓O x0 xf(x0)O x0 xO x0 x 图形变化无限剧烈 图形变化相对平缓O x0 xf(x0)O x0 xO x0 x 第一类间断点第二类间断点f(x0+0)，f(x0-0)都存在f(x0+0), f(x0-0)至少一个不存在 图形变化无限剧烈 图形变化相对平缓L练习X J x=1是函数f(x)的 间断点 第一类1 讨论函数解例f(1+0),f

8、(1-0)都存在 (图形变化相对平缓)L练习X J f(0+0),f(0-0) 至少一个不存在 (图形变化无限剧烈)例3f(0+0)和f(0-0)都不存在,故为f (x)的 间断点.第二类之间来回无穷次振荡,在解讨论函数在x=0的连续性。X J 指出函数x = 2 是第二类间断点.的间断点及其类型.答案: x = 1 是第一类间断点;练习小 结函数在一点连续的三个定义；区间上的连续函数;函数的间断点及其分类.左连续、右连续;主要内容：极限值等于函数值定义2若,则称函数f(x)在x0处连续。若则称f(x)在x0处连续。f (x)在 x0 的某邻域内有定义，且 定义1f (x)在 x0 的某邻域内

9、有定义，且 两增量趋于0 把连续性与极限联系起来了,且提供了连续函数求极限的简便方法 只需求该点函数值（无穷小定义法）自变量在x0处作微小变化时,相应函数值的变化也很微小,形象地表示了连续性的特征.2. 函数在一点连续的定义可替换为定义3设f (x)在x0 的某邻域有定义,称f(x)在x0处连续,如果对于0 0 当0|xx0|时 | f(x) |.f(x0)0|xx0|xx0|0 0 当0|xx0| 时 | f(x) |A(定义1) 3. 左连续、右连续左连续；右连续；左连续右连续f(x)在x0处: 连续 “ 极限值等于函数值 ” 左连续 “ 左极限值等于函数值 ” 右连续 “ 右极限值等于函数值 ”（统称为单侧连续）3. 左连续、右连续f(x)在x0连续f(x)在x0左连续且右连续= =A因为所以= f(x0)问：连续与单侧连续的关系？ 极限与单侧极限的关系即：4. 区间上的连续函数在内每一点都连续 如果函数在区间上每一点都连续，则称函数在该区间上连续。连续是指右连续，在右端点连续是指左连续。如：在区间连续是指：在左端点 a如果区间包括端点，那么函数在左端点.,右连续。定义出现如下三种情形之一: