《周期现象与周期性》教案

1、周期现象与周期性课时安排一课时 .材料来源北师大版普通高中课程标准实验教科书数学必修4中的 “周期现象与周期性” .本节最为重要的是让学生了解周期现象， 观察周期现象， 感知周期现象的存在，学会用周期现象， 解决一些实际生活和数学中的一些具体问题 . 从生活现象教材内容 学习活动 学习过程 解决问题 目标达成学习的延伸 ( 课外自主学习).立意与设想创设网络式学习与课堂学习相结合的模式， 能从网络上获取生活与自然界的周期现象，并根据自然界、生活中的周期现象，理解周期性的意义，一个周期变化、一个最小正周期、周期的整数倍的意义. 能从各种事实、数据、图形中，判断其是否具有周期性. 建立数学模型，将

2、自然生活现象中的周期问题，转化为数学中的周期函数；掌握正弦、余弦函数的周期特征，正确理解 f( x+T)= f( x) 的意义， 理解周期与最小正周期的概念.设计理念借助网络了解自然现象中的周期现象， 由学生上网查阅资料， 完成生活与自然界的周期现象的收集，并能将这些现象用多媒体的方式展示出来. 把周期现象转化为数学问题(数学模型) ，建立数学模型，用数学模型“ f( x+T)= f( x) ”来研究周期 问题 .整个学习过程， 体现了学生的主动学习， 学会利用网络进行再创作， 提取学习信息，了解周期现象，特别从数学角度来研究它，使之更好地为生活生产服务. 学会学习，自主探究，提高独立探究能力

3、、自我创新能力 .根据本节课的具体教学内容和学生实际情况，可借助网络和多媒体辅助教学 .教材分析一、地位与作用周期性是函数的五大性质之一， 突出地表现了函数的一大特征， 即某一现象的重复出现 . 这种现象在三角函数中体现得最为充分，函数值的变化会随着自变量的变化而重复出现. 因此，在研究周期函数时，我们只需要对其一个周期进行研究，便可知道它在整个定义域中的性质. 特别还为我们学习周期数列、物理学中的周期运动、周期现象奠定了基础. 最重要的是周期现象就存在于自然界与生活中，许多周期现象， 常常直接影响着人类的生活与生存， 使我们认识自然、 发现自然奥秘并尊重自然规律. 因此，学好这部分知识可以帮

4、助学生关注自然，了解自然，体会数学与自然界有着千丝万缕的联系， 并从中体会学习数学的快乐， 数学并不总是枯燥的，数学并不是无用的，它的价值是无限的 .二、教学重点与难点本节课的重点内容是通过对生活、 自然界的周期现象的认识， 了解周期现象的意义，并学会建立数学模型， 用数学方法研究周期现象，掌握正弦、 余弦函数的周期性变化，学会用周期性研究函数的性质 .本节课的难点是建立数学模型，将周期现象转化为数学中的周期函数，准确理解符号 f( x+T)= f( x) 的意义，能判定函数是否具有周期性，会求出函数的周期及最小正周期 .三、方式方法合理创设情境， 从学生最为熟知的自然规律、 生活现象出发，

5、通过观察、 归纳、转化， 体会从具体事件到抽象的数学模型的学习过程， 提升每个学生的学习能力与数学品质 .四、难点突破给出预习提纲，利用现代教育技术，通过网络了解自然与生活中的周期现象，并借助多媒体展示主要的周期现象. 借助实例、反例、数组、图象等直观素材，搭建好自然与生活中的周期现象与数学中的周期函数的关系，引导学生用数学语言、数学符号表示周期现象， 学会用数学知识、 数学方法、数学观点研究周期现象， 完成周期函数的学习 .学情分析在学生具有一定函数知识、图象知识、逻辑思维能力和转化能力的基础上，学生对自然与生活现象中的周期(性)变化，早有体会，并不陌生，但我们在整个数学学习过程中，并没有作

6、为周期性来认识、来研究. 学生困难的是周期性赋予的数学意义， 或者说怎样从周期函数的角度， 研究周期现象， 特别是对周期函数的定义，对数学符号f(x+T)=f( x) 的理解，不是一件容易的事，教学过程中，教师仍然应从多角度， 让学生感知周期现象与周期函数的关系， 理解自变量与函数值所表示的周期现象的意义， 培养学生建立数学模型， 并会用数学模型解决实际问题的能力， 为数学建模不断地奠定基础.学习目标一、知识与技能了解自然界的周期现象，能从一组数据的变化读出周期现象. 观察函数的图象变化、观察正弦、余弦函数值的变化，找出正弦、余弦函数的周期和最小正周期 .二、过程与方法培养学生观察生活、 观察

7、自然现象的好习惯， 能将周期现象应用到数学学习中，并能用几何方法研究代数问题，亦能将代数问题转化为几何问题不研究. 掌握实验确认、自主探究、合情推理等方法三、情感、态度、价值观在探究学习过程中，体验学习的乐趣、感受大自然的奇趣，深刻体会自然界中的数学， 与数学中蕴涵的自然规律. 增强学习的信心， 培养探索世界、 了解自然、 TOC o 1-5 h z 学好数学的兴趣.教学重点与难点教学重点 ：任意角的正、余弦函数的定义.教学难点： 用单位来研究问题 .教学过程一、课前阅读与预习阅读课本 P.3-P.5 页， 理解周期现象.通过网络查阅自然界与生活中的周期现象， 分析这些周期现象， 这些周期现象

8、说明了什么， 并说明周期现象的应用 (服务于生产与生活) ， 分类总结形成文字，并在课堂上交流.二、新课引入1. 自然与生活中的周期现象你能列举哪些自然与生活中的周期现象. 并指出它们经过几次变化，同一种现象会重复出现.学生预习成果展示：1）海水的潮汐现象（海水每经过一昼夜会涨落两次）2）地球的自转和公转.3） 一天二十四个小时、一周七天、一年十二个月的周而复始；一年四季 （春夏秋冬）的交替，一年二十四节气的轮回.4）时钟的时针、分针、秒针的重复旋转.5）中国每年的传统节日.6）中国年历中的十二生肖.7）摆钟的摆锤运动、水车的水轮转动、摩天轮的转动 .2.讨论周期现象的特征同一现象或同一事件，

9、会在相同的时间或经过相同的变化次数后重复出现 .三、周期意义的理解学习材料一：生活中的周期现象.今天是星期三，经过7天、14天、280天变化后，分别是星期几？若向前推7天、21天、70天分别是星期几？最少要经过多少大的变化可以得到星期三？ 帮助学生从生活现象理解：周期（正周期、负周期）与最小正周期的概念.中国年历中的12生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.每经过 年重复同一生肖.若今年是兔年，经过12年是 年，经过24年是 年.经过15年是 年，给出某一年的生肖，如何计算不同年份的生肖？生活现象数量化：提取信息，用表格表示周期现象，如下表:经过的天数刖二天刖一天前一天今天12

10、3456714- 280星期几67123456712333构造函数模型设x为经过的天数，星期几为对应的函数值 f（x）,将中的表改造如下:经过的天数x刖二天刖一天前一天今天123456714- 280星期几f(x)67123456712333赋予数字意义(利用映射关系)令今天用0表示，前一天用-1表示，前二天用-2表示，前三天用-3表示,则以上表格改造为经过的天数x-5-4-3-2-10123456714280星期几f(x)567123456712333建立周期模型的雏形利用中的第二个表格，引导的学生：i)列出f(x)与x的等量关系.当 f(0)=3, f(1)=4, f=5, f (3) =

11、6, f(4)=7, f(5)=1, f(6)=2, f=3,， f(-1)=2, f(-2)=1, f(-3)=7, f(-4)=6, f(-5)=5，.ii)找出f(x)=1的所有的f(x).，f(-9)= f(-2)= f(5)=f(12)=，找出 f(x)=2 的所有的 f(x).f(-15)= f(-8)= f(-1)= f(6)= f(13)= f(20)= f(27)=.iii)找出以上数量关系的一般规律：f( x+7)= f( x).学习材料二：数字中的周期现象.例举一些数字，使其具有周期性，并求出它们的周期、最小正周期 .例如： 1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,23；

12、0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,1, 0,-1,； 0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,周期模型的认识：.设a, b, c, d分别代表春、夏、秋、冬，若令 a=春，b = M, c=秋，d/, 若第一季为春季用f(1)表示，且有f(1)=a；经过一个季节变化后为夏季，用 f(2) 表示且有f(2)=b;经过二个季节的变化后为秋季，用f(3)表示且有f(3) =c；经过 三个季节变化后为冬季用f 表示，且有f(4)=d,若经过10个季节的变化 后是一季(填 a、b、c、d),求 f(5)= f(4+1)= 一 f(6)= f(4+2)= - f(7)= f(4+

13、3)= _, f(8) =f(4+4)=, ，若x为经过的季数，由以上结果，是否可以得到f(x+4)=f(x) (x Z)的结论.引导学生：用列表法表示自变量 x (经过的季数)与季节f(x)的函数.经过的x季节数-4-3-2-10123456789101112季节f(x)cabcdabcdabcdabcd学习材料三：周期现象的直观表示y.如图，为y=f(x)的图象，研究函数图象 的特征，指出函数图象的变化是否具有周期性， 若有，求出它的最小正周期和周期.将函数f(x)=x2 (x -1,1)的图象，分别向左、向右平移2, 4, 6,个单位.作出这个图象，观察你作的图象，这个图象的变化是否具有

14、周期性， 最小正周期是？周期是?分别观察 i)f(-6)、f(-4)、f(-2)、f(0)、f、f(4)、f(6)的值是否相等?ii)f(-7)、f(-5)、f(-3)、f(-1)、f、f(3)、f(5)、f的值是否相等？iii) f(-7+ 1)、f(-5+ 1)、f(-3+ -) f(-1+ 1)、f(1+-) f(3+1)、f(5+)的值是 TOC o 1-5 h z 2222222否相等？从以上结论：是否可得出f(x+2)=f(x)的结论？利用 f(x+2)=f(x)和 f(x)=x2(x -1,1)，求 f(3), f(-4), f(11), f( 5), f(-)234的值.四、正

15、弦、余弦函数的周期性.为任意角，若 角的终边与单位圆的交点坐标为P(u,v),则sin =, cos =. 在 角的终边上任取一点 Q (x, y)，贝U sin =, cos =.由三角函数的定义，说明终边相同的三角函数值的关系，即 sin(2k九) 与sin (k Z)的关系；cos(2k tt)与8$ (k Z)的关系.若 f(x)=sinx,则 f(2k 冗+x)=( k Z)；若 f(x)= cosx,贝U f(2 k 冗 +x)=( k Z).由正弦、余弦函数的定义，标出 sin 、cos在四个象限中的取值符号.当 自变量x经过了多长的变化，y=sinx与y=cosx的正负符号，会

16、重复变化？y=sinx 与y=cosx的函数值会重复变化？至少要经过多少(圈)弧度的变化？它们的周期 是多少？最小正周期是多少？用多媒体演示：当角的终边按顺时针或逆时针变化一圈、二圈、三圈，观察正弦、余弦函数值和函数值的符号变化.五、周期函数的概念学生阅读：周期函数的定义(课本 P.16).学生讨论：对定义涵意的理解.对函数符号f(x+T尸f(x)意义的理解.使用的条件.六、反馈练习：.课本P.16练习1.设 f(1)=0, f(2)=1, f(3)= -1 ,若 f(x+3)=f(x)( x Z),求 f(9) , f(25) , f(-50) 的值.已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函

17、数，且f(1) =2005，求f(11).七、小结与作业：.你能从哪些角度对周期函数进行理解？日常生活现象；函数图象；数组；周期函数的定 义：对 于任意 的都有 f(x+T尸f(x), T为常数.函数模型的建立确定的两个量，自变量与函数值 .如何将不是数字的问题赋 予数字意义后，用函数来研究(用映射的关系进行转化)如何将自然与生活生产的 实际问题转化为函数性质来研究？(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性)作业:层次一. f(x)是以1为一个周期的函数，且当x (-1,0)时，f(x)=2x+1，求f(Z)的值.2 TOC o 1-5 h z .已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=

18、 - f(x),则f(6)的值为().A.-1B.0C.1D.2.已知定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)+ f(2)+ f(3)的值是()A.0B.1C.2D.3层次二(2006山东)已知定义在 R上的奇函数f(x)满足f(x+2) = f(x),求f(4+x)与f(x)的关系式；f(x)的最小正周期；求f(6)的值为().A. -1B.0C.1D.2.设函数f(x) (了七系)是以3为周期的奇函数，且f(1)1, f(2)= a,则().A.a2B.a1D. a-1.若 f(n)=sin(n Z),贝U f(1)+f (2) +f(102)= 6. (2005天津文)设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递减，且y=f(x)的图象关于直线工=3对称，则下面正确的结论是 ().(A)可力(工5)汽6 5)*3.5) (1.5) 569(C)/(6.5)53加,5)八3.5) /(1.5)层次三建立循环数字的周期关系.一组循环数字,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,1, 0,-1,，若令f(-1)=0 ,f(0)=-1, f(1)=0 , f(2)=1 , f(3)=0 , f(4)=-1 , f(5)=0 , f(6)=1 , f=0 , f(8)= -1, 则