空间立体体积

1、关于空间立体的体积第一张，PPT共四十三页，创作于2022年6月 1. 已知平行截面面积的空间立体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间因此所求立体体积为上连续,的体积元素为OdV第二张，PPT共四十三页，创作于2022年6月例1解取坐标系如图底圆方程为yxoA(x)三角形边长高为：第三张，PPT共四十三页，创作于2022年6月2. 旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线称为旋转轴圆柱圆锥圆台第四张，PPT共四十三页，创作于2022年6月情形1G1xyoG1G1xyoxyoxyoxyoxyo G1 绕 x 轴旋转一周所得旋转

2、体的体积则以 f (x) 为高，以dx 为底的窄边矩形平面图形G1 ：由连续曲线 y = f (x)，直线 x = a, x = b 及 x 轴 所围成的曲边梯形.绕 x 轴旋转而成的圆柱体第五张，PPT共四十三页，创作于2022年6月的体积便是体积元素：G1xyoxyoxyoxyoxyoG1 绕 x 轴旋转的旋转体的体积：第六张，PPT共四十三页，创作于2022年6月例2解直线 方程为建立坐标系，如图.连接坐标原点O及点P(h, R)的直线，直线x=h 及 x 轴围成一个直角三角形.将它绕x 轴旋转一周构成一个底半径为R，高为h的圆锥体，计算该圆锥体的体积.第七张，PPT共四十三页，创作于2

3、022年6月以 dx 为底的窄边矩形绕 x 轴旋转而成的圆柱体的体积为第八张，PPT共四十三页，创作于2022年6月用“柱壳法”：将旋转体分割成一系列以y轴为中心轴的曲顶环柱体.xOyabG1G1 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积第九张，PPT共四十三页，创作于2022年6月o(dx)可以证明：体积元素 G1 绕 y 轴旋转的旋转体的体积：xabG1oyy第十张，PPT共四十三页，创作于2022年6月情形2 G2 绕 y 轴旋转G2 绕 x 轴旋转cdy 第十一张，PPT共四十三页，创作于2022年6月解例3第十二张，PPT共四十三页，创作于2022年6月（方法1）第十三张，PPT共四十三页

4、，创作于2022年6月(方法2 ) 柱壳法第十四张，PPT共四十三页，创作于2022年6月例4解体积元素为:(方法1)422xyo MP Q第十五张，PPT共四十三页，创作于2022年6月(方法2)42 2xyo第十六张，PPT共四十三页，创作于2022年6月例5(综合题)解 (1)xyo1第十七张，PPT共四十三页，创作于2022年6月(2)(3)xyo1x第十八张，PPT共四十三页，创作于2022年6月第十九张，PPT共四十三页，创作于2022年6月第二十张，PPT共四十三页，创作于2022年6月例6 (综合题)解所以 c = 0,又由题设，知知识点： 平面图形的面积 旋转体的体积 函数的

5、极值、最值第二十一张，PPT共四十三页，创作于2022年6月第二十二张，PPT共四十三页，创作于2022年6月第二十三张，PPT共四十三页，创作于2022年6月内容小结二、旋转体的体积一、平行截面面积为已知的立体的体积绕 轴旋转一周绕 轴旋转一周绕非坐标轴直线旋转一周第二十四张，PPT共四十三页，创作于2022年6月备用题例1-1 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,并与底面交成 角,解 如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .第二十五张，PPT共四十三页，创作于2022年6月利用对称性思考 可否选择 y 作积分变量 ?

6、此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?第二十六张，PPT共四十三页，创作于2022年6月提示:第二十七张，PPT共四十三页，创作于2022年6月计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而成的椭球体的体积. 解 (方法1) 利用直角坐标方程则(利用对称性)例2-1第二十八张，PPT共四十三页，创作于2022年6月(方法2) 利用椭圆参数方程则特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积第二十九张，PPT共四十三页，创作于2022年6月例 3-1 解(1) 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积为xOy第三十张，PPT共四十三页，创作于2022年6月分别绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积之

7、差.这个图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积可以看成平面图形 OABC 与 OBC1CBA(2) 绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积分析xOy第三十一张，PPT共四十三页，创作于2022年6月(方法1)OB 的方程为) AB 的方程为)1CBAxOy从而所求的体积为第三十二张，PPT共四十三页，创作于2022年6月第三十三张，PPT共四十三页，创作于2022年6月(方法2)xOy由公式得第三十四张，PPT共四十三页，创作于2022年6月试用定积分求圆绕 x 轴上半圆为：下解(方法1 ) 利用对称性旋转而成的环体体积 V.例3-2xyo第三十五张，PPT共四十三页，创作于2022年6月(方法2

8、 ) 用柱壳法注 上式可变形为右半圆为左此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示). o第三十六张，PPT共四十三页，创作于2022年6月设平面图形 A 由与图形 A 绕直线 x2 旋转解若选 x 为积分变量，则旋转体的体积为若选 y 为积分变量, 则 例4-1所确定 , 求一周所得旋转体的体积 . 第三十七张，PPT共四十三页，创作于2022年6月例4-2在 x0 时为连续的非负函数, 绕直线 xt 旋转一周证明:证利用柱壳法所成旋转体体积 ,则第三十八张，PPT共四十三页，创作于2022年6月故第三十九张，PPT共四十三页，创作于2022年6月解例5-1(2003年考研)第四十张，PPT共四十三页，创作于2022年6月由于该切线过原点，得即从而切线方程为所以平面图形 D 的面积oxy(e,1)1e第