等比数列前项和公式推导

1、关于等比数列前项和公式的推导第一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月复习等差数列等比数列定义通项公式性质Sn第二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月预备知识： Sn = a1 + a2 +an Sn-1=a1+a2+an-1(n 2) an= Sn Sn-1 (n 2)你能得出吗?第三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月问题：如何来求麦子的总量？得: 2S64= 2+22+23+ +263+264错位相减得：S64= 264 1 1.8 1019即求：1，2，22，263的和；令：S64=1+2+22+262+263， 以小麦千粒

2、重为40麦子质量超过7000亿吨！麦粒总质量达7000亿吨国王是拿不出的。第五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月q,得，得由此得q1时，等比数列的前n项和设等比数列它的前n项和是即说明：这种求和方法称为错位相减法第六张，PPT共八十七页，创作于2022年6月当q1时，显然，当q=1时，第七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月( q=1).(q1).等比数列的前n项和表述为：第八张，PPT共八十七页，创作于2022年6月已知a1 、n、 q时已知a1 、an、 q时等比数列的前n项和公式第九张，PPT共八十七页，创作于2022年6月 (1) 等比数列前n项和公式：等比数列前n项和公

3、式你了解多少？Sn=1-q(q=1)(q=1)Sn=1-q(q=1)(q=1) (2) 等比数列前n项和公式的应用：1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提；.在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。利用“错位相减法”推导第十张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例1、求下列等比数列前8项的和第十一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月说明：.第十二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月1数列2n1的前99项和为()A21001B12100C2991 D1299答案：C第十三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月2在等比数列an中，已知a13，an96，Sn189，则n的

4、值为()A4 B5C6 D7答案：C第十四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月3已知等比数列an中，an0，n1,2,3，a22，a48，则前5项和S5的值为_答案：31第十五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月4求Snx2x23x3nxn(x0)第十六张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第十七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月(一) 用等比定理推导当 q = 1 时 Sn = n a1因为所以 合比定理：第十八张，PPT共八十七页，创作于2022年6月Sn = a1 + a2 + a3 + .+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +.+ a1q

5、n-2 + a1qn-1= a1+ q ( a1 + a1q + .+ a1qn-3 + a1qn-2 )= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn an )Sn = a1 ( 1 q n ) 1 q 递推公式：第十九张，PPT共八十七页，创作于2022年6月答案：B第二十张，PPT共八十七页，创作于2022年6月2在等比数列an中，公比q2，S544，则a1的值为()A4 B4C2 D2答案：A第二十一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月3在等比数列an中，已知a1a2an2n1，则a12a22an2等于_第二十二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月4设数列an是等比

6、数列，其前n项和为Sn，且S33a3，求公比q的值第二十三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月分析：第1年产量为 5000台第2年产量为 5000(1+10%)=50001.1台第3年产量为5000(1+10%) (1+10%)第n年产量为则n年内的总产量为：第二十四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月解：第二十五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第二十六张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第二十七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第二十八张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第二十九张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第三十张，PPT共八十七页，创

7、作于2022年6月分析由题目可获取以下主要信息：已知等比数列的前3项和前6项的和，求其通项解答本题可直接利用前n项和公式，列方程求解第三十一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第三十二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月点评在等比数列an的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解第三十三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月迁移变式2设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求公比q的值第三十四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第三十五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第三十六张

8、，PPT共八十七页，创作于2022年6月第三十七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月点评在求含有参数的等比数列的前n项和时，容易忽略对a1和q1的讨论，从而丢掉一种情况第三十八张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第三十九张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第四十张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第四十一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月如图1，一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？第四十二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月分析通过仔细审题，抓

9、住“在以后每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%”这一“题眼”，从而构造出等比数列模型热气球在每分钟里上升的高度组成一个等比数列，于是热气球上升的总高度便是该等比数列的前n项和，利用公式即可第四十三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第四十四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第四十五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月迁移变式4如果某人在听到喜讯后的1 h后将这一喜讯传给2个人，这2个人又以同样的速度各传给未听到喜讯的另2个人，如果每人只传2人，这样继续下去，要把喜讯传遍一个有2047人(包括第一个人)的小镇，所需时间为()A8 h B9 hC10 h

10、D11 h第四十六张，PPT共八十七页，创作于2022年6月解析：设第n个小时后知道喜讯的总人数为Sn，Sn12222n2n112047，n10，故选C.答案：C第四十七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第四十八张，PPT共八十七页，创作于2022年6月2因为公比为1和不为1时等比数列前n项和有不同的公式，所以若公比为字母时，应进行分类讨论这也是由公式的适用范围引发的分类讨论的典型例子之一第四十九张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第五十张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第五十一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第五十二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第

11、五十三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第五十四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第五十五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月题后感悟在等比数列an的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解,第五十六张，PPT共八十七页，创作于2022年6月1.在等比数列an中，a1an66，a2an1128，前n项和Sn126，求n和q.第五十七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第五十八张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第五十九张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第六十张，PPT共八十七页

12、，创作于2022年6月已知等比数列an中，前10项和S1010，前20项和S2030，求S30.第六十一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第六十二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第六十三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月题后感悟等比数列前n项和的常用性质：(1)“片断和”性质：等比数列an中，公比为q，前m项和为Sm(Sm0)，则Sm，S2mSm，S3mS2m，SkmS(k1)m，构成公比为qm的等比数列，即等比数列的前m项的和与以后依次m项的和构成等比数列第六十四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月3.各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3

13、n14，则S4n等于()A80B30C26 D16第六十五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月解析：Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n成等比数列(S2nSn)2Sn(S3nS2n)(S2n2)22(14S2n)，解得S2n6又(S3nS2n)2(S2nSn)(S4nS3n)(146)2(62)(S4n14)S4n30.故选B.答案：B第六十六张，PPT共八十七页，创作于2022年6月已知等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比与项数由题目可获取以下主要信息：等比数列的奇数项与偶数项分别依次构成等比数列；当项数为2n时，S偶S奇q.

14、解答本题的关键是设出项数与公比，然后建立方程组求解第六十七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月，得q2，代入得22n256，解得2n8，所以这个数列共8项，公比为2.第六十八张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第六十九张，PPT共八十七页，创作于2022年6月4.等比数列an共2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求该数列的公比q.第七十张，PPT共八十七页，创作于2022年6月 求数列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1的前n项和(a0)由题目可获取以下主要信息：数列的通项公式an(2n1)an1.每一项可分成两个因式，由前一个因式可构成等差数列，后一因式可

15、构成等比数列解答本题可选用错位相减法求数列的和第七十一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第七十二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月题后感悟错位相减法一般来说，如果数列an是等差数列，公差为d；数列bn是等比数列，公比为q，则求数列anbn的前n项和就可以运用错位相减法第七十三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月在运用错位相减法求数列的和时，要注意以下四个问题：(1)注意对q的讨论，在前面的讨论中，我们已知q是等比数列bn的公比，所以q0，但求和Sn12x3x2nxn1时，就应分x0、x1和x0且x1三种情况讨论(2)注意相消的规律(3)注意相消后式子(1q)Sn的构成，以

16、及其中成等比数列的一部分的和的项数(4)应用等比数列求和公式必须注意公比q1这一前提条件如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查第七十四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第七十五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月第七十六张，PPT共八十七页，创作于2022年6月1在运用等比数列前n项和公式进行运算时应注意以下几点：(1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量第七十七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月(3)在公比为字母参数的等比数列求和时，应分q1与q1两种情况进行讨论第七十