矩阵初等变换以及线性方程组习题

1、关于矩阵的初等变换及线性方程组习题第一张，PPT共三十二页，创作于2022年6月第三章 矩阵的初等变 换与线性方程组第二张，PPT共三十二页，创作于2022年6月（第 行的 倍加到第 行上，记作 ）.一、内容提要（一）初等变换定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:（i）对调两行（对调两行 ，记作 ）； （ii）以数 乘某一行中的所有元素（第 行乘 ，记作 )（iii）把某一行所有元素的 倍加到另一行对应的元素上去； 第三张，PPT共三十二页，创作于2022年6月（记号：“ ”换为“ ” ）矩阵 与 列等价；记作 ； 若矩阵 经过有限次初等列变换变成矩阵 ，则称阵 与 等价；记作 ； 矩阵

2、与 行等价；记作 ； 若矩阵 经过有限次初等变换变成矩阵 ，则称矩 定义2 若矩阵 经过有限次初等行变换变成矩阵 ，则称 注 （1）将定义中“行”改为“列”，称为矩阵的初等列变换；（2）初等行变换与初等列变换统称为初等变换第四张，PPT共三十二页，创作于2022年6月（二）初等矩阵1定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵称为 2三种初等矩阵 ， ， . 行列式： ， ， . 逆矩阵： , , .作 用：“左乘变行，右乘变列”初等矩阵 第五张，PPT共三十二页，创作于2022年6月（三）矩阵的秩 1定义 设矩阵 中有一个不等于 的 阶子式 ，且所有 阶子式（如果存在的话）全为 ,则称 为

3、的最高阶非零子式数 称为矩阵 的秩，记为 . 规定：零矩阵的秩为 2性质 （1） .（2） .（3）若 ，则 .（4）若 可逆，则 .第六张，PPT共三十二页，创作于2022年6月3求法 （1）定义法；（四）线性方程组的解1 有非零解 ；2 有解 ， ；即（1）当 时， 有唯一解；（2）当 时， 有无穷多解；（3）当 时， 无解3通解的求法: 初等行变换法（2）利用初等行变换化 为与之等价的行阶梯形 矩阵 非零行的行数就是 的秩 第七张，PPT共三十二页，创作于2022年6月 存在可逆阵 、 ，使 （五）一些重要结论1 可逆 （ 为初等矩阵， ） 2逆矩阵的求法 第八张，PPT共三十二页，创作

4、于2022年6月二、典型例题举例 （一）填空题【例1】 给 矩阵 左乘一个初等方阵，相当于对 施行一次相应的 ；给 矩阵 右乘一个初等方阵，相当于 对 施行一次相应的 .分析 本题是考查初等方阵的性质解 初等行变换；初等列变换第九张，PPT共三十二页，创作于2022年6月【例2】 ， ， .分析 本题是考查初等方阵的定义及性质解 ； ； 【例3】设矩阵 ， ,则逆矩阵 .分析 本题可利用初等行变换法求逆矩阵 解 第十张，PPT共三十二页，创作于2022年6月可知， 的任何 阶子式均为 ，故此时 ，所以分析 本题是考查矩阵和伴随矩阵秩之间的关系由 解 【例4】设 4 阶方阵A 的秩为2，则其伴随

5、矩阵 的秩为 . 注 与 的秩的一般关系是 .【例5】设 是 矩阵， 的秩 ，而 ，分析 本题是考查矩阵秩的性质因 ，所以 可逆，解 . 从而第十一张，PPT共三十二页，创作于2022年6月【例6】已知 矩阵 的秩为 ， 矩阵 的秩为 ，则的秩为 . 分析 本题是考查列乘行形式的矩阵秩的性质因 ， ，故 与 均至少有一个非零元，所以 也至少有一个非零元，从而 ；又 的各行元素对应成比例， 所以 的任何阶 子式均为 ，故 .可见 .解 注 一般结论：设 ， 均为非零列矩阵，则 .第十二张，PPT共三十二页，创作于2022年6月分析 本题是考查初等方阵的性质及逆由于 与 互为逆矩阵，所以 ， 故应

6、选 . . . 【 】. . 解 选 .【例2】设 ， 是3 阶初等方阵，则 等于 . . . . 【 】 【例1】设A是n 阶方阵，则下列各式中正确的是（二）选择题第十三张，PPT共三十二页，创作于2022年6月知应选 .矩阵 的第三行，故应选 .分析 本题是考查初等方阵的性质由于 为用 乘解 选 .【例3】设线性方程组 有唯一解，则必有. . . . 【 】 分析 本题是考查线性方程组有唯一解的条件由解 选 .【例4】设 为 矩阵, 为 矩阵，若方程组 . . . . 【 】 有无穷多解，则必有第十四张，PPT共三十二页，创作于2022年6月 知应选 .分析 本题是考查线性方程组有无穷多解

7、的条件由： 解 选 .第十五张，PPT共三十二页，创作于2022年6月（三）计算题【例1】求矩阵 的逆矩阵分析 本题A为具体的矩阵，故可采用初等行变换法求逆阵. 解 第十六张，PPT共三十二页，创作于2022年6月 所以第十七张，PPT共三十二页，创作于2022年6月首元所在列的原矩阵中寻找A的最高阶非零子式将A 化为行阶梯形矩阵，则与之等价的行阶梯形矩阵的非零 行的行数就是A 的秩另外，可在阶梯形矩阵中非零行非零 【例2】求矩阵 的秩，并求一最高阶的非子式分析 本题中A 为具体的矩阵，故可采用初等行变换法求秩 解 因 所以 因 ，所以 即为一个最高阶的非零子式.第十八张，PPT共三十二页，创

8、作于2022年6月【例3】设矩阵 与 满足 ，其中 （1）求 ；（2）求 . 分析 本题为常规的解矩阵方程题型一般方法是先将矩阵 解（1）由 ，得 ；因 所以方程化为基本型，再用初等行变换法求未知矩阵（2）因 ，所以 .第十九张，PPT共三十二页，创作于2022年6月【例4】求解齐次线性方程组 分析 本题为解齐次线性方程组题一般方法 将系数矩阵作初等行变换化为行最简形； 由 判断解的情况； 由最简形得同解方程组； 选择非自由未知数，写出通解 解 因 同解方程组为 第二十张，PPT共三十二页，创作于2022年6月通解为 ， 【例5】设非齐次线性方程组 . 问 取何值 时，方程组有解；在方程组有解

9、时，求出其通解 第二十一张，PPT共三十二页，创作于2022年6月分析 本题为解含参数的非齐次线性方程组题，是个很重要的典型题一般方法 将增广矩阵 作初等行变换化为行最简形； 由 与 的关系判断解的情况，由此得相应的取值； 由最简形得同解方程组； 选择非自由未知数，写出通解 解 因 所以，当 ，即 时，方程组才有解，此时 第二十二张，PPT共三十二页，创作于2022年6月同解方程组为 ， 通解为 第二十三张，PPT共三十二页，创作于2022年6月【例6】设 ， ，求 . （教材P78, 习题6） 解 由 可得 ，因 由上述结果可知 可逆，且 第二十四张，PPT共三十二页，创作于2022年6月【

10、例7】求解非齐次线性方程组 . (教材P.79, 习题14(3) 解所以 ，故原方程组有无穷多解 .第二十五张，PPT共三十二页，创作于2022年6月且同解方程组为 , 令 ， ，则得通解 第二十六张，PPT共三十二页，创作于2022年6月【例8】问 取何值时，非齐次线性方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？ （教材P.80, 习题16）第二十七张，PPT共三十二页，创作于2022年6月解法1 对增广矩阵 作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵 可见（1）当 且 时， . 此时方程组有唯一解 （2）当 时， ， ， ；此时方程 （3）当 时， ，此时方程组有无穷多解. 组无解.第二十八张，PPT共三十二页，创作于2022年6月通解为【 由于此时 ，同解方程组为 ;解法2 因系数矩阵为方阵，故可用行列式法讨论 系数矩阵 行列式为. 第二十九张，PPT共三十二页，创作于2022年6月