多元函数微分学习题

1、v1.0 可编辑可修改 第七章 多元函数微分学内容提要】空间解析几何基础知识三条相互垂直的坐标轴 Ox、 Oy、Oz组成了一个空间直角坐标系。 空间直角坐标系下两点间的距离公式为 ： 平面方程： Ax By Cz D 0222二次曲面方程： Ax2 By2 Cz2 Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K 0球面方程： x x20y22y0z z0R2圆柱面方程： x22 yR2x2椭球面方程： 2a22 y22 b22 cz2 c1，a,b,c 0椭圆抛物面方程：2 ax2 a2by2 z,(a,b 0)双曲抛物面方程：2x2 a2 y b2z,(a,b 0)单叶双曲面图方程22 ： x

2、 y22 ab2z2 1( a，b，c2c0)双叶双曲面方程：2 ax2 a2 y2 b22z2 1,(a,b,c c0)222椭圆锥面方程： x2 y2 z2 0,(a,b,c 0) abc多元函数与极限多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围 D 的每一对值 (x, y) ，在变域 M 中存 在 z 值，按一定对应法则 f 进行对应，有唯一确定的值，则称 f 为集合 D 上的二元函数， 记为x, y称为自变量， D称为定义域， z称为因变量。 (x,y)的对应值记为 f (x,y)，称为函数值，函数值的集合称为值域。多元函数的极限：设函数 f (x, y)在开区间(或闭区间) D内有定义

3、， P0(x0,y0) 是D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 的一切点 P(x,y) D ，都有 成立，则称常数 A为函数 f (x,y)当 x x0, y y0时的极限，记作多元函数的连续性： 设函数 z f (x, y)在区域 D内有定义， 点 P0(x0,y0)是 D的内点或 边界点且 P0 D 。如果则称函数 z f (x, y)在点 P0(x0,y0) 处连续。多元函数的偏导数与全微分偏导数：设函数 z f(x,y)在点 ( x0 , y0 )的某一邻域内有定义， 当 y固定在 y0而x在 x0 处有增量 x时，相应地函数有增量如果极限存在

4、，则称此极限为函数 z f(x,y)在点 (x0,y0)处对 x的偏导数 ， 记作zx x0 ，x y y0 x x0 x y y0zx x x0 y y0或 fx(x0,y0)同理，如果极限 lim f (x0,y0+Dy)- f(x0,y0) Dy? 0 Dy存在，则称此极限为函数 z f(x,y)在点 (x0,y0)处对 y的偏导数 ， 记作x x0y y0 x x0y y0zy x=x0 ， 或 fy(x0,y0) y=y0二元函数 z f (x, y)在点(x0, y0 )的偏导数的几何意义 fx(x0,y0)是过曲面 z f(x,y)上点 M0(x0,y0, f (x0,y0)的曲

5、线 在点 M 0处的切线 Tx对 x轴的斜率。5二阶偏导数z2z z2z( z)2zfxx(x,y)，( z)zfxy(x,y) ，x x x y x x y22( z)z f yx(x, y) ， ( z)2z fyy(x,y)。x y y x y y y如果函数2z2 zz f (x, y)的两个二阶混合偏导数 z 及 z 在区域 D内连续， 那么 y x x y在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。全微分如果函数 z f (x,y)在点 f ( x, y)的全增量可表示为其中 A、B不依赖于 x、 y 而仅与 x、 y有关，则称函数 z f (x,y)在点 f (x,y)可微分， 而称

6、A x B y为函数 z f(x,y)在点 ( x, y)的全微分，记作 dz，即如果函数 z f (x,y) 的偏导数 z 、 z 在点 (x,y) 连续，则函数在该点可微分 xy复合函数微分法复合函数的中间变量均为一元函数的情形如果函数 u(t)及 v (t)都在点 t可导，函数 z f(u,v)在对应点 (u,v)具有连续偏导数，则复合函数 z f( (t), (t)在点 t可导，且有复合函数的中间变量均为多元函数的情形如果函数 u (x y) v(x y)都在点 (x y)具有对 x及 y的偏导数 函数 z f (u v) 在对应点 (u v) 具有连续偏导数则复合函数 z=f j (

7、 x y) ， ( xy) 在点 (x y) 的两个偏导数存在且有全微分形式不变性无论 z是自变量 u、 v的函数或中间变量 u、 v的函数，它的全微分形式是一样的 ,这 个性质叫做全微分形式不变性。隐函数微分法在点 (x0,y0) 的某邻域内， 若函数 F ( x, y)有连续的偏导数 Fx 、Fy，且F(x0,y0) 0 ， 则在 Fy(x0, y0)0 时，方程 F(x,y) 0确定唯一的、有连续导数的函数 y f(x)，满足 y0 f(x0)及 F(x,f(x) 0。这个定理称为隐函数存在定理。隐函数存在定理给出了隐函数求导的方法，即 由 F(x, y) 0 ，两边全微分得 Fxdx

8、Fydy 0， 由 Fy 0，得到隐函数的导数为 dyFx 。dx Fy二元函数的极值设函数 z f (x,y)在点 (x0, y0) 的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于(x0, y0)的点 (x, y)，都有f (x, y) f(x0, y0)(或 f (x,y) f (x0, y0)则称函数在点 (x0,y0)有极大值 (或极小值 ) f (x0,y0)。极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。设函数 z f(x,y)在点 (x0, y0 )具有偏导数，且在点 ( x0 , y0)处有极值，则有fx(x0,y0) 0， fy(x0,y0) 0设函数 z f(x,y

9、)在点 (x0,y0) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，fx(x0,y0) 0， fy(x0,y0) 0， 令则在点 (x0, y0) 处是否取得极值的条件如下：AC- B20 时具有极值，且当 A0 时有极小值；AC- B20， 又 A0， 所以函数在 (1,5)处有极大值 f (1,5) 50 ，取得最大利润50 时的两种产品的价格分别为 15 和 17，销量分别为 1 和 5。【课外练习】一、单选题1点 M 2, 3,1 关于原点的对称点是( )。A( 2， 3， 1)B( 2， 3， 1)C( 2， 3， 1)D( 2， 3， 1)2球面方程 x2 y2z2 2x2z 0的球心

10、 M0 及半径R 分别为()A M 0(1,0,1) ， R2B M 0 ( 1,0,1)，R2C M0( 1,0, 1) ，R2D M 0(1,0,1)，R23在空间直角坐标系中，2x222y2 z 的图形是()。A球面B 圆柱面C 圆周 D旋转抛物面4在空间直角坐标系中，点 M1(1,0,2)和点 M 2(0,3, 2)之间的距离 d ( )。A 10 B 24 C 26 D 8 5平面方程 Ax By Cz D 0 中，若 A 0，则此平面()。A函数在点A平行于 YOZ平面 B 过原点 C 平行于 x 轴 D 过 x 轴 6函数 z f(x,y)在点 P0(x0,y0) 处间断，则()

11、。P0处一定无定义B 函数在点 P0 处一定极限不存在C函数在点P0处可能有定义，也可能有极限D函数在点P0处一定有定义，且有极限，但二者不等7设 zACf (x,y)，则 |(x0,y0) (xlim f (x0 x,y0 y) f (x0,y0) B x 0 xx, y0) f (x0, y0)D)。 lim f (x0 x0 x,y) f (x0 ,y0)lim f (x0 x0 x lim f (x0 x,y0)x 0 x8 二元函数z f(x,y)在点 ( x0, y0 )得满足关系()。A可微可导 连续可微可导 连续C可微可导，可微 连续D 可导连续，反之不行)。9若 fx(x0,

12、y0) fy(x0,y0) 0 ，则f(x,y)在点 ( x0 , y0)处有极值的(A 充要条件B 必要条件C 充分条件D 既不是充分条件，也不是必要条件10设函数 f (x, y)的驻点为 (x0, y0)，A fxx(x0,y0)，Bfxy(x0,y0)，Cfyy(x0,y0)，)。B2 AC ，则 (x0, y0) 为极大值点的充分条件是(A0,A 00,A 0 C0,A0,A 0、填空题1设有曲面方程x2y 2z，当 pq 0 时，则方程表示的曲面为 ( q)；当 pq 0时，方程表示的曲面为4x2 y 2函数 z 2 2 的定义域是 ln(1 x2 y2)3设f(x,y)22xy

13、2 ，则 f(1, y) x y x4设2xyxy2 ，而 x ucosv，zy usinv ，则u，zv5设(2xy)x 2y ，则 dz6设arctan(xy) ，则 dz7若函数z xy ，当 x 10，y 8 ， x0.2， y0.1时，函数的全增量全微分 dz三、判断题1.函数 z arccos(x 2 y2) 的定义域为1的那些点。2.x2 y 2 z2设 u ex y z ，而 z x2 sin y ，则2 2 22zex y z 2x 。3.若点 (x0,y0) 是z f(x,y) 的极值点 , 则一定有 fx(x,y)0.fy(x, y)0。4.函数f(x,y) 2 1 2

14、的定义域是整个平面。2x 2 2y25.函数f (x,y) 在P(x, y)点偏导存在，则在该点一定连续。6.对zf (x, y) ,若Zxy与Zyx都存在 ,则它们一定相等 ( )7.函数f(x,y)的偏导数 zx,zy在点 P(x,y)连续，则函数在该点的全微分存在。四、计算及证明题122已知函数 f ( x， y) ( x 1) 2y，求 f (1，2)。 求下列各函数的定义域。1) zxy ；2) zy13) z4)zy2ln(12x2)5)zln(y x) ln(1 x2x2y2)6)1z；7)uR2 x2z23证明下列极限不存在。1) lim x y ；(x,y) (0,0) x

15、y2) lim(0,0)(x,y)4x y 。2 4 3 。 (x y )4求下列函数的间断点。1)z1222 y22)5求下列函数的偏导数。(1)z = x3 y - y3x ；(2)z=ln xy；(3)2z= sin( xy) + cos (xy)(4)xln tan ；y(5)f - q z= ef-q；(6)xy/z。6求 z x y2在点 (0，1)当x、y时的全微分。7求 zln (xy)在点(2 ， 1)的全微分。 8求下列函数的全微分：(1)u ln 1 x2 y2 ；(2)x+yu = e cosxcosy ；(3)2 2 2 2 u a x y z ；(4)u xy si

16、n(1/ x2 y2) ；(5)y z x u x y z ；(6)u2xyz 。9求下列函数的二阶偏导数。(1)z xln (xy) ；(2)x z y 。10f (x，y)exsiny ，求f xx ( 0,) ，fxy (0,)， f yy (0, ) 。11x若 u z arctan ，证明2u2u222u20。yxyz12设 u arctan xy 、 ye 、 z(ax1) ，求 du 。 z dx13设z ln( x2 y) 、 y lnx ，求 dz。 dx14设1 2 zz 1 ， x3t s ， y4t2sins ，求 、 x y t15f、(1) zg 有一阶连续偏导数，

17、求下列函数的一阶偏导数。 y2, yx） ；xexy f (x 2(2)f(xy)xg(x y) 。y16设17设u ln（ x yz） 、 z exy ，求一阶偏导数。 w F （xy， yz） ， F有连续偏导数，证明wy。y18作一个三角形，使其三内角的正弦之积为最大。19求半径为 R 的圆内接最大面积的三角形。课外练习】参考答案、单项选择题1. A 2. A 3. B 4. C 5. C 6. C 7. C 8. C9. D 10. D1.3.5.6.、填空题椭圆抛物面；双曲抛物面 2. （ x,y）|4xy2 0,1 x2 y2 0,x2y2 02xy2x2x2 4. 3u2 sin

18、 v cos v(cosv y24y (2x y)ln(2 xy)(2 x y)sinv) ，2 y 1 dx2u3sinvcosv(sinv cosv)3 3 3u (sin v cos v)x 2y (4x 2y)ln(2 x y)(2 x y)x 2y 1dyydx xdy 7.1 (xy)2 7.8.2y2exy(ez(ez2)23 y2e 2xy z 9. 0.58 ，2)39. 0.58三、判断题1. 是 2. 错 3. 错4.5. 错6.7. 是四、计算及证明题1. f (1,2) (1 1)22 （ 1） 由 xy 0 ，得 xy0或0342)由3) 由4)由yx(5) 由11

19、0y12x2x2x2 y2 y20，02x2x2y2y(6) 定义域为：(7)由 xR22x(1)(2)2 x2 y当 (x,y) 沿 y2 y2z2z2r0，00趋于点(0,0) 时，2xy2 xlimxyx00 x ylim 1x0 x当(x,y)沿 x 0趋于点 (0,0) 时，所以 lim xx0y0当 (x,y) 沿 ymli所以 limx0y0lim x yx 00 x ylim y 1 y 0 yy 的极限不存在 .y0趋于点 (0,0) 时，极限mli12 m li不存在，44 xy(x243y)的极限不存在 . 。(1) 间断点为 (0,0) ；(2) 间断点是直线 y x

20、。x 3 3y1 2 x5(1)(2)(3)(4)(5)(6)6 zx7 zx8(1)(2)(3)(4)(5)(6)9(1)23x y3zy，yz1y1z1x1x2 ln xyxy2x lnxyy2 lnxy xy2y ln xyzxycos(xy)2 cos(xy) sin(xy)y ycos( xy)sin( 2xy )z12x122xz1 2 xx 2x 2xseccsc ，sec( 2 ) 2 cscxtan xyyyyyxytany y yyyzze ， ey xzyx z lnxyxzyln x1，2y1，2x2y12y21 x2 y2ycosx cos yysin x cosya2x22x2 y2z222yz1 ysin 2 x2y21xycos 2 2x2 y2x(x2y2)3)，y 1 z x yx y zxy y zzxln z xyyzzx(yxln z)2xyz ln 2yz，2 xyz ln 2 xz，2xyzln 2 xyln( xy) 1， zyxy(2)2z2x2zxyyxxy2z2y2x2 y2lnxxy2z2xyx ln2y，xxy1 lnyx 1(xln1)2z2yx(x 1)yx 210fx(x,y) ex sinf y (x,y)xe cosyfxx(x,y) ex sinyfxy(x,y)fyx(x,y)xe cosyf y