企业退休职工养老金问题

1、2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置

2、报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 保山学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 余绍船 2. 邢世春 3. 朱建兰 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 曾庆红 日期： 2011年9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：企业退休职工养老金问题摘 要：随着人口老龄化的到来，世界各国都在不断努力寻求解决老龄化社会问题的途径，

3、已形成了各具特色的养老保险制度。但是我国养老金制度还存在层次单一，覆盖面狭窄和管理不协调的问题，因此就养老金计划问题进行讨论。首先，对未来中国经济发展和工资增长的形势做出了简化、合理的假设，并预测出了2011至2035年山东省职工的平均工资如图2；其次，根据附件2不同年龄阶段职工工资计算了职工缴费指数的参考值如表3和养老金替代率如表7；然后，计算了养老保险金的缺口情况和缴存的养老保险基金与领取的养老金之间达到收支平衡的年龄，该企业职工自2000年起从30岁开始缴纳养老保险，直到退休（55、60、65岁）时，之后，领取养老保险金至死亡达到的收支平衡点分别是81岁、85岁、68岁。最后，给出了一些

4、措施使之既达到目标替代率又维持了养老保险基金收支平衡。 关键词：养老金；缴费指数；数据拟合；替代率；收支平衡；一 问题重述养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所做贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。在我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按20%缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按8%缴纳到个人账户。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储额以银行存款年利率3%计息。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄

5、化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。未来基本养老保险的目标替代率为58.5%。替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。缺口是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。需要解决的问题有：问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年

6、起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。二 假设说明1. 模型假设（1）经济发展的速率符合数据三次拟合的增长速率；（2）个人账户存储额的年利率为3%；（3）把2009

7、年该企业各年龄段职工与该企业平均工资之比看作职工缴费指数参考值；（4）每位职工到一定年龄段均履行养老金制度；（5）在相同的年龄段内职工工资取平均数；（5）山东省某企业的经济增长速率与整个山东省的平均经济增长速率相同；（6）个人账户存储额的年利息只是在职工存储期间存在；2. 符号说明（1） n:企业和职工缴纳基本养老保险的月合计数；（2） m:企业和职工缴纳基本养老保险的年限；（3） cm:参保人员退休前m年全省社会平均工资；（4） xm: 参保人员退休前m年缴费工资额；（5） ri: 2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比,i=1,8；（6）：称为退休前第i年的缴费指数，i=1,

8、m；（6） pij：第i个年龄段的职工在第j年的平均工资,i=1,8,j=2009,2035；（7） bk：2009年山东省某企业的第k种工资，k=1， ,8;（8） aik：2009年山东省某企业的职工第i个年龄段工资为第k种的人数，i，k=1， ，8；（9） yi:分别表示2000年起从30岁开始缴养老保险，直到55、60、65岁退休，至75岁死亡；三 问题分析用数据拟合预测2011年至2035年的山东省职工的年平均工资；并计算养老金替代率和收支平衡的时间。养老金=基础养老金+个人账户养老金个人账户养老金=个人账户存储额计发月数（数据见表一）基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人

9、指数化月平均缴费工资）对缴费年限1%本人指数化月平均缴费工资=全省上年度在岗职工月平均工资本人平均缴费指数替代率=缴费指数=我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。收支平衡是指该企业职工所缴纳的养老金等于该职工退休后所领取的养老保险金。 四 模型的建立与求解问题一：就金融

10、危机以来，我国宏观经济呈现企稳回升的良好形势，主要表现在内需回升明显，工业生产加快，物价下降变为目前的飞快上涨，经济景气稳步回升。人民币国际化步伐加快，人民币难成自由兑换货币，稳健升值是大势所趋。未来10年，将是人民币加快走向国际化的10年。2020年，人民币在国际贸易结算中的比重将超过10%，在国际储备和外汇交易中的比重甚至将高达15%。到2020年，在美元没有出现崩溃性贬值的情况下，人民币兑美元的汇率将在4.2：1左右，年均升值约4.5%。今后10年，人民币国际化进程将更多地受到我国经济和外贸持续较快增长的推动。到世纪中叶，人均国民生产总值达到中等发达国家水平，人民生活比较富裕，基本实现现

11、代化。然后，在这个基础上继续前进，温家宝说今后五年我国经济增长预期目标是年均增7%，参照这样的增长速率发展。根据附件1及其预测可只我国的工资将沿抛物线的形式增长。在matlab中输入： x0=1978:1:2010;y0=566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074;plot (x0,y0,*);图1：山东省

12、职工历年平均工资统计散点图在matlab 中输入： clear x0=1978:2010; y0=566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074; p3=polyfit(x0,y0,3); x=2011:2035; y=polyval(p3,x); plot(x0,y0,*,x,y,*r)图2 ：预测2011年

13、至2035年山东省的年平均工资根据我国基本国情以及历年以来经济发展状况，采用数据的三次拟合得方法可以预测2011年至2035年山东省职工的年平均工资如表1：（单位：元）表1：2011年至2035年山东省职工的年平均工资年 份山东省年平均工资201135785201239775201344072201448686201553629201658914201764551201870553201976930202083695202190858202298433202310643020241148602025123736202613307020271428722028153154202916392820

14、3017520620311869992032199318203321217620342255842035239554问题二：2009年该企业各年龄段职工工资见附件2，在各年龄段中取各月收入范围的平均数算出该年龄段的平均工资作为职工个人工资，再用所有年龄段的职工个人工资总和除以总人数得到山东省某企业的平均工资可得表一；在2009年山东省某企业的职工处于第i个年龄段工资的平均工资：（k=18）在2009年山东省某企业的平均工资:根据附件二：2009年山东省某企业各个年龄段工资分布表，职工各个年龄段的工资分别采用各个月收入范围的平均数；结合上述所给出的公式，可以得到009年山东省某企业各个年龄段的平

15、均工资如表2：表2：2009年山东省某企业各个年龄段的平均工资表(单位：元)12501750225027503250375045006500平均工资20-2474165261610001726.9525-293682944263002077.0030-340328395246202535.1235-3901174833616422752.2140-4400438655211333026.0245-4903323264411843268.0450-540723294421833118.5255-59061727377702980.20结合表2、附件二以及上述公式可以得出该企业平均工资，进而可以得

16、到表3：表3：该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比（单位：元）年龄段及职工数各年龄段职工平均工资该企业平均工资各年龄段职工平均工资与该企业平均工资的比值20-24岁（共：282）1726.952213.210.7825-29岁（共：263）2077.002213.210.9430-34岁（共：242）2535.122213.211.1535-39岁（共：226）2752.212213.211.2440-44岁（共：221）3026.022213.211.3745-49岁（共：194）3268.042213.211.4850-54岁（共：135）3118.522213.211.4155-5

17、9岁（共：101）2980.202213.211.35利用2009年该企业的平均工资与2009年山东省的平均工资的比例计算出历年该企业的年平均工资和月平均工资如表4：表4：年份山东省历年年平均工资山东省历年月平均工资该企业历年年平均工资该企业历年月平均工资20008772731 7847 654 200110007834 8951 746 200211374948 10174 848 2003125671047 11241 937 2004143321194 12820 1068 2005166141385 14861 1238 2006192281602 17199 1433 2007228

18、441904 20434 1703 2008264042200 23618 1968 2009296882474 26556 2213 2010320742673 28690 2391 2011357852982 32010 2667 2012397753315 35579 2965 2013440723673 39422 3285 2014486864057 43550 3629 2015536294469 47971 3998 2016589144910 52699 4392 2017645515379 57741 4812 2018705535879 63110 5259 2019769

19、306411 68814 5734 2020836956975 74865 6239 2021908587572 81272 6773 2022984338203 88048 7337 20231064308869 95202 7933 20241148609572 102742 8562 202512373610311 110682 9223 202613307011089 119031 9919 202714287211906 127799 10650 202815315412763 136996 11416 202916392813661 146634 12219 20301752061

20、4601 156722 13060 203118699915583 167271 13939 203219931816610 178290 14857 203321217617681 189791 15816 203422558418799 201785 16815 203523955419963 214281 17857 表5:该企业职工自2000年起从30岁分别一直缴费到55、60、65岁（单位:元）个人账户存储额本息总和（55岁退休）个人账户存储额本息总和（60岁退休）个人账户存储额本息总和（65岁退休）51811 1752 2031 1674 1941 2250 1847 2142 2

21、483 1982 2297 2663 1741 2019 2340 2663 3087 3578 2992 3468 4021 3451 4001 4638 3873 4489 5204 4227 4901 5681 4899 5679 6584 5307 6152 7132 5726 6639 7696 6160 7141 8279 6607 7659 8879 7066 8191 9496 7536 8736 10128 8017 9293 10774 8507 9862 11775 9006 10440 12466 10276 11913 14224 10830 12932 14992

22、11392 13602 15769 11958 14279 16553 12530 14961 17344 15192 17612 14102 17099 16534 15872 17208 19949 17882 20730 21511 22291 23067 23840 24608 表6：该企业职工自2000年起从:40岁分别一直缴费到55、60、65岁（单位：元）个人账户存储额本息总和（55岁退休）个人账户存储额本息总和（60岁退休）个人账户存储额本息总和（65岁退休）1125 1304 1511 1246 1444 1674 1375 1593 1847 1475 1709 1924

23、1296 1502 1741 1981 2297 2663 2226 2581 2992 2568 2977 3451 2882 3340 3873 3146 3647 4227 3645 4226 4899 3949 4577 5307 4261 4940 5726 4584 5314 5981 4916 5533 6415 6278 6860 6696 7317 7123 8017 7338 12129 7768 12466 ；13810 14555 14863 15148 15410 由附件三可知:养老金=基础养老金+个人账户养老金个人账户养老金=个人账户储存额计发月数（数据见表一）基础

24、养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）2缴费年限1%本人指数化月平均缴费工资=全省上年度在岗职工月平均工资本人平均缴费指数 结合表5、表6 以及2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资的比值可以得表7:表7：该企业职工自2000年起分别从30、40岁开始缴养老保险的养老金、替代率：表7：年龄段 基础养老金个人账户养老金养老金替代率3055岁3348118945370.03953060岁5736186075960.0463373065岁920984095961930.4264254055岁883723990760.1864044060岁184825911907

25、30.2479274065岁344931731362240.315375问题三：缺口情况是指该企业某职工所缴纳的养老保险金与该职工所领取的养老保险金的差值。表8：该企业某职工自2000年起30开始缴纳养老保险，一直缴费到退休（55|、60、65岁），领取养老金金至75岁死亡时出现缺口的情况：表8:年龄各年龄段所领取的养老保险金之和 基础养老金各年龄段所领取的基础保险金之和缺口情况3055岁117077334811342536523060岁1914255736113940774853065岁29725792098961930-664673为了达到收支平衡即使缴存的养老保险金与其领取的养老保险金想

26、到，由此可得:117077=4537y1191425=7596y2297257=96193y3可求得:y1 y2 y3 分别为81、85、68岁；问题四：1.提高退休年龄；2.在美国公民是在401K账户存一定数量的钱，同样公司也会匹配一部分资金进去，所以人们通常会存入相对公司支付的最大额进去，而这部分资金是享有税收递延的即退休时，就需要开始缴税，因为很可能退休后的收入会大大减少，相应缴的税也减少。2001年推出的企业年金其实就是学习401K的一个尝试。最早保险公司都很兴奋，觉得这么大的一块蛋糕可以做，但发展了十年了效果怎么样呢，份额非常有限。原因是中国和美国、加拿大等等实际情况不同，比如说养老

27、金的替代率，美国等国家可能是在20%左右，就是说退休之后的工资只有正常的20%左右，这就需要一个补充的养老保险。而中国有些企业五险一金缴纳的替代率已经是40%了，已经够用了，没有动力和需求去做这个补充的养老。而在企业这个层面，一无能力二无意愿，做企业年金的都是大型企业，而这些企业的各种保障往往已经足够多。中国版401K要看是放在哪个层面了，如果是在基本养老保障上，就是一个制度建设的问题，谁来做和怎样做？比如说管理机构，是政府和商业化运作的机构来做，同时社保账户上的资金还要做实，前几年辽宁曾经试点但后来也没什么声息了，而后续运作的模式又是怎样，都要进一步的探讨，不是一个简单的问题；而如果是补充养

28、老，就是企业年金，事业单位的叫职业年金，这些年运行得比较顺畅，是一个点扩面的过程。具体的计划是这样：美国政府允许美国纳税个人从“税前收入中”拿出一部分，比如15%，投入401K账户；同时，企业也要为其员工配套一部分钱，投入每位员工的401K账户。这笔钱，属于员工个人，到退休之后在可以动用。五 模型验证1. 根据我国的的经济发展情况可知图2的工资预测是可能的；2. 我们根据题意，把所求的结果带入可知符合2000年至2011年的经济增长及其职工的工资增长；六 模型的推广该模型可以推广到：1. 基金的投资问题；2. 医疗保险制度；七 参考文献1 张珠宝.数学建模与数学实验M.北京：高等教育出版社，2

29、005.2 党林立等.数学建模简明教程M. 西安:西安电子科技大学出版社，2009.3 姜启源. 数学模型M.北京：高等教育出版社，2003.4 姜启源.数学建模M.北京：机械工业出版社，2004.5 张忠诚等.数学模型与实验M：武汉：科学出版社,2008.6 使用数学建模与软件应用M:西安：西北工业大学出版社，2008.附件1：山东省职工历年平均工资统计表年份平均工资1978566 1979632 1980745 1981755 1982769 1983789 1984985 19851110 19861313 19871428 19881782 19891920 19902150 1991

30、2292 19922601 19933149 19944338 19955145 19965809 19976241 19986854 19997656 20008772 200110007 200211374 200312567 200414332 200516614 200619228 200722844 200826404 200929688 201032074 注：1.2010年前的数据来源于山东省统计年鉴2010附件2：2009年山东省某企业各年龄段工资分布表年龄段月收入范围（元）1000-14991500-19992000-24992500-29993000-34993500-39994000-49995000-800020-24岁职工数741652616100025-29岁职工数36829442630030-34岁职工数03283952462035-39岁职工数0117