高中数学选择性必修二(人教A版2019) 同步讲义与练习

1、高中数学选择性必修二（人教 A 版 2019)同步讲义与练习4.1.1 数列的概念及通项公式14.1.2 数列的递推公式 74.2.1.1 等差数列的概念及通项公式 114.2.1.2 等差数列的性质164.2.2.1 等差数列前n 项和公式的推导及简单应用214.2.2.2 等差数列前n 项和的性质及应用244.3.1.1 等比数列的概念及通项公式 294.3.1.2 等比数列的应用及性质344.3.2.1 等比数列前n 项和公式384.3.2.2 等比数列前n 项和公式的应用434.4 数学归纳法50第四章微专题数列求和55第四章章末复习57第四章章末练习1 60第四章章末练习2 62第四

2、章章末检测试卷645.1.1 变化率问题和导数的概念695.1.2 导数的几何意义 745.2.1 基本初等函数的导数 795.2.2 导数的四则运算法则 835.2.3 简单复合函数的导数 875.3.1 函数的单调性 915.3.2.1 函数的极值975.3.2.2 函数的最大( 小) 值102第五章微专题导数应用的经典题型突破107第五章章末复习108第五章章末练习1 110第五章章末练习2 112第五章章末复习115选择性必修二综合检测试卷一117选择性必修二综合检测试卷二121第2页 共2页4.1.1 数列的概念及通项公式知识点一数列及其有关概念1一般地，我们把按照确定的顺序排列的一

3、列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1 项，常用符号a1 表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2 项，用a2 表示，第n 个位置上的数叫做这个数列的第n 项，用an 表示其中第1 项也叫做首项2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an1. 思考数列1,2,3 与数列3,2,1 是同一个数列吗？知识点二数列的分类分类标准 名称 含义 有穷数列 项数有限的数列按项的个数无穷数列 项数无限的数列知识点三函数与数列的关系数列an 是从正整数集N *( 或它的有限子集1,2，n) 到实数集R 的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数

4、列的第n 项an，记为an = f(n)知识点四数列的单调性递增数列 从第2 项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列 从第2 项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列 各项都相等的数列知识点五通项公式1如果数列an 的第n 项an 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式2通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数第1页 共 124 页2. 1,1,1,1 是一个数列 ( )3. 数列1,3,5,7 可表示为1,3,5,7 ( )4. 如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 (

5、 )5. an 与an 表达不同的含义 ( )一、数列的有关概念和分类【例1】. 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？(1)1,0.84,0.842,0.843，；(2)2,4,6,8,10，；(3)7,7,7,7，；(4) 13，19，127，181，；(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；(6)0，-1,2，-3,4，-5， .【跟踪训练1.1】. 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021；(2)0，12(3)1，12，23，14，n -

6、 1，；n， 1，；2n-11， 1 ，- 1 ， 1(4) -1 2 2 3 3 4 4 5(5)1,0，-1，sin n，；2(6)9,9,9,9,9,9.，；二、由数列的前几项写出数列的一个通项公式【例2】. 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4 项分别是下列各数：(1) - 1，1 ，- 1 ，12 3 41，2，9(2) ，8；2 2(3)0,1,0,1；(4)9,99,999,9 999.第2页 共 124 页【跟踪训练2.1】. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4 项分别是下列各数：1 ，1 ，5，13(1) -；2 4 8 1622 - 1 ，3 ，42 - 1 2 -

7、1(2) 2 3 4(3)7,77,777,7 777.，52 - 1 5；三、数列通项公式的简单应用【例3】. 已知数列an 的通项公式是an = 2n2 - n，n N *.(1) 写出数列的前3 项；(2) 判断45 是否为数列an 中的项，3 是否为数列an 中的项【跟踪训练3.1】. 已知数列an 的通项公式为an = qn，n N *，且a4 - a2 = 72.(1) 求实数q 的值；(2) 判断-81 是否为此数列中的项延伸探究已知数列an 的通项公式为an = n2 - 5n + 4，n N *. 问当n 为何值时，an 取得最小值？并求出最小值四、数列单调性的应用【例4】.

8、 已知数列an 的通项公式是an = (n + 1) 10n，n N *. 试问该数列有没有最大项？若 11有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由1. 下列说法正确的是 ( )A. 数列1,3,5,7，2n - 1 可以表示1,3,5,7，B. 数列1,0，-1，-2 与数列-2，-1,0,1 是相同的数列C. 数列 n + 1 的第k 项为1 + 1n kD. 数列0,2,4,6,8， 可记为2n2. 已知数列an 的通项公式为an =1 + -1 n+12，n N *，则该数列的前4 项依次为 ( )A. 1,0,1,0 B. 0,1,0,1 C. 12，0，12，0 D. 2,

9、0,2,03. ( 多选) 下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是 ( )A. 1，1 ，1 ，1 ，1 ， B. sin ，sin 2 ，sin 3 ，sin n 2 3 4 n 7 7 7 7C. - 1，- 1 ，- 1 ，- 1 ，- 1， D. 1， 2， 3， n，2 4 82n-1，第3页 共 124 页4. 已知数列 3， 7， 11， 15，则该数列的一个通项公式是 ，5 3 是该数列的第 项5. 数列3,5,9,17,33， 的一个通项公式是1. ( 多选) 下列说法正确的是 ( )A. 数列可以用图象来表示 B. 数列的通项公式不唯一C. 数列中的项不能相等 D.

10、数列可以用一群孤立的点表示2. 数列-1,3，-7,15， 的一个通项公式可以是 ( )A. an = (-1)n(2n - 1)，n N * B. an = (-1)n(2n - 1)，n N *C. an = (-1)n+1(2n - 1)，n N * D. an = (-1)n+1(2n - 1)，n N *3. 数列 23，45，67，89， 的第10 项是 ( )A.1617B.1819C.20 21D.22234. 设an = 1n+1n + 1+1n + 2+1n + 3+ + 1n2(n N *)，则a2 等于 ( )A. 14B. 12+ 13C. 12+ 13+ 14D.

11、12+ 13+ 14+ 155. 数列0.3,0.33,0.333,0.333 3， 的通项公式为 ( )A. an = 19(10n - 1)，n N * B. an = 29(10n - 1)，n N *C. an = 131* D. an = 31 - ，n N (10n - 1)，n N *10n106. 323 是数列n(n + 2) 的第 项a27. 若数列an 的通项公式是an = 3 - 2n，n N * 则a2n = ；a3= .8. 已知数列an 的通项公式为an = 2 020 - 3n，则使an 0 成立的正整数n 的最大值为第4页 共 124 页9. 写出下列各数列的

12、一个通项公式：(1)4,6,8,10，；1 ，3 ，7 ，15 ，31 (2)，；2 4 8 16 32(3) - 1，8 ，- 15 ，24， .5 7 910. 在数列an 中 ，a1 = 2，a17 = 66，通项公式是关于n 的一次函数(1) 求数列an 的通项公式；(2) 求a2 020；(3)2 020 是否为数列an 中的项？11. ( 多选) 数列 2，0， 2，0， 的通项公式可以是 ( )A. an =221 - (-1)n (n N *) B. an = 1 + -1 n(n N *)C. an = 2，n 为奇数0，n 为偶数*) D. an = 22(1 - cos

13、n) (n N *)12. 已知an = n2 - 21n2，则数列an 中相等的连续两项是 ( )A. 第9 项，第10 项 B. 第10 项，第11 项 C. 第11 项，第12 项 D. 第12 项，第13 项13. 设函数f(x) = 3 - a x - 3，x 7， 数列an 满足an = f(n)，n N *，且数列an 是递增ax-6，x 7，数列，则实数a 的取值范围是 ( )A.9 B.，349 C. (1,3) D. (2,3)，3414. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4) 为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂

14、亮现按同样的规律刺绣( 小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f(n) 个小正方形，则f(6) = .第5页 共 124 页15. 如图1 是第七届国际数学教育大会( 简称ICME - 7) 的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1 = A1A2 = A2A3 = A7A8 = 1，如果把图2 中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，OAn， 的长度构成数列an，则此数列的通项公式为 ( )A. an = n，n N * B. an = n + 1，n N *C. an = n，n N * D. an = n2，n N *16. 在数列an 中 ，

15、an = n2n2 + 1.(1) 求证：此数列的各项都在区间(0,1) 内；(2) 区间 1 ，2 内有没有数列中的项？若有，有几项？3 3第6页 共 124 页4.1.2 数列的递推公式知识点一数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式1. 思考仅由数列an 的关系式an = an-1 + 2(n 2，n N *) 就能确定这个数列吗？知识点二数列的前n 项和Sn 与an 的关系1把数列an 从第1 项起到第n 项止的各项之和，称为数列an 的前n 项和，记作Sn，即Sn = a1 + a2 + +a n.2an =S1，n

16、 = 1，Sn - Sn-1，n 2.2. 在数列an 中，若an+1 = 2an，n N *，则a2 = 2a1. ( )3. 利用an+1 = 2an，n N * 可以确定数列an ( )4. 递推公式是表示数列的一种方法 ( )5. S2n 表示数列an 中所有偶数项的和. ( )一、由递推公式求数列的指定项【例5】. 设数列an 满足an =1，n = 1，1 + 1，n 2，n N *.an-1写出这个数列的前5 项【跟踪训练5.1】.已知数列an 的首项a1 = 1，且满足an+1 = 12an +12n，则此数列的第3 项是 ( )A. 1 B. 12C.34D.58【跟踪训练5

17、.2】. 已知数列an 满足an+1 = 1 - 1an，且a1 = 2，则a2 020 的值为 ( )A. 12B. - 1 C. 2 D. 1第7页 共 124 页二、由递推公式求通项公式【例6】. 在数列an 中，a1 = 1，an+1 = an + 1n-1n + 1，则an 等于 ( )A.1nB.2n - 1nC.n - 1nD.12n【跟踪训练6.1】. 已知数列an 满足a1 = 1，an = an-1 + n + 1 - n(n 2)，求an.【跟踪训练6.2】. (2) 已知数列an 满足a1 = 1，ln an - ln an-1 = 1(n 2)，求an.三、利用Sn

18、与an 的关系求通项公式【例7】. 设Sn 为数列an 的前n 项和，Sn = 2n2 - 30n. 求a1 及an.【跟踪训练7.1】. 已知Sn 是数列an 的前n 项和，根据条件求an.(1)Sn = 2n2 + 3n + 2；(2)Sn = 3n - 1.1. 已知在数列an 中 ，a1 = 2，an+1 = an + n(n N *)，则a4 的值为 ( )A. 5 B. 6 C. 7 D. 82. 已知数列an 的前n 项和Sn = n2 - 2n，则a2 + a18 等于 ( )A. 36 B. 35 C. 34 D. 333. 已知数列an 中，a1 = 1，a2 = 2，且a

19、nan+2 = an+1(n N *)，则a2 020 的值为 ( )A. 2 B. 1 C. 12D. 144. 设Sn 为数列an 的前n 项和，Sn = n2 + n，则an =5. 数列1,3,6,10,15， 的递推公式可以是a n = an-1 + (n N *，n 2)由a10 = 55，则a12 =第8页 共 124 页1. 已知数列an 满足an = 4an-1 + 3(n 2，n N *)，且a1 = 0，则此数列的第5 项是 ( )A. 15 B. 255 C. 16 D. 632. 数列 12，- 14，18，- 116， 的第n 项a n 与第n + 1 项an+1

20、的关系是 ( )n 与第n + 1 项an+1 的关系是 ( )A. an+1 = 2an B. an+1 = -2an C. an+1 = 12an D. an+1 = - 12an3. ( 多选) 数列2,4,6,8,10， 的递推公式是 ( )A. an = an-1 + 2(n 2，n N *) B. an = 2an-1(n 2，n N *)C. a1 = 2，an = an-1 + 2(n 2，n N *) D. a1 = 2，an+1 = an + 2(n N *)4. 已知数列an 满足a1 = 2，an+1 - an + 1 = 0(n N *)，则此数列的通项公式an 等于

21、 ( )A. n2 + 1 B. n + 1 C. 1 - n D. 3 - n5. ( 多选) 已知数列an 的前n 项和满足Sn = 2n+1 - 1，下列说法正确的是 ( )A. a1 = 3 B. an = 2n(n 2) C. an = 2n D. an = 2n(n 2)6. 已知在数列an 中 ，a1 = 2，an = - 1an-1(n 2，n N *)，则a2 020 =7. 已知数列an 的前n 项和为Sn = -n2，n N *，则an =8. 已知在数列an 中 ，a1a2 a n = n2(n N *)，则a9 =9. 已知数列an 满足an+1 - an = n +

22、 2(n N *)，且a1 = 1.(1) 求a2，a3，a4 的值；(2) 令bn = 4an - 68n，求数列bn 的前4 项10. 已知数列an 满足a1 = -1，an+1 = an + 1n n + 1 ，n N *，求通项公式an.第9页 共 124 页11. 已知数列an 满足a1 = 0，an+1 =an - 33an + 1(n N *)，则a2 020 等于 ( )A. - 3 B. 0 C. 3 D. 312. 下图是某省从1 月21 日至2 月24 日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图若该省从1 月21 日至2 月24 日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成

23、数列an，an 的前n 项和为Sn，则下列说法中正确的是 ( )A. 数列an 是递增数列 B. 数列Sn 是递增数列C. 数列an 的最大项是a11 D. 数列Sn 的最大项是S1113. 已知数列an 满足a1 0，且an+1 = nn + 1an，则数列an 的最大项是 ( )A. a1 B. a9 C. a10 D. 不存在14. 设an 是首项为1 的正项数列，且(n + 1)a2n+1 - na2n + an+1an = 0(n N *)，则它的通项公式an =15. 在一个数列中，如果对任意n N *，都有anan+1an+2 = k(k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k

24、叫做这个数列的公积已知数列an 是等积数列，且a1 = 1，a2 = 2，公积为8，则a1 + a2 + a3 + +a 12 =16. 已知数列an 满足：a1 = m(m 为正整数)，an+1 =an，an 为偶数，23an + 1，an 为奇数.若a4 = 4，求m 所有可能的取值第10页 共 124 页4.2.1.1 等差数列的概念及通项公式知识点一等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，公差可正可负可为零1. 思考你能根据等差数列的概念写出它的数学表达式吗？

25、知识点二等差中项的概念由三个数a，A，b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列这时，A 叫做a 与b 的等差中项且2A = a + b.2. 思考下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2,4； (2) - 1,5； (3)0,0；(4)a，b.知识点三等差数列的通项公式首项为a1，公差为d 的等差数列an 的通项公式an = a1 + (n - 1)d.3. 思考由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？知识点四从函数角度认识等差数列an若数列an 是等差数列，首项为a1，公差为d，则an = f(n) = a1 + (n - 1)d = n

26、d + (a1 - d)(1) 点(n，an) 落在直线y = dx + (a1 - d) 上，这条直线的斜率为d，在y 轴上的截距为a1 - d；(2) 这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.第11页 共 124 页4. 数列4,4,4， 是等差数列 ( )5. 数列an 的通项公式为an =1，n = 1， 则an 是等差数列 ( )n + 1，n 2，6. 若一个数列从第2 项起每一项与它前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列 ( )7. 若三个数a，b，c 满足a + c = 2b，则a，b，c 一定是等差数列 ( )一、等差数列的通项公式及其应用【例8】. 在等差数列an 中，(1

27、) 已知a5 = -1，a8 = 2，求a1 与d；(2) 已知a1 + a6 = 12，a4 = 7，求an.【跟踪训练8.1】. 在等差数列an 中，求解下列各题：(1) 已知公差d = - 13，a7 = 8，则a1 = .(2) 已知a3 = 0，a7 - 2a4 = -1，则公差d = .(3) 已知an 的前3 项依次为2,6,10，则a15 = .二、等差数列的判定与证明【例9】. 已知数列an 满足a1 = 2，an+1 =(1) 数列 1an2anan + 2.(2) 求an.延伸探究将本例中的条件“a1 = 2，an+1 =2an”换 为“a1 = 4，an = 4 - 4

28、an + 2 an-1(n 1)，记bn = 1”an - 2(1) 试证明数列bn 为等差数列；(2) 求数列an 的通项公式第12页 共 124 页【跟踪训练9.1】. 已知数列an 满足(an+1 - 1) (an - 1) = 3(an - an+1)，a1 = 2，令bn = 1an - 1(1) 证明：数列bn 是等差数列；(2) 求数列an 的通项公式.三、等差中项及应用【例10】. 在-1 与7 之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列【跟踪训练10.1】. 已知 1a，1b，1c成等差数列求证 ：b + ca，a + cb，a + bc也成等差数列【跟踪训

29、练10.2】. 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项【跟踪训练10.3】.已知a，b，c 成等差数列，证明：a2(b + c)，b2(c + a)，c2(a + b) 也成等差数列四、等差数列的实际应用【例11】. 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200 万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20 万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？1. 已知等差数列an 的通项公式an = 3 - 2n(n N *)，则它的公差d 为 ( )A. 2 B. 3 C. - 2

30、D. - 32. 若5，x，y，z，21 成等差数列，则x + y + z 的值为 ( )A. 26 B. 29 C. 39 D. 523. 在等差数列an 中，若a1 = 84，a2 = 80，则使an 0，且an+1 a4a5 B. a3a6 a4 + a5 D. a3a6 = a4a514. 已知数列an 满足a1 = 1，若 点an an+1 在直线x - y + 1 = 0 上，则an = .，n n + 115. 已知数列an 满足a2n+1 = a2n + 4，且a1 = 1，an 0，则an = .16. 若数列bn 对于n N *，都有bn+2 - bn = d(d 为常数)

31、，则称数列bn 是公差为d 的准等差数列例如cn =4n - 1，n 为奇数， 则数列cn 是公差为8 的准等差数列设数列an 满足：a14n + 9，n 为偶数，= a，对于n N *，都有an + an+1 = 2n.(1) 求证：数列an 为准等差数列；(2) 求数列an 的通项公式第15页 共 124 页4.2.1.2 等差数列的性质知识点一等差数列通项公式的变形及推广设等差数列an 的首项为a1，公差为d，则an = dn + (a1 - d) (n N *)，an = am + (n - m)d(m，n N *)，d =an - am n - m(m，n N *，且m n)其中，的

32、几何意义是点(n，an) 均在直线y = dx + (a1 - d) 上可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.可用来由等差数列任两项求公差知识点二等差数列的性质1若an，bn 分别是公差为d，d 的等差数列，则有数列 结论c + an 公差为d 的等差数列(c 为任一常数)can 公差为cd 的等差数列(c 为任一常数)an + an+k 公差为kd 的等差数列(k 为常数，k N *)pan + qbn 公差为pd + qd 的等差数列(p，q 为常数)2. 下标性质：在等差数列an 中，若m + n = p + q(m，n，p，q N *)，则am + an = ap +

33、aq.特别地，若m + n = 2p(m，n，p N *)，则有am + an = 2ap.3在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列4等差数列an 的公差为d，则d 0 an 为递增数列；d 0 B. d 0 D. a1d 0 B. a2 + a101 0 的最小正整数n 为 ( )A. 7 B. 8 C. 9 D. 106. 已知an 是等差数列，a4 + a6 = 6，其前5 项和S5 = 10，则其首项a1 = ，公差d =第22页 共 124 页7. 设Sn 为等差数列an 的前n 项和，若a1 = 1，公差d = 2，Sk+2 - Sk = 24，

34、则k =8. 在等差数列an 中 ，S10 = 4S5，则a1 d=9. 在等差数列an 中 ，a10 = 30，a20 = 50.(1) 求数列的通项公式；(2) 若Sn = 242，求n.10. 已知an 为等差数列，Sn 为数列an 的前n 项和，且S7 = 7，S15 = 75，求数列Sn nn.11. 在小于100 的自然数中，所有被7 除余2 的数之和为 ( )A. 765 B. 665 C. 763 D. 66312. 设Sn 是数列an 的前n 项和，且a1 = -1，an+1 = SnSn+1，则Sn =13. 已知两个等差数列an 与bn 的前n 项和分别是Sn 和Tn，且

35、an bn = (2n + 1) (3n - 2)，则 S9T9=14. 现有200 根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为15. 如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边( 包括两个端点) 有n(n 1，n N *) 个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2 + a3 + a4 + +a n 等于 ( )A.3n22B.n n + 1 2C.3n n - 1 2D.n n - 1 216. 已知等差数列an 的公差d 0，前n 项和为Sn，且a2a3 = 45，S4 = 28.(1) 求数列an 的通项公式；(2) 若bn =Snn + c(c

36、为非零常数)，且数列bn 也是等差数列，求c 的值第23页 共 124 页4.2.2.2 等差数列前n 项和的性质及应用知识点一等差数列前n 项和的性质1若数列an 是公差为d 的等差数列，则数列Sn nd2.2设等差数列an 的公差为d，Sn 为其前n 项和，则Sm，S2m - Sm，S3m - S2m， 仍构成等差数列，且公差为m2d.S偶3若等差数列an 的项数为2n，则S2n = n(an + an+1)，S偶- S奇= nd，S奇=an+1 an.S偶4若等差数列an 的项数为2n + 1，则S2n+1 = (2n + 1)an+1，S偶- S奇= -an+1，S奇=n.n + 11

37、. 思考在性质3 中 ，an 和an+1 分别是哪两项？在性质4 中 ，an+1 是哪一项？知识点二等差数列an 的前n 项和公式的函数特征1公式Sn = na1 +n n - 1 d2可化成关于n 的表达式：Sn = d2n2 + a1 - d n. 当d 0 时，S2n关于n 的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn) 在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y = d2横坐标为正整数的一系列孤立的点x2 + a1 - d x 上22等差数列前n 项和的最值(1) 在等差数列an 中，当a1 0，d 0 时 ，Sn 有最

38、大值，使Sn 取得最值的n 可由不等式组an 0，an+1 0当a1 0 时 ，Sn 有最小值，使Sn 取到最值的n 可由不等式组an 0，an+1 0(2)Sn =d2n2 + a1 - dn 有最小值；当d 0 时，S2时 ，Sn 有最大值当n 取最接近对称轴的正整数时，Sn 取到最值第24页 共 124 页一、等差数列前n 项和的性质S奇【例18】. 在等差数列an 中，S10 = 120，且在这10 项中，S偶= 1113，则公差d =【跟踪训练18.1】.等差数列an 的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列an 的前3m 项的和S3m.【跟踪训练18.2】. 已知数列an

39、是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是【跟踪训练18.3】. 已知一个等差数列的前10 项和为100，前100 项和为10，求前110 项之和二、等差数列前n 项和的最值问题【例19】. 在等差数列an 中，a1 = 25，S8 = S18，求前n 项和Sn 的最大值【跟踪训练19.1】. 在等差数列an 中 ，a10 = 18，前5 项的和S5 = -15.(1) 求数列an 的通项公式；(2) 求数列an 的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值三、求数列|an| 的前n 项和【例20】. 数列an 的前n 项和Sn = 1

40、00n - n2(n N *)(1) 判断an 是不是等差数列，若是，求其首项、公差；(2) 设bn = |an|，求数列bn 的前n 项和【跟踪训练20.1】. 在等差数列an 中 ，a10 = 23，a25 = -22.(1) 数列an 前多少项和最大？(2) 求|an| 的前n 项和Sn.第25页 共 124 页四、等差数列前n 项和公式的实际应用【例21】. 某单位用分期付款的方式为职工购买40 套住房，共需1 150 万元，购买当天先付150 万元，按约定以后每月的这一天都交付50 万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150 万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付

41、款的第10 个月应付多少钱？全部付清后，买这40 套住房实际花了多少钱？1. 已知数列an 满足an = 26 - 2n，则使其前n 项和Sn 取最大值的n 的值为 ( )A. 11 或12 B. 12 C. 13 D. 12 或132. 一个等差数列共有10 项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( )A. 0.5,0.5 B. 0.5,1 C. 0.5,2 D. 1,0.53. ( 多选) 设an 是等差数列，Sn 为其前n 项和，且S5 S8 ，则下列结论正确的是( )A. d S5 D. S6 与S7 均为Sn 的最大值4. 已知在等差数列an 中 ，|a

42、5| = |a9|，公差d 0，则使得其前n 项和Sn 取得最小值的正整数n的值是5. 已知等差数列的前12 项和为354，前12 项中偶数项和与奇数项和之比为32 27，则公差d =1. 在等差数列an 中 ，a1 = 1，其前n 项和为Sn，若S88-S66= 2，则S10 等于 ( )A. 10 B. 100 C. 110 D. 1202. 若等差数列an 的前m 项的和Sm 为20，前3m 项的和S3m 为90，则它的前2m 项的和S2m为 ( )A. 30 B. 70 C. 50 D. 60第26页 共 124 页3. 已知数列2n - 19，那么这个数列的前n 项和Sn ( )A.

43、 有最大值且是整数 B. 有最小值且是整数C. 有最大值且是分数 D. 无最大值和最小值4. ( 多选) 已知Sn 是等差数列an 的前n 项和，且S6 S7 S5，下列判断正确的是 ( )A. d 0C. S12 a5，则Sn 取得最小值时n 的值为9. 已知在等差数列an 中 ，a1 = 9，a4 + a7 = 0.(1) 求数列an 的通项公式；(2) 当n 为何值时，数列an 的前n 项和取得最大值？10. 在数列an 中 ，a1 = 8，a4 = 2，且满足an+2 - 2an+1 + an = 0(n N *)(1) 求数列an 的通项公式；(2) 设Tn = |a1|+|a2|+

44、 +|a n|，求Tn.11. 若数列an 的前n 项和是Sn = n2 - 4n + 2，则|a1|+|a2|+ +|a 10| 等于 ( )A. 15 B. 35 C. 66 D. 100S1512. 已知等差数列an 的前n 项和为Sn，a2 = 11，15的n 为 ( )-S77= -8，则Sn 取最大值时A. 6 B. 7 C. 8 D. 9第27页 共 124 页13. 已知Sn，Tn 分别是等差数列an，bn 的前n 项和，且 SnTn= 2n + 14n - 2(n N *)，则a10b3 + b18+a11b6 + b15=14. 已知等差数列an 的前n 项和为Sn，且S4

45、S8= 13，那么S8S16=15. 设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是 ，项数是16. 已知数列an 的前n 项和为Sn，an 0，a1 2,6Sn = (an + 1) (an + 2)(1) 求证：an 是等差数列；(2) 令bn = 3anan+1，数列bn 的前n 项和为Tn，求证 ：Tn 1) 或 = q，n N * .an1. 思考为什么等比数列的各项和公比q 均不能为0?知识点二等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G，使a，G，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G2 = ab.2. 思考当G2 = ab 时

46、，G 一定是a，b 的等比中项吗？知识点三等比数列的通项公式 1q若等比数列an 的首项为a1，公比为q，则an = a n-1(n N *)知识点四等比数列通项公式的推广和变形等比数列an 的公比为q，则n-m= aan = a n-1 = a1q mq1qqn. 其中当中m = 1 时，即化为.当中q 0 且q 1 时 ，y =a1 qq x 为指数型函数x 为指数型函数3. 数列1，-1,1，-1， 是等比数列 ( )4. 若一个数列从第2 项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列 ( )5. 等比数列的首项不能为零，但公比可以为零 ( )6. 常数列一定为等比数列 ( )第29

47、页 共 124 页一、等比数列中的基本运算【例22】. 在等比数列an 中：(1)a1 = 1，a4 = 8，求an；(2)an = 625，n = 4，q = 5，求a1；(3)a2 + a5 = 18，a3 + a6 = 9，an = 1，求n.【跟踪训练22.1】. 在等比数列an 中：(1) 若它的前三项分别为5，-15,45，求a5；(2) 若a4 = 2，a7 = 8，求an.二、等比中项的应用【例23】. 如果-1，a，b，c，-9 成等比数列，那么b = ，ac = .【跟踪训练23.1】. 在等比数列an 中 ，a1 = -16，a4 = 8，则a7 等于 ( )A. - 4

48、 B. 4 C. - 2 D. 2三、等比数列通项公式的推广及应用【例24】. 在等比数列an 中(1) 已知a3 = 4，a7 = 16，且q 0，求an；(2) 若an 为递增数列，且a5 = a10,2(an + an+2) = 5a 2 n+1，求通项公式an.【跟踪训练24.1】. 已知等比数列an 满足a1 = 3，a1 + a3 + a5 = 21，则a3 + a5 + a7 等于 ( )A. 21 B. 42 C. 63 D. 84四、灵活设元求解等比数列问题【例25】.有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13 成等差数列，则这四个数的和是【跟踪训练25.1】.

49、有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数【跟踪训练25.2】. 在2 和20 之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为 ( )A. - 4 或 352B. 4 或 352C. 4 D.35 2第30页 共 124 页1. 在等比数列an 中，若a2 = 4，a5 = -32，则公比q 应为 ( )A 12B2 C. 12D-22. ( 多选) 已知a 是1,2 的等差中项，b 是-1，-16 的等比中项，则ab 等于 ( )A. 6 B. - 6 C. - 12 D. 123. 若等比数列的首项

50、为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 ( )A. 4 B. 8 C. 6 D. 324. 等比数列an 中 ，|a1| = 1，a5 = -8a2，a5 a2，则an 等于 ( )A. (-2)n-1 B. - (-2n-1) C. (-2)n D. - (-2)n5. 在等比数列an 中 ，a1 = -2，a3 = -8，则数列an 的公比为 ，通项公式为an = .1. 在数列an 中，若an+1 = 3an，a1 = 2，则a4 为 ( )A. 108 B. 54 C. 36 D. 182. ( 多选) 在等比数列an 中 ，a 1 = 11 = 18，q = 2，则a 4

51、与a8 的等比中项为 ( )4 与a8 的等比中项为 ( )A. - 4 B. 4 C. - 14D. 143. 在等比数列an 中 ，an 0，且a1 + a2 = 1，a3 + a4 = 9，则a4 + a5 的值为 ( )A. 16 B. 27 C. 36 D. 814. 数列an 是公差不为0 的等差数列，且a1，a3，a7 为等比数列bn 的连续三项，则数列bn 的公比为 ( )A. 2 B. 4 C. 2 D. 12第31页 共 124 页5. 若正项数列an 满足a1 = 2，an+1 - 3an+1an - 4an = 0，则数列an 的通项公式a2 2n等于 ( )A. 22

52、n-1 B. 2n C. 22n+1 D. 22n-36. 若an 为等比数列，且a3 + a4 = 4，a2 = 2，则公比q =7. 已知an 是等差数列，公差d 不为零若a2，a3，a7 成等比数列，且2a1 + a2 = 1，且a1 = ，d = .8. 已知等比数列an 的前三项依次为a - 1，a + 1，a + 4，则an = .9. 在等比数列an 中 ，a3 = 32，a5 = 8.(1) 求数列an 的通项公式an；(2) 若a n = 1n = 12，求n.10. 在等比数列an 中：(1) 已知a3 = 2，a5 = 8，求a7；(2) 已知a3 + a1 = 5，a5

53、 - a1 = 15，求通项公式an.11. 已知a，b，c，d 成等比数列，且曲线y = x2 - 2x + 3 的顶点是(b，c)，则ad 等于 ( )A. 3 B. 2 C. 1 D. - 212. 已知等比数列an 满足a 1 = 11 = 14，a3a5 = 4(a4 - 1)，则a2 等于 ( )A. 2 B. 1 C. 12D. 1813. ( 多选) 已知等差数列a，b，c 三项之和为12，且a，b，c + 2 成等比数列，则a 等于 ( )A. - 2 B. 2 C. - 8 D. 814. 若数列an 的前n 项和为Sn，且an = 2Sn - 3，则an 的通项公式是第3

54、2页 共 124 页15. 已知在等差数列an 中 ，a2 + a4 = 16，a1 + 1，a2 + 1，a4 + 1 成等比数列，把各项按如图所示排列则从上到下第10 行，从左到右的第11 个数值为16. 设数列an 是公比小于1 的正项等比数列，已知a1 = 8，且a1 + 13,4a2，a3 + 9 成等差数列(1) 求数列an 的通项公式；(2) 若bn = an(n + 2 - )，且数列bn 是单调递减数列，求实数 的取值范围第33页 共 124 页4.3.1.2 等比数列的应用及性质知识点一实际应用题常见的数列模型1储蓄的复利公式：本金为a 元，每期利率为r，存期为n 期，则本

55、利和y = a(1 + r)n.2总产值模型：基数为N ，平均增长率为p，期数为n，则总产值y = N (1 + p)n.知识点二等比数列的常用性质设数列an 为等比数列，则：(1) 若k + l = m + n(k，l，m，n N *)，则akal = aman(2) 若m，p，n 成等差数列，则am，ap，an 成等比数列(3) 在等比数列an 中，连续取相邻k 项的和( 或积) 构成公比为qk( 或qk2) 的等比数列(4) 若an 是等比数列，公比为q，则数列a n ( 0)， 1ann 都是等比数列，且公比分别是2q，1q，q2.(5) 若an，bn 是项数相同的等比数列，公比分别是

56、p 和q，那么anbn 与an bn公比分别为pq 和p q.一、数列的实际应用【例26】. 某人买了一辆价值13.5 万元的新车，专家预测这种车每年按10% 的速度贬值(1) 用一个式子表示n(n N *) 年后这辆车的价值；(2) 如果他打算用满4 年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？【跟踪训练26.1】. 有纯酒精a(a 1) 升，从中取出1 升，再用水加满，然后再取出1 升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精 升二、等比数列的性质及其应用【例27】. 已知an 为等比数列(1) 等比数列an 满足a 2a4 = 12a4 = 12，求a1a32a5；(2) 若an

57、0，a5a7 + 2a6a8 + a6a10 = 49，求a6 + a8；(3) 若an 0，a5a6 = 9，求log3a1 + log3a2 + +log3a10 的值第34页 共 124 页【跟踪训练27.1】.公比为3 2 的等比数列an 的各项都是正数，且a3a11 = 16，则log 2a16 等于 ( )2a16 等于 ( )A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【跟踪训练27.2】.已知在各项均为正数的等比数列an 中 ，a1a2a3 = 5，a7a8a9 = 10，则a4a5a6 = ( )三、等比数列的判定与证明【例28】. 已知Sn 是数列an 的前n 项和，且Sn =

58、2an + n - 4.(1) 求a 1 的值；(2) 若bn = an - 1，试证明数列bn 为等比数列【跟踪训练28.1】. 已知各项均不为0 的数列an 中，a 1，a2，a3 成等差数列，a2，a3，a4 成等比数列，a3，a4，a5 的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5 成等比数列1. 在等比数列an 中，若a1 0，且a2a4 + 2a3a5 + a4a6 = 36，求a3 + a5 的值；(2) 若数列an 的前三项和为168，a2 - a5 = 42，求a5，a7 的等比中项第36页 共 124 页11. 设an 是首项为a1，公差为-1 的等差数列，Sn 为其前n 项和

59、若S1，S2，S4 成等比数列，则a1等于 ( )A. 2 B. - 2 C. 12D. - 1212. 等比数列an 是递减数列，前n 项的积为Tn，若T13 = 4T9，则a8a15 等于 ( )A. 2 B. 4 C. 2 D. 413. 在等比数列an 中，若a7 = -2，则此数列的前13 项之积等于14. 已知等比数列an 满足a2a5 = 2a 3，且a4，53，且a4，54为，2a7 成等差数列，则a1a2a3 a n 的最大值n 的最大值15. 在等比数列an 中，若a7a11 = 6，a4 + a14 = 5，则a20 a10=16. 设关于x 的二次方程anx2 - an

60、+1x + 1 = 0(n = 1,2,3，) 有两根 和，且满足6 - 2 + 6 = 3.(1) 试用an 表示an+1；(2) 求证：an - 23(3) 当a 时，求数列an 的通项公式1 = 76第37页 共 124 页4.3.2.1 等比数列前n 项和公式知识点一等比数列的前n 项和公式已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项求和公式Sn =a1 1 - q n n 1 - q q 1 ，na1 q = 1 Sn =a1 - a nqnq 1 - q q 1 ，na1 q = 1 知识点二等比数列前n 项和的性质1数列an 为公比不为-1 的等比数列( 或公比为-1，且n 不是偶