线性空间的应用

1、线性空间的应用Durer 魔方1514年，德国著名的艺术家 Albrecht Durer （1471-1521 ）曾铸造过一枚名为的铜币，这枚铜币的画面充满了数学符号、数字及几何图像。这里，我们可 以看一下铜币右上角的数字问题，这是一个自然数组成的方块（可以看作一个 矩阵），称之为Durer魔方（如果一个4x4数字矩阵，它的每一行，每一列， 每一对角线以每小方块上的数字相加）。其形式为16321351011896712415141此魔方中，每行、每列、对角线上的数字加在一起其和为34,若用水平线盒垂直线把它四个小方块每个小方块的数字和也是 34,若把四个角上的数字相加，其和仍是34。另外15，

2、14排在最后一行，正好是铜币的铸造时间。我们可以经过一些换行、列的交换，通过旋转，通过中间轴和对角线的映射，得到一些新的Durer魔方，那么有多少个可定义的Durer魔方？是否有构 成所有魔方的方法？我们说有。下面通过用0，1数字组合的方法构成R=C=D=S=1的所有魔方（这里R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和），称之为基本魔方Q , Q , Q , Q , Q , Q , Q 和 Q。12345678Q1=1 0 0 01 0 0 00 0 00 0 0 0 0 10000110 0 00 10 0,Q =,Q =,Q =0 0 0 120 10 030010410 0 00 1

3、0 00 0 100 10 00 0 100 0 100 10 00 0 100 10 010 0 0001001000 0 0 1,Q =,Q =,Q =0 10 0610 0 07000180 0 100 0 0 10 0 0 110 0 010 0 0若我们把每一个Durer魔方看成是一个矩阵，那么Durer可实行矩阵的数乘、加法运算。因此，可以通过已知的Durer魔方进行线性组合，构成新的Durer 魔方，所有Durer魔方构成一个线性空间，记为V。V显然是一个有限维的线性Q1，QQ3,Q4,Q5,Q，Q的线性组合来表示Durer魔方，例如67163213510118967125151

4、41=8Q + 8Q + 7Q + 6Q - 3Q + 3Q + 5Q1234567空间。我们容易证明Q，Q，Q，Q，Q，Q，Q 是其一组基，这样我们就可以用 。1234567，V的基0 1 -1 06 7 9 80 00 012 6 5 7N =例如：T =00 00 05 10 9 60 -1 1 07 7 7 9而，R=C=D=30例如要求列和、行和及每条主、V是Q的7维子空间。次对角上数字和都相等，得改变对Durer魔方数字和的要求，我们可以利用线性子空间的定义，构造V 的子空间或者包含V的子空间。例如求行和，列和及两条对角线上的元素和相127等，得到8维线性空间Q，基向量为Q = Q

5、，Q，-,Q，N，其中Q，Q，-,Q是5维向量空间B1721116161122-3127621126712H=N=R=C=46其中H为主对角线和，N为次对角线和，B的基为10 101 0 0 0 11010 10011010 0 1P =,P =,P =10 10 12100130 1100 10 10 11010 0 10 10 1110 010 100 0 11P=,P =410 105110 00 10 10 0 11Botsch于1967年证明了可以构造大量的V子空间或V的扩张空间，对于 1-16之间的每一个数K，都存在K维4x4方阵构成的线性空间。向量在的调整气象观测站问题中应用某地

6、区有12个气象观测站，10年来各观测站的年降水量如下表。X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11x121981276.2324.5158.6412.5292.8258.4334.1303.2292.9243.2159.7331.21982251.6287.3349.5297.4227.8453.6321.5451466.2307.5421.1455.11983192.7436.2289.9366.3466.2239.1357.4219.7245.7411.1357353.21984246.2232.4243.7372.5460.4158.9298.7314.5256.6327296.5

7、4231985291.7311502.4254245.6324.8401266.5251.3289.9255.4362.11986466.5158.9223.5425.1251.4321315.4317.4246.2277.5304.2410.71987258.6327.4432.1403.9256.6282.9389.7413.2466.5199.3282.1387.61988453.4365.5357.6258.1278.8467.2355.2228.5453.6315.6456.3407.21989158.5271410.2344.2250360.7376.4179.4159.2342.

8、4331.2377.71990324.8406.5235.7288.8192.6284.9290.5343.7283.4281.2243.7411.1为了节省开支，想要适当减少气象观测站。问题：减少哪些气象观测站可以使所得降水量的信息仍然足够大?解：用 气,以2，气2分别表示气象观测站在1981-1990年内的降水量的列向 量，a a a由于气2,一,气2是含有12个向量的十维向量组，所以该向量组必然相关。若能求出一个最大无关组，则最大无关组所对应的气象站就可以将其他气象站的资料表示出来，因而其他气象站就是可以减少的。因此，最多只需要10个气象观 测站。由为列向量组 作矩阵A，可 以求出一个

9、最大无关组:以1，以2， E以,以2,以3,以4,以5,以6,以7,以8,以9以0且有：以= 0.0275以1.078以2 - 0.1256以3 + 0.1383a4 1.8927以5 1.6552以 + 0.6391以1.0134以 + 2.1608以 + 3.794以678910a12 = 2.0152a1 + 15.1202a 2 + 13.8396a3 + 8.8652a4 + 27.102a 5+ 28.325a 6 38.2279a 7 + 8.2923a8 22.2767a 9 38.878口10故可以减少第11和12个观测站，可以使得到的降水量信息仍然足够大。当然， 也可以减少

10、另外两个观测站，只要这两个列向量可以由其他列线性表示。注：如果确定只需要8个观测站，那么我们可以从上表中取某8年的数据（比 如，最近8年的数据），组成含12个向量的向量组，然后求其最大无关组，则必有4 个向量可由其他向量线性表示。这4个向量所对应的气象观测站就可以减少。向量在基因的“距离”中的应用在ABO血型的人们中，对各种群体的基因频率进行了研究。如果把四种等位基 因A1,A2,B,O区别开，有人报告了如下的相对频率：爱斯基摩人f1k班图人f2k英国人f3k朝鲜人f4kA10.29140.10340.20900.2208A20.00000.08660.06960.0000B0.03160.1

11、2000.06120.2069O0.67700.69000.66020.5723合计1111现在的问题是：一个群体与另一个群体的接近程度如何？换句话说，就是要找 到一个表示基因距离的合适的度量。解：解决这个问题可以用向量的方法。首先我们用单位向量表示每一个群体，为此对各个群体向量单位化:0.39500.14500.29910.341100.12140.09960a =,a =,a =,a =10.042820.168230.087640.31960.91770.96740.94490.8840由此可见最小的基因“距离”是爱斯基摩人和英国人之间，最大的基因“距 离”是爱斯基摩人和班图人之间。另一种度量方法是考虑在四维向量空间中，这些向量(气,a2,a3,气)都是单位 向量，它们的终点都位于一个球心在原点半径为1的球面上，现在用两个向量的夹 角来表示对应的群体间的基因“距离”是合理的。我们把a i与气之间的夹角记为9 ”，由于| a JI = |a=1，再由夹角公式cos9 =一L,其值为9 = arccos(a ,a )，则(a ,a )的大小与9的大小成反比。 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark19 o Current Document ia ji - a ，j ，j经计算得:：7(a ,a ) = 0.95