点、线、面的投影和经典例题

1、点、线、面的投影和经典例题 4.1 点的投影 4.2 直线的投影 4.3 两直线的相对位置 4.4 平面的投影 4.5 换面法 4.6 直线与平面、平面与平面的相对位置4.1 点的投影 点的单面投影 .1. 点的三面投影及其特性 .1. 特殊点的三面投影 .1. 两点的相对位置 .1. 重影点的可见性判别PaA点的单面投影 若点的位置确定，点的投影是确定的。Pa(b)B 若点的一个投影确定，点的位置是不确定的。A点的单面投影4.1.1 点的三面投影及其特性VWHXZYOAaaaaXaYaZ 空间点AH面投影aV面投影aW面投影a4.1.1 点的三面投影及其特性XZYWOYHHWVaHaWa移去

2、空间点 V面不动H面连同水平投影绕X轴向下旋转W面连同侧面投影绕Z轴向右旋转VWHXZYOAaaaaxayaz4.1.1 点的三面投影及其特性VWHXZYOAaaaaXaYaZVWHXZYWYHOaaaaXaZaYHaYW点的投影连线垂直于相应的投影轴点的H面投影与V面投影的连线垂直于OX轴aa OX 点的V面投影与W面投影的连线垂直于OZ轴a aOZ4.1.1 点的三面投影及其特性VWHXZYOAaaaaXaYaZXZYWYHOaaaaXaZaYHaYW某一投影到投影轴的距离等于该点到相应投影面的距离aaZ = aaYH =Aa,点到W面的距离X坐标aaX = aaZ =Aa ,点到V面的距

3、离Y坐标aaX = aaYW=Aa ,点到H面的距离Z坐标【例4-1】已知A点的H面投影a和V面投影a，求A点的W面投影a。XZYWYHOaaaYWbXZbbOYHZXYO特殊点的三面投影WVaBHAaabbbCcccaaaccc投影面上的点 在该投影面上的投影与空间点自身重合， 另外两个面上投影在相应的坐标轴上。YXHVWO特殊点的三面投影feddDeEfFdefZ投影轴上的点 在与该投影轴相关的两个投影面上的投影与空间点自身重合， 另一投影面上的投影与坐标原点重合。dddXOZYHYWfffeee4.1.3 两点的相对位置AOVWHZYXB 根据两点的坐标差，可以确定两点的相对位置两点的左

4、右关系，X坐标大在左，小的在右；两点的前后关系，Y坐标大在前，小的在后；两点的上下关系，Z坐标大在上，小的在下。 bbbaaaYWXZYHOaaabbb4.1.4 重影点的可见性判别b( ) 当空间两点位于同一条投射线上时，则该两点在对应的投影面上的投影重合为一点，这两点称为对此投影面的重影点。OVWHZYXBbbAaaa4.1.4 重影点的可见性判别b( )OVWHZYXBbbAaaaYWXZYHOaaabbb( )不可见的投影字母加括号（ ）表示 判断的基本原则看第三坐标，大者可见4.1.4 重影点的可见性判别Xb( c )OVWHZYXBCbccbYWZYHObbccb( c )前遮后上

5、遮下左遮右4.2 直线的投影 直线的倾角和分类 .2. 投影面垂直线 .2. 投影面平行线 .2. 一般位置直线 .2. 直线上的点直线的倾角OVWHZYXA倾角:空间直线对投影面的夹角 对 H 面的倾角 对 V 面的倾角 对 W 面的倾角 BOYWXZYHbbbaaaaaabbb直线的分类直线一般位置直线特殊位置直线投影面垂直线投影面平行线4.2.1 投影面垂直线 铅垂线H，/V、W 正垂线V，/H、W 侧垂线W，/H、V 垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面 4.2.1 投影面垂直线铅垂线TLTLa(b)OYWXZYHaabba(b)bOVWHZYXBAbaaa(b)投影特性 H 积聚为

6、一点V、W 反映实长，/OZ倾角9004.2.1 投影面垂直线正垂线dOVWHZYXDCc(d)cdcTLTLOYWXZYHcdcdc(d)投影特性 V 积聚为一点H、W 反映实长，/OY倾角9004.2.1 投影面垂直线侧垂线OVWHZYXFEee(f)fefTLTLOYWXZYHefefe(f)投影特性 W 积聚为一点V、H 反映实长，/OX倾角9004.2.1 投影面垂直线侧垂线OVWHZYXFEee(f)fefTLTLOYWXZYHefefe(f)投影面垂直线的投影特性：在所垂直的投影面上的投影积聚为一点在另外两个投影面上的投影平行于相关的投影轴，并反映直线实长TL4.2.2 投影面平

7、行线 水平线/H，V、W 正平线/V，H、W 侧平线/W，H、V 平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面 4.2.2 投影面平行线水平线TLOVWHZYXBAbbbaaaOYWXZYHaaabbb投影特性 H 反映实长,反映、倾角V、W 长度小于实长,OZ4.2.2 投影面平行线正平线OVWHZYXcccddd投影特性 V 反映实长,反映、倾角H、W 长度小于实长,OYOYWXZYHdddcccTL4.2.2 投影面平行线侧平线OVWHZYXFEffeOYWXZYHeeefffTL投影特性 W 反映实长,反映、倾角V、H 长度小于实长,OX投影面平行线的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映实

8、长，反映直线与另两个相关的投影面的倾角另外两个投影垂直于相关的投影轴，投影长度小于实长4.2.2 投影面平行线侧平线OVWHZYXFEffeOYWXZYHeeefffTL4.2.3 一般位置直线与三个投影面均倾斜OYWXZYHaaabbbOVWHZYXBAbbbaaa4.2.3 一般位置直线OYWXZYHbbbaaaOVWHZYXABaaabbb投影特性：三个投影均倾斜于投影轴投影长度小于实长babaZZTLZBAbabaA1TLOVHZYXOX4.2.3 一般位置直线直角三角形法求实长和4.2.3 一般位置直线直角三角形法求实长和BAbaaB1YTLOVHZYXbbabaYYTLOX例 已知

9、 线段的实长AB以及ab和a，求它的正面投影ab。2005-10-2扬州大学 孙怀林aXabAOBb0bb0bb0b b OVHXaABabbZY4.2.4 直线上的点CcccW从属性 若点在直线上，则点的投影必在该直线的同面投影上。YWOXZYHbbbaaaabccc定比性 若点将直线分为两段，则两段的实长之比等于其投影长度之比。AC:CB = ac:cb = a c : c b = a c : c b 【例4-2】已知直线段AB的两面投影ab和ab， 在直线AB上求作一点K,使AK:KB=2:3。kkXbaOab12345【例4-3】已知侧平线AB和M、N两点的H面和V面投影， 判断M点和

10、N点是否在AB上。baa b abmmm 从属性nnn OXYWZYH【例4-3】已知侧平线AB和M、N两点的H面和V面投影， 判断M点和N点是否在AB上。baabmm定比性nnOX3124.3 两直线的相对位置 .3. 两直线平行 .3. 两直线相交 .3. 两直线交叉 .3. 两直线垂直4.3.1 两直线平行WacZVCaOAdDbcdbYcbBdaHXZcdbadbccdabXYWaOYH投影特性两直线的同面投影相互平行；两直线的长度之比和同面的投影长度之比相等。4.3.1 两直线平行WacZVCaOAdDbcdbYcbBdaHXZcdbadbccdabXYWaOYH已知AB/CD，则a

11、b/cd , a b / c d , a b / c dAB:CD = ab:cd = a b : c d = a b : c d4.3.1 两直线平行判断两直线是否平行对于两一般位置直线，若有两个同面投影均互相平行，则空间两直线平行；对于平行于同一投影面的两直线，若两个同面投影均互相平行，并且其中一投影反映直线实长，则两直线平行。baabdcdcXObcbda caOXdbac d abdcdca b 【例4-4】（a）已知两侧平线AB和CD,判断AB和CD是否平行。【解一】作出第三投影【解二】字母顺序一样,投影长度成比例ZXYWOYHfeg h efhgghe f 【例4-4】（b）已知两

12、侧平线EF和GH,判断EF和GH是否平行。ZXYWOYH【解一】作出第三投影【解二】 EF和GH的V、H投影字母顺序不一样，EF和GH的指向不一致4.3.2 两直线相交空间两直线相交 三个同面投影均相交， 并且交点符合点的投影特性。XdbcacbadabdckkkYWYHOZVHAZYBDCdacbWcdbadcabkkkKOXcdd c dcbabaa b kkk ZXYWOYH【例】已知两直线AB和CD,判断AB和CD是否相交。【解一】作出第三投影【解二】ak: kb ak: kb4.3.3 两直线交叉两直线既不平行又不相交，称为交叉二直线VHDBCAddccaabbOXYZbabacdc

13、dXO4.3.3 两直线交叉 可能存在一个或两个同面投影相互平行，但不存在三个同面投影都平行。 和平行的区别 可能有一个、两个或三个同面投影相交，但交点不符合点的投影特性。 和相交的区别两直线交叉的投影特性：4.3.3 两直线交叉VH3 4( )DBCAddccaabb1 23412( )dcdcabab3 434121 2( )( )OXYZ判断重影点的可见性4.3.4 两直线垂直直角投影定理： 若空间两直线垂直，且有一条平行于某一投影面，那么在该投影面上的投影仍然反映直角。 AB BC AB Bb AB 平面 BbcC有 AB bc又 AB ab故 ab bcHACBacb4.3.4 两直

14、线垂直直角投影定理的逆定理： 若相交两直线的同面投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则两直线必垂直。HACBacb cO a b c a b X【例4-5】已知直线AB和点C的两面投影,求C点到AB的距离。XOaabbccdd距离【例4-6】求交叉直线AB和CD的距离MN实长及其投影。XOababccddnnmm距离例 如图，矩形的一边AB为水平线，试画全矩形ABDC的二投影。 解： 按对边平行关系画全abdc; 按邻边垂直关系画出ac;按对边平行关系画全abdc。单击开始自动演播已知 作图2005-10-2扬州大学 孙怀林例 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB=2

15、3。bbcABab|yA-yB|bc=BCcnmaaXmnO4.4 平面的投影 .4. 平面的表示法 .4. 各种位置平面 .4. 平面内的点和直线4.4.1 平面的表示法用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；相交两直线；平行两直线；任意平面图形。cabbacabbcacabbcacbbacac几何元素表示法abcabcdd4.4.1 平面的表示法迹线表示法迹线：平面和投影面的交线。VWHZYOXPPWPHPVXZYWYHOPWPVPH4.4.1 平面的表示法迹线表示法迹线：平面和投影面的交线。VWHZYOXQWQHQVXZYWYHOQQVQWQH4.4.2

16、各种位置平面平面一般位置平面特殊位置平面投影面垂直面投影面平行面4.4.2 各种位置平面 水平面/H，V、W 正平面/V， H、W 侧平面/W， H、V 平行于某一投影面，并与另两个投影面垂直 投影面平行面投影特性 H 反映实形V、W 积聚成一直线，OZ倾角0904.4.2 各种位置平面投影面平行面水平面VWHZYOXpppPXZYWYHOppp（TS）投影特性 V 反映实形H、W 积聚成一直线，OY倾角0904.4.2 各种位置平面投影面平行面正平面VWHZYOXqQqqXZYWYHOqqq （TS）投影特性 W 反映实形H、V 积聚成一直线，OX倾角0904.4.2 各种位置平面投影面平行

17、面侧平面VWHZYOXrrXZYWYHOrrr（TS）rR4.4.2 各种位置平面投影面平行面侧平面VWHZYOXrrXZYWYHOrrr（TS）rR投影面平行面的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映实形在另外两个投影面上积聚成直线，且垂直于相关的投影轴4.4.2 各种位置平面 铅垂面H，V、W 正垂面V，H、W 侧垂面W，H、V 垂直于某一投影面，并倾斜于另外两个投影面投影面垂直面pp投影特性 H积聚成一直线，反映、倾角V、W反映类似形4.4.2 各种位置平面投影面垂直面铅垂面VWHZYOXXZYWYHOppcpPpP4.4.2 各种位置平面投影面垂直面正垂面投影特性 V积聚成一直线，反映

18、、倾角H、W反映类似形VWHZYXqXZYWYHOqqqOQqqrr4.4.2 各种位置平面投影面垂直面侧垂面投影特性 W积聚成一直线，反映、倾角H、V反映类似形VWHZYOXRXZYWYHOrrrrrr4.4.2 各种位置平面投影面垂直面侧垂面VWHZYOXRXZYWYHOrrrr投影面垂直面的投影特性：在所垂直的投影面上的投影积聚成直线，该直线与投影轴的夹角反映平面与相关的投影面的倾角在另两个投影面上的投影是类似图形4.4.2 各种位置平面一般位置平面VWHZYOX一般位置平面 对三个投影面都倾斜的平面baacacbbcXZYWYHObbbacacacABC4.4.2 各种位置平面一般位置

19、平面VWHZYOXbaacacbbcXZYWYHObbbacacacABC一般位置平面的投影特性：三个投影均与平面是类似图形，且面积小于实形面积不反映平面对投影面的倾角平面内的点点在平面内的某一条直线上平面内的直线通过平面内两个点过平面内一点，且平行于平面内的某一条直线4.4.3 平面内的点和直线AbcHaCBMNmnAbcHaCBMmEe存在条件【例4-7】判断点D是否在平面ABC内。XcabbacOeedd例 2005-10-2扬州大学 孙怀林已知ABC 给定一平面，（1）判断点K是否属于该平面。（2）已知平面上一点E的正面投影e作出水平投影。k kabcabcddee11XO例 2005

20、-10-2扬州大学 孙怀林已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面10，试求点E的投影。Xabcbacmnmnrsrs1015ee4.4.3 平面内的点和直线VWHZYOXPPWPHPVCD正平线AB水平线EF侧平线平面内的投影面平行线平面上的水平线（ H ）平面上的正平线（ V ）平面上的侧平线（ W）【例】过A、B、C分别作平面ABC内的水平线、正平线和侧平线。abcabddXOc【例】过A、B、C分别作平面ABC内的水平线、正平线和侧平线。abcabeeXOc【例】过A、B、C分别作平面ABC内的水平线、正平线和侧平线。abcabffXOc 补充知识点： 平面上投影面的最

21、大斜度线2005-10-2扬州大学 孙怀林 (1)平面对投影面的最大斜度线必定垂直于平面上对该投影面的平行线；最大斜度线在该投影面上的投影必定垂直于平面上该投影面平行线的同面投影。 (2) 最大斜度线对投影面的角度最大。最大斜度线的几何意义:用来测定平面对投影面的角度HPCDaSAE例152005-10-2扬州大学 孙怀林求 ABC平面与水平投影面的夹角 。be BEddeeabcabc4.5 换面法 .5. 基本概念 .5. 六个基本问题 换面法指空间几何元素位置不变，对投影面进行更换，使空间几何元素对更换的新投影面处于有利于解题的特殊位置。4.5.1 基本概念一般位置直线变换为投影面平行线

22、投影面垂直面变换为投影面平行面4.5.1 基本概念一般位置直线变换为投影面平行线投影面垂直面变换为投影面平行面进行投影变换时，新投影面的位置必须符合下列两个条件：新投影面必须垂直于一个原有投影面，即新的投影体系仍是直角投影体系新投影面必须和空间几何元素处于便于解题的特殊位置4.5.1 基本概念点的一次变换aaa1aX1a1aX1XVHVH1VHAaaXX1H1新的投影连线垂直于新的投影轴，a1aO1X1新投影到新投影轴的距离，等于被替换的旧投影到旧投影轴的距离，a1aX1=aaX不变旧新旧投影面新投影面不变投影面【例4-8】已知点A的两个投影a和a，旧投影轴OX和新投影轴O1X1, 求点A的新

23、投影a1。O1O1OXXH2AHaVaa1X1ax1axX2a2V1ax2OO1O24.5.1 基本概念点的二次变换XVHX1HV1V1H2X2aaa1a2旧不变新旧不变新旧投影面新投影面不变投影面不变投影面新投影面旧投影面每次只能变换一个投影面，而且新投影面和不变投影面构成直角投影体系多次换面时，V和H应交替更换OO1O24.5.2 六个基本问题1）一般位置直线变换成投影面平行线b1a1ababX1X实长一般位置线换V面“正平线 ”（实长，）一般位置线换H面“水平线 ”（实长，）OO1VHHV14.5.2 六个基本问题2）投影面平行线变换成投影面垂直线XVX1aaHbbABa1(b1)aba

24、ba1(b1)XX1水平线“正垂线”换V面正平线“铅垂线”换H面H1OO1VHVH1OO14.5.2 六个基本问题3）一般位置直线变换成投影面垂直线a1a2 b2AH2HaVaX1XX2V1Bbb1bXVHHV1V1H2X2X1bbb1b2(a2)aaa1OOO1O2O1O24.5.2 六个基本问题3）一般位置直线变换成投影面垂直线XVHHV1V1H2X2X1bbb1b2(a2)aaa1OO1O2一般位置线“正平线”（实长，）换V面换H面“铅垂线”一般位置线“水平线”（实长，）换H面换V面“正垂线”2005-10-2扬州大学 孙怀林X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c11121

25、21babdcaXVHdc211222 例 求两直线AB与CD的公垂线 。 H24.5.2 六个基本问题4）一般位置平面变换成投影面垂直面aabebeccXX1b1c1一般位置面取水平线“正垂面”（）换V面一般位置面“铅垂面”（）取正平线换H面OVHa1(e1)O1HV12005-10-2扬州大学 孙怀林a c b bac enken ddX1VH1b1a1c1d1k1ke1 例 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。4.5.2 六个基本问题5）投影面垂直面变换成投影面平行面b1a1XX1aabbccc1TS正垂面“水平面”（实形）换H面铅垂面“正平面”（实形）换V面OVHO1HV

26、14.5.2 六个基本问题6）一般位置平面变换成投影面平行面Xaa1a2bbb1c1c2b2ccTSa一般位置面“正垂面”（）取水平线换V面“水平面”（实形）换H面X1X2OO1VHHV1O2V1H2一般位置面“铅垂面”（）取正平线换H面“正平面”（实形）换V面2005-10-2扬州大学 孙怀林 例 已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。a cXVHbbac d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e24.6 直线与平面、平面与平面的相对位置 .6. 平行问题 .6. 相交问题 .6. 垂直问题4.6.1 平行问题直线和平面平行 若平面外

27、一直线平行于平面内任一直线，则该直线和平面互相平行。PCDAB【例4-9】已知ABC和M点，作过M点的水平线MN/ ABC。nnmmabcdabcdXO【例4-10】判断直线MN与平面ABCD是否平行。efefOnmXmadbccdabn例3、过点M作直线MN平行于V面和ABC。2005-10-2扬州大学 孙怀林解：正平线abcmmabc ABC为正垂面，直线MN的正面投影mn必定平行于abc。又MN为正平线，mn平行于OX轴。nn有唯一解有多少解？4.6.1 平行问题直线和平面平行ObbXappa 当平面的某一投影具有积聚性时，则该投影可反映平面和直线的平行关系。4.6.1 平行问题平面和平

28、面平行 若两平面内分别有一对相交直线对应平行，则两平面互相平行。BCAPQEDF【例4-11】已知ABC和M点，过M点作平面平行于ABC 。abcabcmmeeffXO【例4-12】判断ABC和平面DEFG是否平行。XOcbaabcdgffedemnnmg例 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面 。2005-10-2扬州大学 孙怀林emnmnfefsrsrddcaacbbkkXO4.6.1 平行问题平面和平面平行pqqpXO 当两平面均垂直于某投影面时，它们有积聚性的投影可直接反映平行关系。4.6.2 相交问题PABKABCMN交 点 直线和平面的共有点交 线

29、两平面的共有线（两个共有点）P直线和平面相交平面和平面相交4.6.2 相交问题直线和平面相交（1）一般位置直线和特殊位置平面相交 若平面处于特殊位置，其某一投影具有积聚性，则直线与平面的交点可利用直线与平面的积聚性投影相交而直接求得。ABKPHabkabpabpkk【例4-13】一般位置直线AB与铅垂面P相交，求作交点K。直观判别法可见性判别OX4.6.2 相交问题直线和平面相交（2）投影面垂直线和一般位置平面相交 直线与平面相交，当直线的投影有积聚性时，交点的一个投影已知，另一投影用面上取点的方法求出。Kkdm(n)bABHaCcDMNm(n)bacdmabcndkk121 2( )ee【例

30、4-14】铅垂线MN与平面ABCD相交，求作交点K。可见性判别重影点判别法XO4.6.2 相交问题直线和平面相交（3）一般位置直线和一般位置平面相交HMNPACBEFK辅助平面法包含一般位置直线作一辅助平面，通常作投影面的垂直面作辅助平面和一般位置平面的交线求作此交线和一般位置直线的交点k【例4-15】一般位置直线MN和一般位置平面ABC相交，求交点K，并判别可见性。12effenmHMNPABCEFKcamncabbPHk1 2( )3 3 4( )4【解一】【解二】换面法将ABC变换成投影面垂直面OX4.6.2 相交问题平面和平面相交（1）两特殊位置平面相交 两平面相交，且均垂直于某一投影面，其交线必垂直于该投影面。则两平面的交线可利用平面的积聚性投影求得。【例4-16】铅垂面P和Q相交，求作交线KL，并判别可见性。OXppqqklkl4.6.2 相交问题平面和平面相交（2）一般位置平面与特殊位置平面相交bABPHaCcMNmn 两平面的交线可利用特殊位置平面的积聚性投影求得。【例4-17】求一般位置平面ABC与铅垂面Q的交线KL。abqabqccklklOX4.6.2