2022年《正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式》教案

1、正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式教案河南省南阳市一中 贾海山一、 教学目标：1、 懂得利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念 2、 会利用单位圆争论正弦函数、余弦函数的周期性及诱导公式3、 通过借助单位圆争论正弦函数、余弦函数的过程,感悟数形结合思想方法是学习数学的重要思想方法之一 二、 教学重、难点 1、 正、余弦函数的定义及正、余函数值的符号；会利用单位圆求三角函数值；2、 明白周期性及一般函数周期性的定义,会求简洁函数的周期性；3、 把握诱导公式,包括推导、记忆、应用（求值、化简等）；4、 利用单位圆的特殊性,是高中数学中的一种重要方法 三、情感态度与价值观 1、由锐角的正、余弦函数

2、推广到任意角的正、余弦函数的过程中,体会特殊与一般的关 系,形成一种辩证统一的思想；2、通过单位圆的学习,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性；培育同学分析问 题、解决问题的才能；四、教学过程 4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性（1 课时）尝试回忆1、1 弧度的角； 2、角度制与弧度制的互化；3、弧长公式及扇形面积公式；4、用弧度制表示第一象限内的角的集合和x 轴上的角的集合；0 90 ,kZ ,应写成k18000 90 ,kZ 或2、特殊留意：角度与弧度不要混用；如kk2,kZ3、中学所学的锐角的正、余弦函数是如何定义的？由锐角三角函数推广到任意角的三角函数

3、,由直角中的边之比定义,推广到直角坐标系 中的坐标定义；探究新知 1、单位圆 在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长为半径的圆,称为单位圆；单位长：可以是 1cm、1m、 1km、1 光年等；单位圆可依据需要移到其它地方；2、任意角的正、余弦函数定义 在直角坐标系中,给定单位圆,对于任意角 ,使角 的顶点与原点重合,始边与 x 轴 v 叫作角 的正弦函数,记作 正半轴重合,终边与单位圆交于点 Pu,v ,就交点 P 的纵坐标 v=sin ; 点 P 的横坐标 u 叫作角 的余弦函数 , 记作 u=cos . 通常,用 x 表示自变量,用x 表示角的大小,用y 表示函数值,因此2y O 定义任意

4、角的三角函数y=sinx 和 y=cosx, 定义域为 R,值域为 -1 , 1 ；Pa,b 补充：人教版定义（P16 练习 2 就类似人教版定义）x 设点 P（a,b ）是角 终边上除原点之外的任意一点,记ra2b就定义 sinb,cosa.更具有一般性；rr3、三角函数值的符号依据定义,三角函数值的符号仅与点 P 的纵、横坐标的符号有关；sin 在一、二象限为正,三、四象限为负；cos 在一、四象限为正,二、三象限为负 . 轴线角的正余弦函数值也有符号；程例 1 功能：会求任意角的三角函数值；其步骤（1）画角；（ 2）求交点坐标；可联立方x2y21,解得；（ 3）求值；yx .动手实践给我

5、们另一种方法：利用对称性可求交点坐标,从而解其它超过锐角的特殊角的三角函数值；表 1-5 中的数据变化特点：说对称性可以,说周期性可以,说正余弦函数图像关系可以；4、单位圆与周期性在单位圆中找到角6,26,46等与单位圆的交点,说明：（1）终边没变；（2）交点没变；（ 3）交点的纵、横坐标没变；从而说明正弦函数值没变,余弦函数值没变；即sin46sin26sin6,cos46cos26cos6.从而说明终边相同的角的正弦函数值相等,终边相同的角的余弦函数值相等；即sin2kxsin , x kZ.cos2kxcos , x kZ.说明：对于任意一个角x,每增加 2的整数倍,其正弦函数值、余弦函

6、数值均不变；所以,正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的；这种随自变量的变化函数值呈周期性变化的函数叫做周期函数；特殊指出,周期性不是三角函数特有的,一般函数也有周期性；周期函数的自变量不肯定是角；2 是 y sin x x R 的周期,就 2 k , k Z k 0都是它的周期,并且它的全部周期中有一个最小的正数 2,称 2 为它的最小正周期；同理2 也是 y cos , x x R 的最小正周期； 有的周期函数没有最小正周期,如 f x 2, x R 任意一个正数都是它的周期,但没有一个最小的正数；周期函数的严格定义：一般地, 对于函数f x ,假如存在非零常数T ,对定义域内

7、的任意y一个 x 值,都有f xTf x ,就称f x 为周期函数, T 为它的一个周期；周期函数的常见变化求法有2 种：（ 1）f x2f x ,看似不周期函数,但变形后是！fx22f x2f x f x 即f x4f x .（2）f x2f x2 变形为f x2f x2 找f x ！f x f x2 2f x4f x4f x f x8f x ；作业 P20 习题 1.4 1、2、3、 4、5 4.3 单位圆与诱导公式（1 课时）利用单位圆的对称性：通过观看角的终边的对称性以及角的终边与单位圆交点坐标的对称Px,y Px,-yM o x性,探寻角与,2等正、余弦函数关系,得到诱导公式；便于推

8、导,也便利记忆；把用对称找点的坐标作为重点；1、角与的正、余弦函数关系Z,yyxsinsin,coscos.2、角与的正、余弦函数关系P x,ysinsin,coscos .o sinsin,coscos .3、角与的正、余弦函数关系yP1 -x,-ysinsin,coscos .P x,yP2 -x,y也可以由 1、2 两组公式推出sinsinsinsino xcoscoscos.P1 x,-yP x,y4、角与2的正、余弦函数关系P1 -y, xsin2cos ,cos2sin.5、角与2的正、余弦函数关系M 1 o Mxsin2cos ,cos2sin.yP1 y, x6、任意角的正、余

9、弦函数的诱导公式（1） 2kM 1 sin2 ksin ,cos2 kcos .k（2）o P x,yMxsinsin,coscos.y=x（3） 2sin2sin,cos2cos（4）sinsin,coscos . sin2sin,cos2cos.（5）2cos ,cos2sin.sincos ,cossinsin2补：3 2sin 3 cos ,cos 3 sin . sin 3 cos ,cos 3 sin .2 2 2 22k、 2、记忆规律： “ 函数名不变,符号看象限” ；即它们的正、余弦函数值等于 的同名三角函数值,加上把 看成为锐角时,对应的三角函数值的符号；如把 看 成 锐

10、角 时 , 2 终 边 在 第 四 象 限 , 其 余 弦 值 为 正 , 函 数 名 称 不 变 , 所 以cos2 cos,3 记忆规律：“ 函数名转变,符号看象限” ；即它们的正、余弦函数值等2 2于 的“ 余” 名三角函数值,加上把 看成为锐角时,对应的三角函数值的符号；“ 余” 名：“ 正就余,余就正” ；如把 看成锐角时,终边在其次象限,其余弦值为负,函数名称2转变,所以 cos sin；27、诱导公式的作用（1）可把任意角的三角函数值转化为0 2的三角函数值求出； 一般地：负角化正角（）,再化成为 0 2（ 2k）,再化成为 0 2求出；其次象限用,第三象限用,第四象限用 2.（2）化简（3）求值例1 求以下函数值（1） sin7 4（2） sin431；（3）sin 1650 ；63.6解： 1 sin7 4 sin2 sin422cos31cos47 67cos6cos（ 2）cos31cos6662（ 3）sin 165