一元二次方程与实际问题3(面积问题)剖析课件

1、复习：列方程解应用题有哪些步骤 对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题。 上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”，现在，我们要学习解决“面积、体积问题。实际问题与一元二次方程（三）面积、体积问题一、复习引入 1直角三角形的面积公式是什么？ 一般三角形的面积公式是什么呢？ 2正方形的面积公式是什么呢？ 长方形的面积公式又是什么？ 3梯形的面积公式是什么？ 4菱形的面积公式是什么？ 5平行四边形的面积公式是什么？ 6圆的面积公式是什么？ 在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长

2、方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的框边宽。XX30cm20cm解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得3020(302x)(202x)=400整理得 x2 25x+100=0得 x1=20, x2=5当x=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10答:这个长方形框的框边宽为5cm探究3分析:本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积另解：(302x)(202x)=3020-400 要设计一本书的封面,封面长27,宽21,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周

3、边衬的宽度?分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm依题意得解得 故上下边衬的宽度为: 左右边衬的宽度为:例题(变式):2721 要设计一本书的封面,封面长27,宽21,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?2721分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得解方程得(以下同学们自己

4、完成)要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上下边衬等宽,左右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？分析21:277:9若设AB=7acm，则AD=9acm上下边衬分别=左右边衬分别=AG=AF上下边衬与左右边衬之比=拓展：9:7再设AG9xcm，则AF7xcm利用面积建立方程2721解得:检验：当 时当 时上下边衬之和左右边衬之和上下边衬之和左右边衬之和2.8cm50.4cm3.6cm39.2cm经过检验, 不符合题意, 符合题意.上下边衬宽度=左右边衬宽度=答：2

5、721(负值舍去)要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上下边衬等宽,左右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？分析答：上下边衬为左右边衬为21:277:9若设AB=7acm，则AD=9acm2721一、常见的图形有下列几种：5xx xx （82x）（52x）8镜框有多宽? 一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的长为8m，宽为5m如果镜框中央长方形图案的面积为18m2 ，则花边多宽?解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形图案的长为_m, 宽为m,得 （82x）（52x）18m2例1.

6、 宽为m,得(8 2x) (5 2x) = 18镜框有多宽? 一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的长为8m，宽为5m如果镜框中央长方形图案的面积为18m2 ，则镜框多宽?解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形图案的长为m, （8-2x）（5-2x）例1.即2X2 13 X 110解得X11， X25.5(不合题意)答:镜框的宽为1m.审设答解列练习：如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.ABCD解:设小路宽为x米，则化简得，答:小路的宽为3米.例2如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，

7、要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长。 例2如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长。 答：截去正方形的边长为10厘米。 例3. 如图，在长为40米，宽为22米的矩形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积为760平方米，道路的宽应为多少？40米22米例2：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,

8、现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.补充例题与练习(1)(2)(1)解:(1)如图，设道路的宽为x米，则化简得，其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去.图(1)中道路的宽为1米.则横向的路面面积为 ，分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。解法一、 如图，设道路的宽为x米，32x 米2纵向的路面面积为 。20 x 米2注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2所列的方程是不是？图中的道路面积不是米2。(2)而是从其中减去重叠部分，即应是米2所以正确的方程是：化简得，其中的 x=

9、50超出了原矩形的长和宽，应舍去.取x=2时，道路总面积为： =100 (米2)草坪面积= 540（米2）答：所求道路的宽为2米。解法二： 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）(2)(2)横向路面，如图，设路宽为x米，32x米2纵向路面面积为 。20 x米2草坪矩形的长(横向）为 ，草坪矩形的宽（纵向） 。相等关系是：草坪长草坪宽=540米2(20-x)米（32-x)米即化简得：再往下的计算、格式书写与解法1相同。练习：1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条

10、道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?解:设道路宽为x米，则化简得，其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.答:道路的宽为1米.1、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.练习：解:设这个矩形的长为xcm,则宽为 cm,即x2-10 x+30=0这里a=1,b=10,c=30,此方程无解.用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.例4 学校要建一个面积为150平方米的长方形自行车棚，为节约经费，一边利用18米长的教学楼后墙，另三边利用总长为35米的

11、铁围栏围成，求自行车棚的长和宽.解：设与教学楼后墙垂直的一条边长为x米，则与教学楼后墙平行的那条边长为(352x)米，根据题意，得 x(352x)150解得 当 时，352x2018不合题意，舍去；当x10时，352x15. 符合题意.答：自行车棚的长和宽分别为15米和10米.练习：1.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应该怎么设计?解:设苗圃的一边长为xm,则化简得，答:应围成一个边长为9米的正方形.4如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为

12、_练习：补充例题与练习例3. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S米2，（1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是多少米？【解析】(1)设宽AB为x米，则BC为(24-3x)米，这时面积S=x(24-3x)=-3x2+24x(2)由条件-3x2+24x=45化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3024-3x10得14/3x8x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米 例4某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.

13、6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？补充例题与练习分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模解：（1）设渠深为xm 则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m依题意，得：整理，得：5x2+6x-8=0 解得：x1=0.8m，x2=-2（不合题意,舍去）上口宽为2.8m，渠底为1.2m答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道1.如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长

14、方形拼成，则每个小长方形的面积为【 】A400cm2 B500cm2 C600cm2 D4000cm22. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是【 】Ax2+130 x-1400=0 Bx2+65x-350=0Cx2-130 x-1400=0 Dx2-65x-350=03.如图，面积为30m2的正方形的四个角是面积为2m2的小正方形，用计算器求得a的长为（保留3个有效数字）【 】A2.70m B2.66m C2.65m D2.60m80cmxxxx50cmaA

15、BC练习：5、围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的面积为4800m2.求这个公园的长与宽. 如图,已知A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16,AD=6,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3/s的速度向点B移动,一直到点B为止,点Q以2/s的速度向点D移动. 问:P、Q两点从出发开始几秒时,四边形PBCQ的面积是33c例APDQBC问(1)P、Q两点从出发开始几秒时,四边形PBCQ的面积是33cAPDQBC分析:四边形PBCQ的形状是梯形,上下底,高各是多少?.如图，ABC中，B=90，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.（1）如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经过几秒钟，P