新编高数不定积分课件

1、第一节 不定积分的概念与性质 本节要点 本节通过原函数引出了不定积分的概念, 并得到不定一、原函数与不定积分二、不定积分的计算积分的简单性质.一、原函数和不定积分的概念 1.原函数 在第二章中曾提出对已知 求 的求导问题, 而现在的问题是:的 这类问题就是求原函数问题.若已知, 求满足即对任一 都有定义3.1 如果在区间 内的可导函数 的导函数为或则称函数 为 在区间 内的一个原函数.例如 函数 的一个原函数为又如,这是因为故, 的原函数为 我们知道, 对函数而言, 如果导函数存在的话, 导函数是唯一的, 但某个函数的原函数是否唯一呢？为此, 先引入:间 内存在可导函数 使得对任一 都有即连续

2、函数一定存在原函数.如果 是 的原函数, 则 的原函数. 其中 为任意常数; 并且 的原函数一定可写成 的形式.原函数存在定理如果函数 在区间内连续, 则在区也是 2.不定积分 由上面的讨论, 可得到如下定义:定义3.2 在区间 内, 函数 的带有任意常数的原函数称为 在区间 内的不定积分, 记作其中记号称为被积函数，称为积分号，称为被积表达式，称为积分变量 由此定义知, 若 是 的一个原函数, 则的不定积分为 可见, 要计算函数的不定积分, 只需找出它的一个原函数即可.例3.1 容易得到下面的不定积分: 注1 在不定积分表达式中最后的常数 不能漏掉. 注2 如果不计任意常数，不定积分运算与求

3、导运算是互逆的因为，由定义可知二、基本积分公式 由原函数的定义, 以及求导公式, 可以得到下面这些基本积分公式.例3.2 求解倒数关系例3.3 求解例3.4 求解三、不定积分的性质和应用举例 由原函数与不定积分的定义不难得到如下不定积分的性质: 不定积分的性质性质1 两个函数和（差）的不定积分等于这两个函数 的不定积分的和（差）, 即（3.1）性质2 求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来, 即（3.2）例3.5 求积分解 先将 展开, 然后再利用积分公式及运算法则, 得例3.6 求积分解例3.7 求积分解例3.8 求积分解 将被积函数拆成两项的和, 可得例3.9 求积

4、分解 分子部分减1加1后, 得 例3.10 求积分解 利用三角公式得例3.11 求积分解 利用半角公式得例3.12 求积分解 由三角公式得例3.13 求积分解 由倍角公式得例3.14 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜解 设此曲线的方程为 由题设得关系即, 是 的一个原函数, 因 且曲率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.线过(1, 2), 代入曲线方程得 故所求曲线的方程为 对本例说明: 函数 的原函数的图形称为 积分曲线. 当常数 取不同值时, 曲线间是平行的. 因而可通过某条积分曲线的平移得到所求曲线.例3.15 以初速 将质点铅直上抛, 不计阻力, 求其运动规律.解 所谓运动规律, 是指质点的位置关于时间 的函数关系, 为此建立坐标系统如下: 把质点所在的铅直线取作 轴, 方向向上, 轴与地面的交点取作坐标原点. 开始时刻为 此时质点所在的位置的坐标 为 在时刻 时质点的坐