条件概率与事件的独立性课件

1、第一章 随机事件及其概率第4节 条件概率 在实际问题中，经常考虑在某个外加的条件下随机事件发生的概率，称之为条件概率。2022/8/71皖西学院 经济与管理学院例：一个家庭有两个小孩，求下列事件的概率。(1)事件A“至少有一个女孩”发生的概率。(2)在事件B“至少有一个男孩”发生的条件下，事件A发生的概率。 2022/8/72皖西学院 经济与管理学院一、条件概率的概念含义：在事件B发生的条件下，另一事件A发生的概率，对于古典概型，如图所示 ，有称为在事件B发生条件下事件A的条件概率，2022/8/73皖西学院 经济与管理学院即把B作为新的样本空间.缩减样本空间法条件概率的定义：对于古典概型，条

2、件概率可以如下计算：2022/8/74皖西学院 经济与管理学院例2 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的 概率; （2）求第二次取到红球的概率；（3）求两次均取到红球的概率。设A第一次取到红球,B第二次取到红球思考：任一次取到红球的概率都相同吗？2022/8/75皖西学院 经济与管理学院二、 概率乘法公式注：（1）由条件概率定义直接可推出，（2）由（1）可推出。2022/8/76皖西学院 经济与管理学院 例3 一批零件共有100个，其中10个不合格品，从中一个一个取出（不放回），求第三次才取到不合格品的概率。

3、解：记Ai表示“第i次取出的为不合格品”，则所求概率为2022/8/77皖西学院 经济与管理学院例4 （摸奖券问题）设有n张奖券，只有1张有奖，每个人只摸一张，求每个人中奖的概率。2022/8/78皖西学院 经济与管理学院 例5 10个考签中有4个难签，3个考生参加抽签（不放回），甲先，乙次，丙最后。求甲抽到难签，甲、乙都抽到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。2022/8/79皖西学院 经济与管理学院三 全概率公式例1设有两个口袋，甲袋装有2个白球、3个红球；乙袋装有4个白球、2个红球。现从甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋取出一球。求从乙袋取出白球的概率。分析：对于较

4、复杂事件概率的计算，首先要选择适当的符号把已知、所求事件表示出来；再根据概率法则、性质进行计算。解：设A从甲袋取出白球；B从乙袋取出白球；所求问题是什么？2022/8/710皖西学院 经济与管理学院P(B)的取值显然与P(A)有关系，且P(A) =2/5.另外，在A发生与否的条件下，B发生的条件概率可求。利用乘法公式可以计算：即有例1设有两个口袋，甲袋装有2个白球、3个红球；乙袋装有4个白球、2个红球。现从甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋取出一球。求从乙袋取出白球的概率。2022/8/711皖西学院 经济与管理学院 全概率公式 设A1，A2，An为样本空间的一个分割（或称划分、完备事件组），则对

5、任一事件B，有： 注：全概率公式解决的问题是，由B的条件概率求B的概率（部分 整体）。常用形式条件可减弱为2022/8/712皖西学院 经济与管理学院例212各乒乓球都是新球，每次比赛时取出3个用完后放回去，求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率。2022/8/713皖西学院 经济与管理学院例3某工厂两个车间生产相同型号的的产品，生产的产品混合放在一个仓库里。第一车间产品的次品率为0.15；第二车间产品的次品率为0.12；且两个车间产品的数量比是2：3。现从仓库里任取出一件产品，求它是次品的概率。解：记取出的一件是次品；2022/8/714皖西学院 经济与管理学院引例：假定某工厂甲乙丙3个车

6、间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的45%,35%,20%。次品率依次是0.04,0.02,0.05。现从待出厂的产品中检查出一个次品，判断它是甲车间生产的概率。所求问题是？四 贝叶斯公式（逆概率公式） 2022/8/715皖西学院 经济与管理学院贝叶斯公式（逆概率公式） 2022/8/716皖西学院 经济与管理学院例1 孩子与狼的寓言通过计算说明为什么村民后来不再相信他呢？ 2022/8/717皖西学院 经济与管理学院补充说明 这里， 称为先验概率，即原来村民 对他的印象。 称为后验概率，即小孩撒谎一次后，村民对他的新印象。若小孩再次撒谎，则以 替换作为先验概率，代入上述计算公式，从而得到在实

7、际生活中，人们总是根据已发生的结果，不断地用后验概率去修正先验概率。2022/8/718皖西学院 经济与管理学院例2 某地区居民的肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法进行普检查，医学研究表明，化验结果是存在错误的。已知患有肝癌的人其化验结果99呈阳性（有病），而没有患肝癌的人其化验结果99.9呈阴性（无病）。现某人的检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率是多大？解：设B为“被检查者患有肝癌”，A为“检查结果呈阳性”，则由题意知 所求问题是？2022/8/719皖西学院 经济与管理学院2022/8/720皖西学院 经济与管理学院补充说明若对首次检查结果呈阳性的人再次复查，这时，P(B)0.28

8、4，代入上式计算可得：第二次检查又呈阳性的人患肝癌的概率则为0.997，说明此检查方法的有效性。 把B“患病”看作“原因”，把A“阳性”看作“结果”。由产生的结果对原因重新认识修正.2022/8/721皖西学院 经济与管理学院第 5 节事件的独立性与伯努利试验一般说来，条件概率P(B|A)P(B),即A的发生与否对B发生的概率是有影响的，但是也有例外！2022/8/722皖西学院 经济与管理学院引例 一袋中有4个白球，2个黑球，从中有放回的取2次，每次取一个。A=第一次取到白球， B=第二次取到白球，则P(A)=2/3,P(B)=64/66=2/3, P(AB)=4/9,P(B|A)=2/3,

9、因此P(B|A)= P(B)这表明，A发生与否，都对B发生的概率不会产生任何影响，直观上可以认为事件B与A没有关系，或B与A独立。2022/8/723皖西学院 经济与管理学院一、两个事件的独立性1、独立性的一般含义事件A与事件B发生的概率没有关系、影响。2、定义 设A、B是两事件，若满足 P(AB)P(A)P(B)则称事件A与B相互独立。2022/8/724皖西学院 经济与管理学院例1 在52张扑克牌中任取一张，记A为“取到黑桃”，B为“取到爱司”，A、B是否独立？ 例2 在有三个小孩的家庭，记A为“男女都有”，B为“至多一个女孩”， A、B是否独立？ 2022/8/725皖西学院 经济与管理

10、学院补充说明（1）独立性的判定必须严格按定义来确定，而不能凭主观想像和猜测，也不能与互不相容的概念混淆。（2）具有类似关系的事件在不同条件下是否独立也是有区别的。把例2中的三个小孩改为两个小孩，则A、B不相互独立。（3）不可能事件和必然事件与任何事件独立！2022/8/726皖西学院 经济与管理学院例2 在有三个小孩的家庭，记A为“男女都有”，B为“至多一个女孩”， A、B是否独立？ 若把条件中的“三个小孩”改为“两个小孩”，则有：2022/8/727皖西学院 经济与管理学院独立性的性质：2022/8/728皖西学院 经济与管理学院独立性的性质：2022/8/729皖西学院 经济与管理学院一些

11、特殊情形：2022/8/730皖西学院 经济与管理学院二、多个事件的独立性2022/8/731皖西学院 经济与管理学院例3 从分别标有1,2,3,4四个数字的4张卡片中随机抽取一张,以事件A表示“取到1或2号卡片”;事件B表示“取到1或3号卡片”;事件C表示“取到1或4号卡片”.则事件A,B,C两两独立但不相互独立.2022/8/732皖西学院 经济与管理学院例4 甲乙丙3台机床独立工作，由一个工人照看，某段时间内它们不需要照看的概率分别为0.9，0.8，0.85。求在这段时间内有机床需要人照看的概率以及机床因没人照看而停工的概率.2022/8/733皖西学院 经济与管理学院例5 甲、乙二人同

12、时独立向同一目标射击一次，甲击中率为0.9，乙击中率为0.8，求目标被击中的概率。 解：设A甲击中，B乙击中，C目标被击中.思考：请你根据事件的独立性来解释“三个臭皮匠胜似一个诸葛亮”。2022/8/734皖西学院 经济与管理学院例6 某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的。若你每周买一张彩票，坚持十年（520周），你从未中奖的可能性是多少？2022/8/735皖西学院 经济与管理学院伯努利试验 定义：设有随机试验E1和E2，若E1的任一结果（事件）与E2的任一结果（事件）都独立，则称这两个试验相互独立。如分别掷两枚硬币的试验。 类似地可以定义n个相互独立的试

13、验。特别地，如果n个相互独立的试验是相同的，则称之为n重独立重复试验；如果每次试验的结果都是两个，则称之为n重伯努利试验。 如：掷n个骰子、检查n个产品的试验是n重独立重复试验，而掷n个硬币的试验则是n重伯努利试验。2022/8/736皖西学院 经济与管理学院二项概率问题：在n重伯努利试验中，若事件A在每次试验中出现的概率都是p，求在n次试验中恰出现k次A的概率。分析：若指定某k次出现A，则另外n-k次出现.由独立性知，该事件的概率为再由组合数知识知，在n次试验中恰出现k次A的概率为该公式与二项式定理的一般形式相同，故称之为二项概率。2022/8/737皖西学院 经济与管理学院补充说明应用二项

14、概率时应注意：1、涉及的试验是n重伯努利试验；2、所求的事件是只知次数，不知位置；3、二项概率在实际中的应用非常广泛；4、当n较大时，二项概率的计算比较困难。2022/8/738皖西学院 经济与管理学院例1从次品率p=0.2的一批产品中，有放回地抽取5次，每次取1件。分别求5件中恰有3件次品和至多3件次品的概率。解：记k抽取的5件中的次品数。2022/8/739皖西学院 经济与管理学院例2设有1000个人购买了某项人身意外保险，每年支付投保金额300元。若在一年内发生意外，可获得的平均赔付金额为10000元。根据资料统计，该类投保人在一年内发生意外的比例为1求：1、保险公司能够获利的概率；2、保险公司每年获利不少于1