人教版必修第一册2.1等式性质与不等式性质 同步练习（Word版含解析）

1、人教版必修第一册 2.1 等式性质与不等式性质一、单选题1下列命题为真命题的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则2已知，则下列不等关系正确的是（）ABCD3已知为非零实数，若，则下列不等式一定成立的是（）ABCD4某厂家加工甲、乙两种通讯设备零部件，其销售利润分别为10百元/件、15百元/件.甲、乙两种零部件都需要在，两种设备上加工，生产一件甲产品需用设备1小时，设备3小时；生产一件乙产品需用设备2小时，设备2小时.，两种设备每周可使用时间分别为24小时、36小时，若生产的零部件供不应求，则该企业每周利润的最大值为（）A150百元B195百元C240百元D300百元5若两实数满足,那么总有A

2、BCD6已知函数，若（、互不相等），且的取值范围为，则实数的值为（）ABCD7已知，则，的大小关系是ABCD二、填空题8设，给出下列四个结论：；.其中所有正确结论的序号是_.9若，且，则下列不等式：；，其中成立的是_（写出所有正确命题的序号）.102021年是中国共产党成立周年，某校为了庆祝建党周年，组织了一系列活动，其中红歌会比赛就是其中一项.已知高一年级选手人数多于高二年级选手人数，高二年级选手人数多于高三年级选手人数，高三年级选手人数多于教师选手人数，教师选手人数的倍多于高一年级选手人数，则参加红歌会的选手至少有_人.11若，则, , , 按由小到大的顺序排列为_12已知函数，给出下列命

3、题；（1）若，则；（2）对于任意的，则必有；（3）函数在上有零点；（4）对于任意的，则其中所有正确命题的序号是_13定义表示，中的最小值，表示，中的最大值则对任意的，的值为_三、解答题14若ab0，m0，判断与的大小关系，并加以证明.15用作差法比较与的大小.16已知与均为正有理数，且与均为无理数证明：也是无理数17判断下列各题中的条件是结论的什么条件（1）条件：、，结论：；（2）条件：，结论：.18已知函数（）求，的值；（）求函数的零点.19（1）已知，求的取值范围；（2）求不等式的解集.20试比较下列各组式子的大小：（1）与，其中；（2）与，其中.参考答案：1C当时，不正确；当时，不正确；

4、正确；当时，不正确.【详解】对于，当时，不成立，不正确；对于，当时，不成立，不正确；对于，若，则，正确；对于，当时，不成立，不正确.故选：C.关键点点睛：利用不等式的性质求解是解题关键.2A先根据对数函数的单调性判断a，b，c的范围，再根据范围逐一四个选项的正误即可.【详解】根据对数函数单调性可知，即.因为，则，故，故错误，正确；，则，而，故，故错误，正确.故选：A.3D根据不等式的性质逐项判断即可得出【详解】对A，当时，不成立，所以A错误；对B，当时，不成立，所以B错误；对C，当时，不成立，所以C错误；对D，因为，所以，即，正确.故选：D本题主要考查不等式的性质应用，属于基础题4B先设该企业

5、每周生产甲乙两种零部件分别为：，件，每周利润为，根据题意，得出约束条件，和目标函数，利用数形结合的方法，即可得出结果.【详解】设该企业每周生产甲乙两种零部件分别为：，件，每周利润为：，则由题意可得：，画出所表示的平面区域如下：因为目标函数可化为，则表示直线在轴的截距，由图像可得，当直线过点时，在轴的截距最大，此时取最大值；由解得：，即，满足；因此.故选：B.本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.5A【详解】分析：将不等式两侧平方，或者根据绝对值三角不等式得到结果.详解：A. ，两边平方做差得到4xy0,成立；B. 根据A的判断，此选项不正确.C. 变形为：,根据

6、绝对值三角不等式得到，故选项不正确；D. ，同C，根据绝对值三角不等式得到,故选项不正确.故答案为A.点睛：一般比较大小的题目，常用的方法有：先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算无法比较出大小关系，再找中间量，经常和0，1，-1比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小6C【详解】作出的图象，如图所示，可令，则有图知点，关于直线对称，所以，又，所以，由于（、互不相等），结合图象可知点的坐标为，代入函数解析式，得，解得，故选7B利用作差法比较a,c大小，再分别比较b,c与的关系即可求解【详解】a-c=,故,即b,又故,故即c,所以bc,综上，故选B.本题考查比较对数值的大小

7、，对数函数性质，作差法，插入中间值，准确计算是关键，是难题8利用不等式性质直接判断正确，利用指数函数的单调性判断正确，利用特殊值验证错误即可.【详解】由知，故，得，故正确；取，满足，但，不满足，故错误；由指数函数单调递增可知，则，故正确；由知，根据不等式性质可知，故，故正确.故答案为：.9对于，利用基本不等式判断，对于，平方后作差比较即可，对于，利用基本不等式判断，对于，对化简后利用基本不等式求解其最小值【详解】对于，因为，且，所以，即，当且仅当时取等号，所以正确，对于，因为，所以，所以，所以错误，对于，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以正确，对于，因为，且，所以，所以，当且仅当时取等号

8、，所以正确，故答案为：10设高一年级选手人数高二年级选手人数高三年级选手人数教师选手人数分别为，根据条件列不等式求解即可.【详解】设高一年级选手人数高二年级选手人数高三年级选手人数教师选手人数分别为，且为正整数，则，从而，解得故选手至少有人.11首先可确定，；采用作差法可得，由此可得结论.【详解】，；又，；，；，；故答案为：.12(2)(3)(4)根据给定函数，借助该函数的单调性可判断命题(1)、(2)；利用的单调性结合零点存在性定理可判断命题(3)；利用均值不等式可判断命题(4)即可作答.【详解】对于(1)，因为减函数，则当时，(1)错；对于(2)，设，而为减函数，即，不等式成立，当时，同理

9、，(2)正确；对于(3)，因，而在R上单调递减，则在上有零点，(3)正确；对于(4)，任意的，(4)正确，所以正确命题的序号是(2)(3)(4).故答案为：(2)(3)(4)13首先，设，从而得到关于m的限制条件，然后，得到m的最小值【详解】设，、，即，可得，即有m的最小值为，故答案为本题考查新定义的理解和运用，注意不等式的性质的应用，属于难题14见解析【详解】试题分析：解：=ab0，m0，b-a0，a+m0， ，考点：本题考查比较大小-作差法点评：解决本题的关键是掌握比较大小的方法，作差比较，注意作差后整理，再进行讨论15根据作差法两式相减，并化简与判断正负，即可求解【详解】当且仅当时取等，

10、所以16证明见解析先假设为有理数，推导出为有理数，与已知条件矛盾，由此证得也是无理数【详解】假设为有理数，则有，而，所以仍为有理数所以应为有理数从而为有理数，与已知条件矛盾故假设不成立，所以也是无理数当直接推导不易得出结论时，可以用反证法证明反证法的格式为：假设结论不成立，即其否定成立，由此推理得出的结论与已知条件（或定理）矛盾，说明假设不成立，原命题正确17（1）既不是的充分条件，也不是必要条件；（2）为的充分不必要条件（1）本题可根据、可能一正一负以及、可能都是负数得出既不是的充分条件、也不是必要条件；（2）本题可根据可能等于以及真子集的性质得出为的充分不必要条件.【详解】（1）因为满足“

11、、，”的、可能一正一负，所以条件不能得出结论，因为满足“”的、可能都是负数，所以结论不能得出条件，故既不是的充分条件，也不是必要条件.（2）因为可以得出，所以条件能得出结论，因为当时，可能等于，所以结论不能得出条件，故为的充分不必要条件.18(1)=1，=1，见解析 （2） 、， .【详解】试题分析：(1)由题给出了一个分段函数，可根据自变量的取值情况，确定相应的解析式求出函数值而对于，则需对自变量加以讨论，求出函数值.（2）求函数的零点及求函数值为零的值，即求相应方程的根但要注意的取值范围，取交集最后对每种情况的解取并集试题解析：（）因为，所以；因为，所以；当，即时，；当，即时，；当，即时，；所以（）由题意，得，解得；或，解得.又因为，所以函数的零点为、与.考点：1.分段函数与求函数值及分类思想；2.函数的零点及交集思想.19（1）；（2）答案见解析.（1）利用不等式的性质即可求解；（2）求出方程的两个根为和1，讨论和1的大小关系，分三种情况求不等式的解集即可.【详解】（1）因为，所以，又因为，所以，所以的取值范围是；（2）由，可得，方程的两个根为和1，当，即时，此时不等式解集为；当，即时，它的解集为或；当，即时，它的解集为或.综上可得：当时原不等式的解集为，当时