人口迁移问题、最小二乘法问题、基因距离表示解读

1、1.人口迁移问题假设有两个地区如南方和北方，之间发生人口迁移。每一年北方50%的人口迁移到南方，同时有25%的南方人口迁移到北方，直观上可由下图表示：问题：如果这个移民过程持续下去，北方的人会不会全部都到南方？如果会请说明理由；如果不会，那么北方的最终人口分布会怎样？解：首先进行假设，假设最初北方的人数为N,南方的人数为S,移民过程持续下去，最终北方的人数为X,南方的人数为Y。因为移民过程一直持续，我猜想最终南北方的人数应该达到一种平衡，从南方转移到北方和从北方转移到南方的人数应该恰巧相等，而且其中的南方人和北方人的人数也相等，首先对结果进行大胆猜想：X=1/3（N+S）；Y=2/3（N+S）

2、；ai+i=0.50.250.50.75a.，其中i0；小心求证：从第1年开始北方人数为N.南方人数为Si，i为年份，可以得i，i到下表，年份01234北方人数NN1=0.5N+0.25SN2=0.5N1+0.25S1N3=0.5N2+0.25S2南方人数SS1=0.5N+0.75SS2=0.5N1+0.75S1S3=0.5N2+0.75S2假设每年北方和南方的人数为向量ai=NiS.t,i为年份，可以得到以下式子:a2=0.50.5。250.50.7510.50.250.50250.50250.750.50.7500.50.750由上式得出：0.50.25ai=0.50.75a0；0.50.

3、250.50.250.5。250.5。2530.50.7520.50.750.50.7500.50.750随着移民过程一直持续下去，得到最终南北方人数为nnTglima=lim0.50.25阿0.5最终需要求解矩阵A=.5|九E-AI=O,解得矩阵A的特征值为九1=1/4,九2=1，对应的特征向量为卩1=12T,00.25P-1。0.25.75的n次幂，首先求出矩阵A的特征值,1卩2=1-1T，令P=2因此得到1101一1,则P-1AP=0-25，因此A=P0limAn=lim(P100P-1)n=P0.25Tglim10np-1=p100.250nTg0P-1=02-1i00012/331/

4、31/3-1/3一2/312/331/32/3a0=1/3(N+S)2/3lim1/3最终南北方人数为nTgan=2/3最终北方人数为1/3(N+S),南方人数为2/3(N+S),其中N,S为初始北方和南方人数。2.最小二乘问题nTg(N+S),即n0.50.750一颗导弹从敌国发射,通过雷达我们观测到了它的飞行轨迹,具体有如下数据：水平距离/m02505007501000高度/m08151920我国军情处分析得出该导弹沿抛物线轨道飞行。问题：预测该导弹在什么水平距离着地。解：一颗导弹从敌国发射,我们通过雷达观察到了导弹的飞行轨迹及具体数据,我国军情处分析出该导弹沿抛物线轨道飞行。在我们学过的

5、高中数学知识中可以得知,抛物线的函数方程为y二ax2+bx+c高中学习的知识使我们知道只要得到抛物线上3个点的坐标，我们就可以将抛物线的方程求解出来，题目中的数据给我们提供了5个点。首先选取前3个点对抛物线的方程进行试求：点1（0,0），点2（250,8），点3（500,15），将上述3点坐标带入抛物线的方程中得到方程组：c=0；22500a+250b+c=8；250000a+500b+c=15；解方程组得：a=-0.000004878048780；b=0.032439024390244；c=0；在MATLAB中作出该抛物线方程的图像，以及题目中表格中数据如图所示由图像我们可以看出，该函数曲线

6、与题目中的数据相比，除了点1，点2，点3在该曲线上，剩余两点均距离曲线较远，并且剩余两点没有均匀分布在曲线的两侧。如果在题目中的点任意选择3点，将会存在一共有C5=10种选取方法,但是每一种方法都不会将题目中5个点的数据都利用起来，得到的结果也不准确。如何将题目中的每个点的数据都利用起来，得到一个更确切描述该抛物线的方程，是本报告题目的内容：利用矩阵的范数解决曲线拟合问题，该方法也称为最小二乘法。首先设定该抛物线方程式为y二ax2+bx+c将x的值分别带入该方程式得到一组数值：c,62500*a+250*b+c,250000*a+500*b+c,562500*a+750*b+c,1000000

7、*a+1000*b+c，假设c,62500*a+250*b+c,250000*a+500*b+c,562500*a+750*b+c,1000000*a+1000*b+c，向量y=08151920，P=G-Y=c,62500a+250b+c-8,250000a+500b+c-15,562500a+750b+c-19,1000000a+1000b+c-20，下面求向量P的2范数，J=|P|2=1382812500000a2+3125000000ab+3750000ac-69875000a+1875000b2+5000bc-87500b+5c2-124c+1050，当向量P的2范数取最小值时，有最优

8、解。将J对a,b,c,求偏导数得Ja=2765625000000a+3125000000b+3750000c69875000；Jb=3125000000a+3750000b+5000c87500；Jc=3750000a+5000b+10c124；令Ja，Jb，Jc=0，取极值，解得：a=-0.000019428571429；b=0.039828571428571；c=-0.228571428571423；最终解得抛物线方程为：y二-0.000019428571429x2+0.039828571428571x-0.228571428571423在MATLAB中绘制该抛物线方程和各个坐标点：可见该

9、抛物线方程正好处在各个点的附近，没有单一方向的偏差，完整的利用5个点的坐标，良好的解决了这个问题。令y=0,得x1=5.7550372370504140600543712713625；x2=2044.2449627177069388821200988843。即炮弹最终在2044.24米处降落。MATLAB解决该问题的程序如下:formatlongx=0:250:1000y=08151920symsabcG=a.*x.*x+b.*x+cP=G-yJ=sum(P人2)Ja=diff(J,a)Jb=diff(J,b)Jc=diff(J,c)A=2765625000000312500000037500

10、00;312500000037500005000;3750000500010B=6987500087500124C=B/Ag=-0.000019428571429*x.*x+0.039828571428571*x-0.228571428571423plot(x,y,r*)holdonplot(x,g)holdoffIegend(数据点(x,y),拟合曲线f(x)=-0.000019428571429*x.*x+0.039828571428571*x-0.228571428571423),xIabeI(x),yIabeI(y),title(实验数据点xi,yi)及拟合曲线f(x)solve(-0

11、.000019428571429*x*x+0.039828571428571*x-0.228571428571423=0,x)程序结果如下：x=02505007501000y=08151920G=c,62500*a+250*b+c,250000*a+500*b+c,562500*a+750*b+c,1000000*a+1000*b+cP=c,62500*a+250*b+c-8,250000*a+500*b+c-15,562500*a+750*b+c-19,1000000*a+1000*b+c-20J=1382812500000*a人2+3125000000*a*b+3750000*a*c-69

12、875000*a+1875000*b人2+5000*b*c-87500*b+5*cA2-124*c+1050Ja=2765625000000*a+3125000000*b+3750000*c-69875000Jb=3125000000*a+3750000*b+5000*c-87500Jc=3750000*a+5000*b+10*c-124f4i=0.22080000000000000.2069000000000000.5723000000000001.0e+012*2.7656250000000000.0031250000000000.000003750000000B=0.0031250000

13、000000.0000037500000000.0000000050000000.0000037500000000.0000000050000000.0000000000100006987500087500124C=-0.0000194285714290.039828571428571-0.228571428571423g=-0.2285714285714238.51428571425882714.82857142846407518.71428571404432620.171428570999574ans=5.75503723705041406005437127136252044.244962

14、71770693888212009888437.基因距离表示在ABO血型的人们屮,灯各种粋休的基因的频率进行研究.如果我们把四种等位基因和,如B,O区别比则有如下表所示的相对频率:表1,1基因的相对频率爱斯基摩人fu班图人屁英国人hi朝鲜人払Ai0.29140J0340.20900.2208&0.00000.08660.06960.0000B0.03160.12000.06120.2069O0.67700.69000.66020.5723合计1.0001.0001.0001.00(问题吓群体与另-科体的接近程度如何?换句话说，就是要一个表示基因的“距离浹的合宜的量度.解：前一段时间看过吴军博士

15、的一本书数学之美，其中有一章的题目是：余弦定理和新闻的分类，所以一看到这道题，参照书中新闻的分类，我认为题目中判断一个群体与另一个群体的接近程度，或者说一个表示基因的“距离”的合宜量度，应该用两个群体间各个基因组成向量之间的余弦定理来进行。假设代表爱斯基摩人，班图人，英国人，朝鲜人的四种等位基因的向量分别为f1i，f2i，f3i，f4i，其中：f1i=0.29140.00000.03160.6770T;f2i=0.10340.08660.12000.6900T;f3i=0.20900.06960.06120.6602T;f4i=0.22080.00000.20690.5723T;在MATLAB

16、中输入上述4个向量，并分别求余弦，程序如下所示:f1i=0.29140.00000.03160.6770f2i=0.10340.08660.12000.6900f3i=0.20900.06960.06120.6602f4i=0.22080.00000.20690.5723yuxian12=dot(f1i,f2i)/norm(f1i)/norm(f2i)yuxian13=dot(f1i,f3i)/norm(f1i)/norm(f3i)yuxian14=dot(f1i,f4i)/norm(f1i)/norm(f4i)yuxian23=dot(f2i,f3i)/norm(f2i)/norm(f3i)

17、yuxian24=dot(f2i,f4i)/norm(f2i)/norm(f4i)yuxian34=dot(f3i,f4i)/norm(f3i)/norm(f4i)结果如下所示:f1i=0.29140000000000000.0316000000000000.677000000000000f2i=0.1034000000000000.0866000000000000.1200000000000000.690000000000000f3i=0.2090000000000000.0696000000000000.0612000000000000.660200000000000yuxian12=0.

18、952270970088127yuxian13=0.989070612813238yuxian14=0.959680192407480yuxian23=0.984373224079719yuxian24=0.958470371187178yuxian34=0.965391030460819上述余弦值良好的表示了各个人种之间的差异，其中爱斯基摩人和英国人之间的差异最小，爱斯基摩人和班图人之间的差异最大。读书的好处1、行万里路，读万卷书。2、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。3、读书破万卷，下笔如有神。4、我所学到的任何有价值的知识都是由自学中得来的。达尔文5、少壮不努力，老大徒悲伤。6、黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。颜真卿7、宝剑锋从磨砺岀，梅花香自苦