傅里叶变换分析法

1、信号与系统(Signal & system)教师：徐昌彪 HYPERLINK mailto: 2。411、25电路基础教学部1第三章信号的频谱分析与傅里叶变换分析法。3.1周期信号的傅里叶级数3.2周期信号的频谱与功率谱。33傅里叶变换。34典型信号的傅里叶变换。3.5傅里叶变换的性质:，3.6周期信号的傅里叶变换3.7能量谱密度与功率谱密度3.8傅里叶变换分析法。39无失真传输系统与理想低通滤波器3.10柚样定理电路基础教学部2004年11月25日10时7分傅里叶。傅里叶(Jean Baptiste Joseph Fourier 17681&30)生于法国中部欧塞 尔一个裁缝家庭,8岁时沦为

2、孤儿。最早使用定积分符号，傅立叶级数的(三角级数)创始人.。17”年任巴黎琮合工科大学助教,17弗年随拿破仑军队远征埃及.回国后 被任命为格伦诺布尔省省长.。1817年当选为巴黎科学院院士. 1*22年成为科学院终身秘书.。1807年，他向科学院呈交了一篇题为“热的传播,的论文.在论文的审阅人 中，拉普拉斯、蒙日和拉克鲁瓦都是赞成接受这篇论文的.但是遭到了拉 格朗日的强烈反对.于是，这篇文章为此而未能发表.。为了推动对热扩散问题的研究,科学院于1810年悬赏征求论文.傅里叶呈 交了一篇对其1807年的文章加以修改的论文，题目是“热在固体中的运动 理论这篇论文在竞争中获胜，傅立叶曾获得科学院颁发

3、的奖金,可能 是由于拉格朗日的坚持.这篇论文又未能正式发表.傅里叶认为这是一种无理的非难，他决心将这篇论文的数学部分扩充成为 一本书.他终于完成了这部书,书名热的解析理论，于1822年出版.热的解析理论，是记载着傅里叶级数与傅里叶积分的诞生较过的重要 历史文献，是一部划时代的经典性著作.电路基础教学部20M年11月2SH10时7分3.1周期信号的傅里叶级数3.L1三角形式傅里叶级数(Fourier series)3.L2指数形式傅里叶级数电路基础教学部20M年11月2SH10时7分311三角形式傅甄级数*以7为周期的周期信号八a若满足下列狄里赫勒条件：在一个周期内只有有限个不连续点；在一个周期

4、内只有有限个极大值点和极小值点：/在一个周期内绝对可积。*则有：8ft=cosn+ hfi sin。/)，=I5电路基础教学部200侔11月25日10时7分3.1.1三角形式傅里叶级数(2)/(，)= 。+ *(% COS + bn sin Atty/) =1| eT/l其中3 TL/曲2 fT/2= - J / J(r)cos“例/M (，= L2J,)2 cTJZ儿=./(/)sin n(Ddtn = 1,23 )T j-r/26s称为基本角频率4，称为傅里叶系数电路基础教学部2004年11月25 H10时7分3.1.1三角形式傅里叶级数（3）00/二% + Z 4 cos（ 。（/ +

5、二1其中儿二T-b（P. - arctgt -）%为信号的直流分量工cos（孙，+外）为信号的几次谐波分量任何一个满足狄里薪勒条件的周期信号都可以分解为一个直 流分量和许多谐波分量之和.电路基础教学部20M年11月25日10时7分3.1.1三角形式傅里叶级数（4）。信号波形的对称性与傅里叶系数之间的关系加）为偶函数:无正弦项，即儿=0/（，）为奇函数：）=人无常数项和余弦项，即0。小，产0/I。为偶谐函数：人。=/仕172）无奇次谐波项，即2出0，册出制八，）为奇谐函数：/，）=/（仕772）无常数项和偶次谐波项，即。心产0,如产0电路基础教学部20M年11月25日10时7分3.1.2指数形式

6、傅里叶级数(1)/(/)= 土|”二一8其中 匕=妙川称为傅里叶更系数说明：入=；。-A) T,八电路基础教学部201M年11月25 H10时7分3.1.2指数形式傅里叶级数(2)。例：求如图所示信号的傅里叶级数.rri24 T/=_(f d，= 产2，小.2A ,an =亍 j . J(，)cos0 (tfM cosm / + b sin n /) MsmAt 6 2.=T +Z Sl，1( . C0SWfl?(/T rtnjr2/匕=口；：/(小力=；(。-九)/T20 八”二合皿咏)tSa(咏)A。开2T2/“)=七尸尸岑强空尸J4F*/、Mn ,v 1x )dx = J11电路基础教学

7、部MUIJ月25日10时7分3,2周期信号的频谱与功率谱0321周期信号的频谱(Spectrum)03.22周期信号的功率谱(Powerspectrum)2004年月25日10时7分321周期信号的频谱(1)/（，） = % + Z An co fiV +（pn） M=!/（，）= i寸卬If -各种周期信号的区别在于：分量的数目、角频率、幅度、相位.频谱：幅度谱、相位谱单边频谱:双边频谱:单边幅度谱 单边相位谱 双边幅度谱 双边相位谱6 ”加”；I-* n g仇，必.电路基础教学部20辟11月25日10时7分321周期信号的频谱(2)电路基础教学部20辟11月25日10时7分321周期信号的

8、频谱(3)0例：求周期矩形脉冲信号的双边频谱。A Ji、 -4r /明了= sin( )=)nn 1 T 115电路基础教学部200眸11月25日10时7分321周期信号的频谱(4)周期信号频谱的特点.离散性谐波性收敛性r和7与频谱的关系随着T的增大，各条谙 线高度减小,谙战变密. 有效频带宽度不变.，随着e的盛小,各条谱 线高度减小，有效频度带 宽度增大.有效频度带宽度与脉冲宽 宽成反比16电路基础教学部200411月25日10时7分322周期信号的功率谱称为帕什瓦尔定理17电路基础教学部20M年11月25日10时7分33 傅里叶变换(Fourier transform)3.3J傅里叶正变换

9、03.32傅里叶反变换0333频谱密度函数电路基础教学部20M年”月25日10时7分为实函数e（3） 0/U）为实偶函数/（G）为实偶函数四）为实奇的数/（0）为虚奇函数电路基础教学部20M年11月25日10时7分3.3.1傅里叶正变换（1）。定义/（力 f 尸（。）=应用此式的条件，/U）在无限区间内绝对可积.IdfeJt = F 尸Jro2乃 J-00电路基础教学部2OM年II月25日10时7分333频谱密度函数（1）。周期信号/（，）=，y表明：周期信号可以分解为无限多个频率为“g、复振何 为叱的指数分量J*”的离散和.其频谱是离散的.。非周期信号/（/=-尸（）飞 fr J-8表明；非

10、周期信号可以分解为无限多个频率为0、复振幅为尸（0）do/（2兀）的指数分量匕W的连续和（积分）其频谱是连续的,用尸（）来描述非周期信号的频谱特性.22电路基础教学部20M年II月25日10时7分34典型信号的傅里叶变换原函数/) 一 TOC o 1-5 h z 3(，)r(r 一AcAeU(t)(a 0)今4(r(r+-)-r(/-)i 22Agn(t) cos(w/) -像函数户1君(公)+ j2 兀4331J0)+“j。k3g)+一刃.H电路基础教学部2004年II月25日10时7分3.5傅里叶变换的性质(2)。比例性若 /(f)C 厂(口)，则 /(.) 1a例；以“)?门-OS) ?

11、解！J(2/)e0.5(4/) 一芯()十，(-()&)一 1兀d(，L_)+?1-0.51-也 5 人”(-07u8(a)-26电路基础教学部2004年II月25日10时7分3-5傅里叶变换的性质(3)比例性说明了，在时域中扩展一个信号的持续时间，对 应于在频域中压缩了它的频率范围；反之，在时域中压 缩一个信号的持续时间，则对应于在领域中扩展了它的 频率范围。若要压缩信号的持续时间，则不得不以展宽频带宽度为代价，所以在通信技术中，通信速度和所需频带宽度是一对矛盾.27电路基础教学部20M年II月25日1。时7分35傅里叶变换的性质。对称性若 /(f)一尸(勿)， 则 尸2/(-0)例：？Sa

12、(，)Q?解：rlb(/)c.4A c= 2兀lb(y)2sgn(Oo 2小 2尸 sgn(一。)fl；o j;rsgn(-g) = -/笈 sgn(o)2电路基础教学部200碑11月25日10时7分3-5傅里叶变换的性质(5)，1处(力 c6。(等)A tSa(tr)4- 2xlgt(-m)2c 咽&-&) =邛(a)例：？一门外)？ 一 ”()?4-cos(2fi解：l:(八一痴(。)+ 一ja松(，)+ 1 4- 2就.(-)力 C(zy) Ijac l 一 加+1- 2 疝r(-0) x+idL，3)2万(1 - jt)电路基础教学部20M年11月25日10时7分3.5傅里叶变换的性质

13、(6)cos 2/ c 加6(。+ 2) + 3(。- 2)再3(，+2) + 3( 2 )| 2-cos( -2af)1 5(t + 2)+6(，-2)ccos(2d 2。时移性若 /(7)4尸S),则 /(，一，0)一八。始一，叫例：S(TT)c? C(r-r0)?解：了-1双Jjd30电路基础教学部20M年11月25日10时7分3.5傅里叶变换的性质松十 加时(+ 1 卜，%=痴()+ d Mjajo)例；若/)一(),则 /WT)3?解；/一尸3)八，-%)6网0)y时移I 0JT/(W二 la I a比例31电路基础教学部200侔II月2S日10时7分3.5傅里叶变换的性质(8)二频

14、移性若/(/)一/3),则/”一尸()例R若/尸3),则/(r)cosa0/ ?解:COS(0/)= -调制波悬偶己f浓八力 if /(r)cosa)e/C3QV/ (r)cos0j=1/(7) + /(37 一 匕尸(0 十 % )+ 尸(0 2232电路基础教学部2004年II月25日10时7分/(一2，-4)/ 一1尸(一丝血力 22时移 口 比例 频移3.5傅里叶变换的性质(10)例,若/一尸(),则/(-2一4*3-？解，/(人明尸()ers一aQ) -JA-一/(-2/-4)/(上/21-21 -2.AH AKfiat T )ea c -F( L)e-J 丁I tf I a电路基础

15、教学部2004年11月25日10时7分3-5傅里叶变换的性质(11)。卷积定理时域卷积定理若 x(tX(0) h(t) 4-4 H(o) 则】，田)H(a)-、(。)了= X(d)初35电路基础教学部2004年11月25日1。时7分3.5傅里叶变换的性质(12)例：?解：(? t 父 一=-Ljo)+1 /ft) + 2 (jo)+ I)(joj -t-2)解；F,(O) = A rfT(r()(f) C 尸式)=Sa(/(/) = /)*/?，)-匕(g)尼() = A sS储(?)36电路基础教学部2WM年11月25日10时7分3S叶变换的性(13)领域卷积定理若 /) 一尸(切)- G(

16、0)则，)c 丁/3)/6) In例：已知/c尸3) 则/a)cosJc?解；COSfi0/ 一乃1510 +牡）+5（。一/0）/（f）cossjc 1 1尸3）*5+0.） +（?S-5） In= -”3 +g）十一。0）电路基础教学部20M年1；月25日10时7分3-5傅里叶变换的性质(14)时域微分性若/(，)- “)，则”2一加尸() dr推广，驾詈一(向3) dt例：即)01?解：搦。= ( )一J词花(3)+1 = 1 j即WO3电路基础教学部200侔1；月25日10时7分3.5傅里叶变换的性质(15)例：已知/(力一尸)，则八&TJC?解二F3)/(%) 一尸3)2-x 31

17、/ /(WTJ什三尸(竺k -u I aO)/(W _ OI I ：)J/(，)c/) 5，城(0)/(fT/c jo)F(Q)e /W一)C Jj M F( )J Jlai a a试判别上述哪 个为正确答案,并对错的予以纠正39电路基础故学部20M年1；月25日10时7分3.5傅里叶变换的性质(16)时域积分性若 /(/)则 / (，=/(了HrJ-B/0解：内(” -1-=5i)a)c 淄+一电路基础故学部20M年1；月25日10时7分3-5傅里叶变换的性质(17)Alt TOC o 1-5 h z Q） T解：/（，）=/（，）（。）=/Sa（,工 21/（/） =（prJr 和闻6（0

18、）+ 6）= .l）jja241电路基础教学部20M年II月2s日10时7分3.5傅里叶变换的性质g tn/例；2 1 一?7)57i 7解：双，)=/) (&) = 1/(r)= 1+q(T)dr 4- 2雄(勿)+m(U)8(公) + J sj(D尸(0) = 3松(力)+一电路基础教学部20M年1；月25H10时7分3-5傅里叶变换的性质（20）9 *解：伊）=ft ） C 中（0）= 3。八 m2。+ 4Sa 励F() = (/(-eo)+ /(8*(0)+ 60)=一加丸/）+%？& 枇-A*u + 4$a20电路基础教学部2004年11月2S日10时7分3-5傅里叶变换的性质（21）频域微分性苟壮尸（）,则一a）c推广；dm，也也或（-川/一阴do）do或（-川”/（，）