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1、一、多元函数的无条件极值三、条件极值及拉格朗日乘数法二、多元函数在闭区域上的最值.9 多元函数的极值与最大(小)值三、条件极值及拉格朗日乘数法求 z=f(x,y), (x,y)D满足条件 (x,y)=0 的极值问题即为条件极值。称 z=f(x,y)为目标函数。称 (x,y)=0为约束条件。此方法叫lagrange乘数法则条件极值点必满足方程组:(条件极值点的必要条件)切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解例1在第一卦限内作椭球面 的设 为椭球面上的切点, 过 的切平面方程为 法向量化简为 该切平面在三个轴上的截距各为 所围四面体的体积 过 的切平面方程为 在条件 下

2、求 的最小值, （约束条件）即可得( ， ， )时,故 当切点坐标为四面体的体积最小拉格朗日乘数法在约束条件为两个的情形： 则条件极值点必满足方程组:(条件极值点的必要条件)求椭球面 被平面x+y+z=0 截得的椭圆的长半轴与短半轴之长。解：设P(x,y,z)为上的任一点，则P到O(0,0,0)的距离故问题即为求满足：的最大、小值（条件极值问题）.（目标函数）例2：（P81.11）(约束条件)令代入（5） x+y+z=0 有即即由(6)知长半轴为：短半轴为：设u=F(x,y,z)在条件例3（P81.15）由题意知解:三曲面在点的法向量分别为又三曲面在点的法向量分别为由（）式知由三法线方向向量共面，且都过点知三法线共面例4解：最值在-1,1 的端点：方法（）：比较由0及0所求的函数值的大小设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t有(k为自然数) 试证明：F(x,y,z)=0上任一点的切平面相交于一点。 证明：设 为曲面F(x,y,z)=0上的任一点。则过 的法向量切平面方程为：（P81.13）将曲面F

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