《微积分》第二篇第一章讲义不定积分课件

1、经济数学基础微积分第1页，共51页。第二篇 第一章 不定积分原函数的概念 、不定积分的求法本章难点：原函数的概念、分部积分法本章重点：第2页，共51页。一、不定积分的概念（一）原函数的概念1、回顾求“导数”例如：现在，我们问：这个过程是否可以反过来？即：第3页，共51页。【定义1.1】(P220)【注意】其中c为任意常数所以，都是 的原函数。第4页，共51页。第5页，共51页。【例1】 给定函数求它的一个原函数。【解】因为我们知道【例2】 给定函数求它的一个原函数。【解】因为第6页，共51页。讨论1：任给一个函数，它是否总有原函数？结论1：初等函数总有原函数！答：不一定。讨论2：如果一个函数有

2、原函数，会有多少 个原函数？可见，原函数是不唯一的。结论2：一个函数有原函数的话，就有 无穷多个原函数。第7页，共51页。（二） 不定积分的定义定义1.2:【例】其中 f(x) 称为被积函数，x 为积分变量。第8页，共51页。注意：【例如】记住：求不定积分就是求原函数第9页，共51页。二、不定积分的求法实际上导数和不定积分是两种互逆运算。所以类似于求初等函数的导数，求初等函数的不定积分，也分三个方面:（1）积分的基本公式；（2）不定积分的四则运算法则；（3）不定积分与复合运算的关系.第10页，共51页。由前面的分析知道：求导公式反过来就是积分公式（一）不定积分的基本公式也就是说，有一个导数公式

3、，反过来就有一个积分公式 导数基本公式积分基本公式第11页，共51页。解：注意：幂函数求导数会降低幂次，求不定积分 会增加幂次。解：第12页，共51页。解：解：第13页，共51页。解：解：第14页，共51页。导数基本公式积分基本公式证明：将两个结果统一起来就得到积分公式(3). 第15页，共51页。【解】导数基本公式积分基本公式第16页，共51页。导数基本公式积分基本公式第17页，共51页。以上这些积分基本公式都是需要牢记的另外，有一种方法可以检验不定积分计算的正确与否：就是将计算结果求导数，看是否等于被积函数。积分公式固然重要，但最重要的还是求导公式。第18页，共51页。系统回顾一下积分基本

4、公式第19页，共51页。第20页，共51页。（二）不定积分的四则运算法则实际上都是由求导法则推出来的。第21页，共51页。例4：解：性质1性质2第22页，共51页。例5：解：像这种利用不定积分的性质1、2和积分基本公式直接计算出不定积分的方法称为直接积分法 第23页，共51页。【练习1】课本225页，练习1.2 题1第24页，共51页。【解】性质1第25页，共51页。求复杂积分的两种方法1、第一换元法（凑微分法）2、分部积分法第26页，共51页。（三）第一换元法（凑微分法）分析：第27页，共51页。【解】第28页，共51页。【基本想法】 被积函数复杂时，找一个中间变量将被积函数变成简单函数求积

5、分。用公式表达为：第29页，共51页。第一换元法（凑微分法）的步骤：第30页，共51页。【解】第31页，共51页。解：第32页，共51页。【练习2】课本236页，练习1.3 题2第33页，共51页。【解】第34页，共51页。2、第二换元法解：为使被积函数有理化,作变换代入原式得：第35页，共51页。第36页，共51页。（四）分部积分法主要是用于处理被积函数是两个函数相乘的形式的不定积分。定理1.2（分部积分公式）写成微分形式：第37页，共51页。运用分部积分法求不定积分，主要是要熟练运用分部积分公式。分部积分法求 的步骤是：将左边复杂的积分化为右边简单的积分。第38页，共51页。解：第39页，共51页。问题：两个函数先找哪个函数的原函数呢？方法是： 幂函数乘以三角函数时，先找三角函数 的原函数； 幂函数乘以指数函数时，先找指数函数 的原函数； 幂函数乘以对数函数时，先找幂函数的 原函数。第40页，共51页。【解】 幂函数乘以三角函数时，先找三角函数 的原函数；第41页，共51页。解：【注意】连续多次运用分部积分公式第42页，共51页。解：第43页，共51页。解：第44页，共51页。解：第45页，共51页。一般地，要记住：第46页，共51页。【练