【新人教版】九年级数学上册：《实际问题与一元二次方程》教案

1、/21.3实际问题与一元二次方程(1)【教学目标】知识与技能：1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻 画现实世界的一个有效的数学模型.2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.过程与方法：经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述情感态度价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值， 提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的 作用.教教学重难点】教学重点：列一元二次方程解有关传播问题的应用题教学难点：发现传播问题中的等量关系【教学过程】一、复习引入1、解一元二次方程都是有

2、哪些方法？2、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？审题；设未知数；找相等关系；列方程；解方程；答 说明：为继续学习建立一元二次方程的数学模型解实际问题作好铺垫.二、探索新知【探究11有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传 染了几个人？思考：(1)本题中有哪些数量关系？(2)如何理解“两轮传染”？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有 人患了流感；在第二轮传染中，传染源是人，这些人中每一个人又传染了 人，那么 第二轮传染了 人，第二轮传染后，共有 人患

3、流感.(4)根据等量关系列方程并求解解：设每轮传染中平均一个人传染了 x个人，则依题意第一轮传染后有 x+1人 患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感.于是可列方程：1+x+x(1+x)=121解方程得xi=10,x 2=-12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了 10个人.(5)为什么要舍去一解？(6)如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？说明：使学生通过多种方法解传播问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的 对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验.【探究2】两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元,

4、 随着生产技术的进步，现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的 成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？思考：(1)怎样理解下降额和下降率的关系？(2)若设甲种药品平均下降率为x,则一年后，甲种药品的成本下降了 元, 此时成本为 元；两年后，甲种药品下降了 元，此时成本为 元。(3)对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x,则一年后甲种药品成本为5000 (1-x)元，两年后甲种药品成本为5000 (1-x)元.依题意,得 5000 (1-x) 2=3000解得：玄=0.225, x2 1.775 (不合题意，舍去)(

5、4)同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率 ，并比较哪种药品成本的平均下降率较大。设乙种药品成本的平均下降率为 y则： 6000（ 1-y ） 2=3600整理，得： （ 1-y ） 2=0.6解得：y 0.225答：两种药品成本的年平均下降率一样大（ 5 ）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？三、巩固练习说明：通过练习加深学生列一元二次方程解应用题的基本思路四、小结作业小结： 1. 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。用“传播问题”建立数学模型，并利用它解决一

6、些具体问题对于变化率问题，若平均增长（降低）率为x ，增长（或降低）前的基数是a,增长（或降低）n次后的量是b,则有：a（1 x）n b （常见n=2）作业：21.3 实际问题与一元二次方程(2)【教学目标】知识与技能： 1. 能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理过程与方法： 通过解决封面设计与草坪规划的实际问题， 学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识情感态度价值观： 通过用一元二次方程解决身边的问题， 体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对

7、促进社会进步和发展人类理性精神的作用【教学重难点】教学重点： 根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题教学难点：发现问题中的等量关系【教学过程】一、复习引入直角三角形的面积公式是什么？?一般三角形的面积公式是什么呢？正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？平行四边形的面积公式是什么？二、探索新知【探究3】如图，要设计一本书的封面，封面长27cm宽21cm, ?正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，?如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽， 左、 右边衬等宽，?应如何设计四周边衬的宽度 (结果保留小数点后一位) ？问题

8、：(1)本题中有哪些数量关系？(2)如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？(4)解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？解：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比= 9: 7, ?由此可以判 定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为 9: 7,设上、下边衬的宽均为9xcm, ?则左、右边 衬的宽均为7xcm,依题意，得：中央矩形的长为(27-18x) cm,宽为(21-14x) cm.因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的 -,则中央矩形的面积是封面面积的.4所以( 27-18x) (21-14x) =- X27X214整

9、理，得：16x2-48x+9=0解方程，得：x=6-3 , 4x 产2.8cm, x2 = 0.2所以：9xi=25.2cm (舍去),9x2=1.8cm, 7x2=1.4cm因此，上下边衬的宽均为1.8cm,左、右边衬的宽均为1.4cm.注意关注学生：(1)对几何图形的分析能力；(2)在未知数的选择上，能否根据情况，灵活处理；(3)在讨论中能否互相合作；(4)解答一元二次方程的能力；(5)回答问题时的语言表达是否准确.说明：使学生体会列方程与解方程的完整结合，通过多种方法解得相同结论，验证 多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影 响，丰富解题经验.【探究4】如图，某中学为方便师生活动，准备在长 30 m,宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3 : 2,若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三,则路宽应为多少?问题：(1)本题中有哪些数量关系？(2)剩余草坪的面积，是否就是原草坪的面积减去四条路的面积?(3)由这些数量关系如何列方程？三、巩固练习有一张长方形的桌子，长6