高中数学选修第一册：空间向量的数乘运算

1、PAGE 空间向量的数乘运算（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.已知向量a=4e1-25e2,b=e1-110e2,则()A.a,b一定共线B.a,b不一定共线C.只有当e1,e2不共线时,a,b才共线D.只有当e1,e2为不共线的非零向量时,a,b才共线2.O为空间任意一点,若OP=34OA+18OB+18OC,则A,B,C,P四点()A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断3.(2013重庆高二检测)在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是CC1的中点,F是A1B的中点,且DF=AB+AC,则()A.=12,=-1B.=-12,=1C.=1,=-12D.=-

2、1,=124.设空间四点O,A,B,P满足OP=mOA+nOB,其中m+n=1,则()A.点P一定在直线AB上B.点P一定不在直线AB上C.点P可能在直线AB上,也可能不在直线AB上D.AB与AP的方向一定相同5.若a,b是平面内的两个向量,则()A.内任一向量p=a+b(,R)B.若存在,R使a+b=0,则=0C.若a,b不共线,则空间任一向量p=a+b(,R)D.若a,b不共线,则内任一向量p=a+b(,R)二、填空题(每小题8分,共24分)6.非零向量e1,e2不共线,若向量ke1+e2与e1+ke2共线,则k=.7.已知O是空间任一点,A,B,C,D四点满足任三点均不共线,但四点共面,

3、且OA=2xBO+3yCO+4zDO,则2x+3y+4z=.8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1E=14A1C1,若AE=xAA1+y(AB+AD),则x=,y=.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.如图,已知四边形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=13BD,AN=13AE,求证:MN平面CDE.10.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外一点O,当OP=2OA-OB-OC时,点P是否与A,B,C共面?11.(能力挑战题)如图所示,若P为平行四边形ABCD所在平面外一点,点H为PC上的点,且PHHC=12,点G在

4、AH上,且AGAH=m,若G,B,P,D四点共面,求m的值.答案解析1.【解析】选A.a=4e1-25e2,b=e1-110e2,a=4(e1-110e2)=4b,a,b一定共线.2.【解析】选B.34+18+18=1,根据向量共面定理,A,B,C,P四点共面.3.【解析】选A.DF=DC+CB+BF=12C1C+CB+12BA1=-12AA1+(AB-AC)+12(AA1-AB)=(1-12)AB-AC=12AB-AC=AB+AC,=12,=-1.4.【解题指南】考查点P是否在直线AB上,只需考查AP与AB是否共线.解决本题的关键是利用条件m+n=1把判断三点共线问题转化为判断AP与AB是否

5、共线.【解析】选A.已知m+n=1,则m=1-n.OP=(1-n)OA+nOB=OA-nOA+nOBOP-OA=n(OB-OA)AP=nAB,因为AB0,所以AP和AB共线,即点A,P,B共线,故选A.5.【解析】选D.当a与b是共线向量时,A不正确;当a与b是相反向量,=0时,a+b=0,故B不正确;若a,b不共线,则平面内的向量都可用a,b表示,对空间向量则不一定适合,故C不正确,D正确,故选D.6.【解析】ke1+e2与e1+ke2共线,存在实数使得ke1+e2=(e1+ke2)成立.e1,e2不共线,k=,1=k,k=1.答案:1【举一反三】若本题条件改为:设e1,e2是空间两个不共线

6、的向量,已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2,且A,B,D三点共线.所求问题不变,结果如何?【解析】A,B,D三点共线,向量AB与BD共线,于是存在实数,使AB=BD,即AB=(CD-CB),2e1+ke2=(2e1-e2)-(e1+3e2)(2-)e1+(k+4)e2=0,e1,e2不共线,2-=0且k+4=0,得k=-8.答案:-87.【解析】A,B,C,D共面,OA=OB+BC+BD=OB+(OC-OB)+(OD-OB)=(1-)OB+OC+OD=(+-1)BO-CO-DO=2xBO+3yCO+4zDO,2x+3y+4z=(+-1)+(-)+(-)=-1.答案

7、:-18.【解析】AE=AA1+A1E=AA1+14A1C1=AA1+14(A1B1+A1D1)=AA1+14(AB+AD),对比系数可得x=1,y=14.答案:1149.【证明】MN=MB+BA+AN=13DB+BA+13AE=13(DC+CB)+BA+13(AD+DE)=13DC+13CB+CD+13AD+13DE=23CD+13DE.又CD与DE不共线,根据共面向量定理,可知MN,CD,DE共面.因为MN不在平面CDE内,所以MN平面CDE.【拓展提升】利用向量法证明线面平行的技巧(1)用向量法证明直线与平面平行一般有两种方法:一是证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行;二是证明直线的

8、方向向量和平面内的两个不共线的向量共面.(2)线面平行的证明方法包含着证明空间线与线,面与面平行的方法.【变式备选】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点.求证:平面EFG平面AB1C.【证明】设AB=a,AD=b,AA1=c,则EG=ED1+D1G=12(a+b),AC=a+b=2EG,EGAC,EF=ED1+D1F=12b-12c=12(b-c),B1C=B1C1+C1C=b-c=2EF,EFB1C.又EG与EF相交,AC与B1C相交,平面EFG平面AB1C.10.【解析】若P与A,B,C共面,则存在惟一的实数对(x,y)使AP=xAB+yAC,于是对平面ABC外一点O,有OP-OA=x(OB-OA)+y(OC-OA),OP=(1-x-y)OA+xOB+yOC,比较原式得1-x-y=2,x=-1,y=-1,此方程组无解,这样的x,y不存在,所以A,B,C,P四点不共面.11.【解析】连接BD,BG.AB=PB-PA,AB=DC,DC=PB-PA,PC=PD+DC,PC=PD+PB-PA=-PA+PB+PD.PHHC=12,PH=13PC,PH=13(-PA+PB+PD)=-13PA+13PB+13PD.又AH=PH-PA,AH=-