2021-2022学年河南省信阳市高一下学期期末数学试题【含答案】

1、2021-2022学年河南省信阳市高一下学期期末数学试题一、单选题1若，则ABCDD根据复数运算法则求解即可.【详解】故选D本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养采取运算法则法，利用方程思想解题2某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，3549岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为（）A33人，34人，33人B25人，56人，19人C30人，40人，30人D30人，50人，30人B【分析】根据分层抽样的原理计算即可.【详解】依题意得，根据公司员工年龄分层情况可知需采用分层抽样，于是不到35岁，354

2、9岁，50岁以上应该分别抽取，即分别为25人，56人，19人. 故选：B3如图，已知等腰直角三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（）ABCDD【分析】由直观图可确定平面图形是以和为直角边的直角三角形，由此可求得结果.【详解】，由此可知平面图形是如下图所示的，其中，.故选：D.4已知甲、乙两组数据（已按从小到大的顺序排列）：甲组：27、28、39、40、50；乙组：24、34、43、48、52.若这两组数据的百分位数、百分位数分别相等，则等于（ ）ABCDA【分析】根据百分位数的定义，求出，故选取第2个数据为百分位数，同理选取第5个数据作为百分位数，求出，进而求出结果.【

3、详解】因为，大于的比邻整数为2，所以百分位数为，大于的比邻整数为5，所以百分位数为，所以.故选：A5已知中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，面积，则（）ABCDB【分析】由余弦定理及三角形的面积公式得到，再两边平方，利用同角三角函数的基本关系即可求出【详解】解：由余弦定理且， 所以，两边平方得，即，即，解得或（舍去）故选：B6四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A平均数为3，中位数为2B中位数为3，众数为2C平均数为2，方差为2.4D中位数为3，方差为2.8C【分析】根据题意举出反例，即可得出正确选项【详解】解：对于

4、A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差S2（62）23.22.4，平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C正确；对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：（1+2+3+3+6）3方差为S2（13）2+（23）2+（33）2+（33）2+（63）22.8，可以出现点数6，故D错误故选：C7函数的部分图象如图所示，则（）A0BC1DD【分析】根据函数图

5、象求出周期，由周期求出，再由图象过点求出得出函数解析式即可求解.【详解】由图知，而， 函数图象过点， ， ，即， ，故选：D8在中，若，则的形状是A等腰或直角三角形B直角三角形C不能确定D等腰三角形A【分析】题设中的边角关系可以转化为，故可判断三角形的形状.【详解】有正弦定理有，因，故化简可得即，所以或者，.因，故或者，所以的形状是等腰三角形或直角三角形.故选A.在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.9设、是复数，则下列说法中正确的是（）A若，则B若，则、互为共轭复数C若，则D若，则C【分析】求出可判断A选项

6、；利用共轭复数的定义可判断B选项；利用复数的乘法可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项.【详解】对于A选项，若，则，可得，A错；对于B选项，设，则，由题意可得，则，但、不一定相等，故、不一定互为共轭复数，B错；对于C选项，设，则，若，C对；对于D选项，取，则，但，则，D错.故选：C.10若是空间两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）若，且，则；若，且则；若，且，则；若，则.ABCDB【分析】根据空间的线、面位置关系的判定逐一判断可得选项.【详解】对于：若，所以或，又，所以，故正确； 对于：若，且则或相交，故不正确； 对于：若，且，则与面不一定垂直，故不正确； 对于：若，由线

7、面平行判定得，故正确.综上得：命题 正确，故选：B.11设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件C【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】ABC三点不共线,|+|+|-|+|2|-|20与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|”的充分必要条件,故选C.本题考查充要条件的概念与判断平面向量的模夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.12我们把底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形中心的三棱锥称为正三棱锥.现有一正三棱锥放置在平而上，已知它的底面边长为2，

8、高，该正三棱锥绕边在平面上转动（翻转），某个时刻它在平面上的射影是等腰直角三角形，则的取值范围是（）ABCDB【分析】分别讨论底面在上的射影为等腰直角三角形和侧面在上的射影为等腰直角三角形时的情况可求解.【详解】首先在中，设其中心为，中点为，则，当为等腰直角三角形时，若底面在上的射影为等腰直角三角形时，如图1，只需，易知，又，所以，此时；若侧面在上的射影为等腰直角三角形时，易知，如图2和图3，可求得，所以，综上，的取值范围是.故选：B.二、填空题13已知向量，则_.12【分析】根据向量的坐标运算求解即可.【详解】，由，得，解得.故1214某大学选拔新生补充进“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个

9、社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团的概率依次为、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且，则的值是_.【分析】利用独立事件的概率乘法公式可得出、的等式组，即可计算计算得出的值.【详解】由题知三个社团都能进入的概率为，即，又因为至少进入一个社团的概率为，即一个社团都没能进入的概率为.即，整理得.故答案为.15已知三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为_.【分析】设点在底面内的射影为点，连接、，利用线面角的定义可求得、，再利用勾股定理可求得、，可

10、得出该三棱锥外接球的半径，结合球体体积公式可得结果.【详解】设点在底面内的射影为点，连接、，因为平面，、平面，所以，直线与平面所成角为，因为，则，由勾股定理可得，所以，点为三棱锥外接球的球心，且球的半径为，因此，该三棱锥外接球的体积为.故答案为.16已知中，且，则的取值范围是_【详解】试题分析：， ,所以, ,向量的数量积三、解答题17设的内角，的对边分别为，且.(1)求角；(2)若，求的最大值.(1)(2)【分析】（1）由正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；（2）由余弦定理、基本不等式计算可得.【详解】(1)解：由正弦定理及，得.所以由余弦定理得，又，所以.(2)解：因为，由余弦定理得，

11、则，所以，当且仅当时取等号，即，解得，当且仅当时取等号，所以的最大值为.18如图所示，直三棱柱中，为中点(1)求证：平面；(2)若三棱柱上下底面为正三角形，求证：平面平面(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】作出辅助线，得到，从而证明线面平行；（2）先证明与，得到平面，结合平面，得到平面平面【详解】(1)连接，与相交于点F，连接MF，则为的中点，因为为中点，所以MF是的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面(2)因为直三棱柱上下底面为正三角形，所以，所以，所以，即，由三线合一可得：，又因为平面ABC，平面ABC，所以，因为，所以平面，因为平面，所以因为所以平面，因为平面，所以平面平面1920

12、22年2月4日，冬奥会在北京与张家口开幕，如图，四边形ABCD是主办方为运动员精心设计的休闲区域的大致形状，区域四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道AC，(1)求氢能源环保电动步道AC的长；(2)若，求花卉种植区域总面积(1)(2)【分析】（1）ADC中用余弦定理求解即可；（2）分别求出ABC和的面积即可解决.【详解】(1)，在ADC中，由余弦定理可知，即(2)在ABC中，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），即，即，所以花卉种植区域总面积为20如图所示正四棱锥S-ABCD，P为侧棱SD上的点，且，求：(1)正四棱锥S-ABCD的表面积；(2)侧棱SC上是否存

13、在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.(1)；(2)存在，.【分析】（1）应用棱锥表面积的求法求正四棱锥S-ABCD的表面积；（2）取SD中点为Q，过Q作PC的平行线交SC于E，连接BQ，BE，由线面平行的判定可得平面PAC，根据等比例性质有，再根据线面平行的判定得平面PAC，最后由面面平行的判定及性质即可确定存在性.【详解】(1)正四棱锥S-ABCD中，则侧面的高，所以正四棱锥S-ABCD的表面积.(2)在侧棱SC上存在一点E，使平面PAC，满足，理由如下：取SD中点为Q，因为，则，过Q作PC的平行线交SC于E，连接BQ，BE.在中有，平面PAC，平面PAC，所以平

14、面PAC，由，则，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，而，故面面PAC，又面，则平面PAC，此时.21在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取了一个容量为40的样本，其中男生18人，女生22人，其观测数据(单位：)如下：男生172.0174.5166.0172.0170.0165.0165.0168.0164.0172.5172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0174.0女生163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0162.5154.0154.0164.0149.0159.016

15、1.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5（1）从身高在的男生中随机抽取2人，求至少有1人的身高大于的概率；（2）利用所学过的统计知识比较样本中男生女生的身高的整齐程度；（3）估计该中学高一年级全体学生身高的方差(精确到).参考数据：，其中男生样本记为，女生样本记为，.（1）；（2）男生群体身高比较整齐；（3）.【分析】（1）身高在区间的3名男生分别记为，身高在区间的2名男生分别记为，利用列举法结合古典概型即可求出答案；（2）分别求出男生女生身高的平均数和方差，比较平均数和方差的大小即可比较样本中男生女生的身高的整齐程度；（3）根据已知条件，运用平均数公式和方差公式，即

16、可求解【详解】解：（1）身高在区间的3名男生分别记为，身高在区间的2名男生分别记为，用表示样本空间中的样本点，则从身高在区间中的男生中抽取2人的样本空间设事件“其中抽取的2人，至少有1人的身高大于”，则，所以，从而.（2）把男生样本的平均数记为，方差记为；把女生样本的平均数记为，方差记为，则，因为，所以男生群体身高比较整齐；（3）把总样本的平均数记为，记差记为，则，因为同理可得.所以该中学高一年级全体学生身高的方差.22已知函数，且函数是偶函数，设(1)求的解析式；(2)若不等式0在区间(1，e2上恒成立，求实数的取值范围；(3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围(1) ；(2) ；(3) .【分析】（1）对称轴为，对称轴为，再根据图像平移关系求