2021-2022学年北京市高一下学期期末数学试题【含答案】

1、2021-2022学年北京市高一下学期期末数学试题一、单选题1在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限C运用复数乘法化简复数得解【详解】，因此复数z对应点的坐标为，在第三象限.故应选C.本题考查复数乘法运算及复数几何意义，属于基础题.2在“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对某区甲、乙、丙、丁四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成下表：学校甲乙丙丁抽查人数50151025“创城”活动中参与的人数4010915若该区共2000名高中学生，估计甲学校参与“创城”活动的人数为（）A1600B1000C800D500C【分析】根据分层抽样成比例

2、，结合该区共2000名高中学生可求得甲学校人数，进而根据“创城”活动中参与的人数的比例求解即可【详解】由题意，抽查比例为，故甲学校人数为人，故估计甲学校参与“创城”活动的人数为故选：C3下列说法正确的是（）A三点确定一个平面B两个平面可以只有一个公共点C三条平行直线一定共面D三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面D【分析】对于A，根据不共线的三点确定一个平面即可判断；对于B，由平面的基本公理即可判断；对于C，考虑三条平行线的位置关系即可判断；对于D，根据三条直线两两相交可能的交点个数进行判断即可.【详解】对于A，因为不共线的三点确定一个平面，故A错误；对于B，若两个平面有一个公共点，那么就有

3、一条经过该点的公共直线，即交线，该交线上有无数个公共点，故B错误；对于C，三条平行直线可能共面，也可能有一条在另外两条确定的平面外，故C错误；对于D，当三条直线两两相交，三个交点不重合时，三条直线共面，当三条直线两两相交于一个点时，这三条直线可能在同一个平面内，也可能不共面，此时其中任意两条直线都可确定一个平面，即可确定3个平面，故D正确，故选：D4若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是ABCDD【分析】利用诱导公式化简选项，再结合角的终边所在象限即可作出判断.【详解】解：角的终边在第二象限，0，A不符；0，B不符；0，C不符；0，所以，D正确故选D本题主要考查三角函数值的符号判断

4、，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键5若一个正四棱锥的高和底面边长都为2，则它的侧面与底面所成角的余弦值为（）ABCDB【分析】作辅助线，找出正四棱锥侧面与底面所成二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.【详解】如图，设PO为正四棱锥的高，O为底面正方形中心，作于E,连接PE,则E为BC中点，故 ,故即为正四棱锥侧面与底面所成的角的平面角，因为正四棱锥的高和底面边长都为2，故,故 ,故选：B6如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，从点测得已知山高，则山高（单位：）为（）ABCDA【分析】计算出，在中，利用正弦定理求得，然后在中可计算

5、出.【详解】在中，为直角，则，在中，则，由正弦定理，可得，在中，.故选：A.本题考查测量高度问题，考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.7已知两个平面，两条直线，给出下面的四个命题：其中，所有正确命题的序号是（）ABCDB【分析】利用线线、线面、面面的位置关系即可判断出答案.【详解】对于：当时不成立.错误.对于：当时有.正确.对于：当时,、直线可平行可异面.错误.对于：当时，可得，则有.正确.故选：B.8如图，将底面半径为2的圆锥放倒在平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2周，则（）A圆锥的母线长为8B圆锥的表面积为C圆锥的侧面展开

6、图扇形圆心角为D圆锥的体积为D【分析】由题意可求出圆锥的母线长，可判断A;由此可求得圆锥的表面积，判断B;由侧面展开图为半圆可判断C;求得圆锥的体积判断D.【详解】由题意，圆锥在平面内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2周，即可知圆锥的侧面展开图的面积即圆锥的侧面积是以母线为半径形成的圆面积的，设圆锥母线长为l，即有 ，故A错误；圆锥的表面积为，故B错误；由题意可知，圆锥的侧面展开图是以母线为半径形成的圆的一半，故侧面展开图扇形圆心角为，故C错误；圆锥的体积为 ，故D正确，故选：D9已知直三棱柱的六个顶点都在球的表面上，若，则球的体积是（）ABCDC【分析】易得，将三棱柱补全为长方体，再根据长方体

7、的体对角线即为其外接球的直径，求出外接球的半径，再根据球的体积公式即可得解.【详解】解：在中，则，则，所以，如图将三棱柱补全为长方体，其长，宽，高分别为，则外接球的半径，所以球的体积是.故选：C.10在中，内角，所对的边分别是，已知，则ABCDA【详解】试题分析：据正弦定理结合已知可得，整理得，故，由二倍角公式得.正弦定理及二倍角公式.【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定理，余弦定理， 实现边与角的互相转化.11已知函数的一条对称轴为，且函数在区间上具有单调性，则的最小值为（）

8、ABCDD【分析】利用辅助角公式化简,对称轴为,求出a和，得到解析式.由，且函数在区间上具有单调性，,可得与关于对称中心对称,即可求解的最小值.【详解】函数，其中.因为函数的一条对称轴为，所以，解得：，所以.对称中心横坐标满足可得.又，且函数在区间上具有单调性，所以.所以当k=1时,可得最小.故选：D.12如图，正方体的棱长为1，为对角线上的一点（不与点、重合），过点作平面与正方体表交形成的多边形记为.若是三角形，则必定是锐角三角形若，则只可能为三角形或六边形若且点为对角线的三等分点，则的周长为若点为对角线的三等分点，则点到各顶点的距离的不同取值有4个以上所有正确结论的个数为（）A4B3C2D

9、1A【分析】在正方体中，体对角线与其不相交的面对角线都垂直，作出几个截面可确定其形状.建立空间直角坐标系，利用空间向量可判断位置关系与计算距离.【详解】对于：若是三角形，当周长最大时，平面为平面或平面.且为等边三角形.由“大角对大边，大边对大角”，根据对称性我们可固定,则截面为，易知为最大角,记,.则恒成立.所以必定是锐角三角形.正确.对于：在正方体中体对角线与平面，平面，平面都垂直.由图可知，平面在运动过程中只可能为三角形或六边形.正确.对于：建立如图所示空间直角坐标系，则,.所以,设点.所以解得.所以.所以.所以当点为对角线的三等分点且时：为平面或平面此时的周长为.正确.对于：由知：;；;

10、.所以点到各顶点的距离的不同取值为：，有4个.正确.故选：A.二、填空题13已知向量，且与共线，则实数_.2【分析】根据向量共线，即可求解.【详解】解：与共线，所以，解得，故2.14已知复数，则=_【详解】试题分析：，所以复数模的概念与复数的运算.15一半径为4m的水车，水车圆心距离水面2m，已知水车每分钟转动（按逆时针方向）3圈，当水车上点从水中浮现时开始计时，即从图中点开始计算时间，当秒时，点离水面的高度是_m.4【分析】根据匀速圆周运动的数学模型进行求解.【详解】因为=4，圆心到水面的距离为2，所以到x轴的距离为2，所以x轴与所成角为 ，由题知水车转动的角速度为 因为水车的半径为4，设P

11、点到水面的距离为y，根据匀速圆周运动的数学模型有： 当t=10秒时，y=4，所以点离水面的高度是4m.故4.16如图，等腰梯形沿对角线翻折，得到空间四边形，若，则直线与所成角的大小可能为_.（写出一个值即可）（答案在内即可）【分析】由题意，补全等腰梯形为正三角形，则直线与所成角的大小为直线与所成角，再根据线线角的范围求解即可【详解】由题意，补全等腰梯形为正三角形，则直线与所成角的大小为直线与所成角，易得当等腰梯形沿对角线翻折时，的轨迹为以为顶点，为高的圆锥侧面，设，在上取使得，则直线与所成角即，故，因为，故，故，故只需写出内的角度即可，如 故（答案在内即可）17在棱长为2的正方体中，为棱的中点

12、，为侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，则线段的轨迹所形成的图形的面积为_.【分析】因为与平面的垂线垂直，即平面.即可找到点的轨迹.即可求出答案.【详解】如图所示：取中点为，连接、易知.即四点共面.因为与平面的垂线垂直.所以平面.所以点在线段上.所以线段的轨迹所形成的图形为.在中：,.所以.故答案为.三、双空题18在边长为3的等边三角形中，为线段上的动点，且交于点.且交于点，则的值为_；的最小值为_. 3 【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.【详解】设，为边长为3的等边三角形，为边长为的等边三角形，所以当时，的最小值为.故3；.四、解答题19已知向量，其中，. （1）求，；（2

13、）求与夹角的大小.（1），；（2）.【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算可求得，的值；（2）利用平面向量数量积的坐标运算求出的值，结合的取值范围可求得的值.【详解】（1）由已知可得，所以，因此，；（2）由平面向量数量积的坐标运算可得，因此，.20已知函数(1)求的值；(2)从，；，这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数在区间上的最小值，并直接写出函数的一个周期.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)2(2)选，最小值为，.选，最小值为，周期为【分析】（1）直接将代入即可得解；（2）选，利用降幂公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质即可得出答案.选，根据平方关

14、系可得，求出的范围，再根据二次函数的性质即可求得最值，根据三角函数的周期性即可求出函数的一个周期.【详解】(1)解：;(2)解：选，由，得，因为，所以，所以，所以函数在区间上的最小值为，.选，由，得，因为，所以，所以当时，取得最小值为，因为，所以函数的周期可以为.21如图，三角形所在的平面与矩形所在的平面垂直，且，.(1)证明：平面；(2)若平面平面，判定直线与直线的位置关系并证明；(3)求点到平面的距离.(1)证明见解析；(2) ，证明见解析；(3)【分析】(1)取CD的中点F，利用平面PDC 平面ABCD即可证明；(2)由 推出 平面PAD，再推出 ；(3)运用等体积法即可求解.【详解】(

15、1)取CD的中点F， ， 是等腰三角形， ，又 平面PDC 平面ABCD， 平面PDC， 平面ABCD， ，即 平面PDC， 平面PDC， ， 平面PDC；(2) 平面PAD， 平面PAD， 平面PAD， 平面PAD， 平面PBC， ；(3) 平面ABCD，PF是三棱锥P-ABD的高，设D点到平面PAB的距离为x，由条件可知： ， ， ，取AB的中点G，连接PG，则 ， ， 则三棱锥P-ABD的体积为 ， ；综上，D点到平面PAB的距离为 .22已知中，点在边上，(1)若，求的值；(2)求的最小值.(1)(2)【分析】（1）由求得，结合已知可得为正三角形，利用余弦定理求得，再由正弦定理即可求得

16、答案.（2）由余弦定理可求得，设，转化为有正实根的问题，分类讨论求得参数t的范围，即可求得答案.【详解】(1)由可得，由于，故为正三角形，而，故 ,则 ,故 ,所以 ,则；(2)设，则，所以 ，,故，设，则，即有正实根，当时， 不合题意，舍去；当时，若方程有两正实根，则 ，解得 ，此时，故方程有两异号根时，解得，当时，方程为，两根为0和4，符合题意，综合上述，,故的最小值为,则的最小值为.23已知函数，称向量为的特征向量，为的特征函数.(1)设，求的特征向量；(2)设向量的特征函数为，求当且时，的值；(3)设向量的特征函数为，记，若在区间上至少有40个零点，求的最小值.(1)(2)(3)【分析】（1）根据诱导公式化简，再根据函数的特征向量的定义即可得解；（2）根据向量的特征函数求出函数解析式，化简可得，再