新编高等数学教学课件

1、四川工程职业技术学院数学教研室高等数学教学课件 第七章 定积分的应用精品课程序 言第1章 函 数第2章 导 数第3章 定积分第4章 求导方法第5章 导数应用第6章 求积分方法第7章 定积分应用第8章 微分方程 内容导航前 言定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用 定积分在经济上的应用 第七章 定积分的应用精品课程序 言第1章 函 数第2章 导 数第3章 定积分第4章 求导方法第5章 导数应用第6章 求积分方法第7章 定积分应用第8章 微分方程 前 言在第3章中，由定积分的意义涉及由定积分求面积和路程；在第6章中,我们又讨论了通过不定积分求定积分的各种方法。在本章中，我们将应用定积分来解决几何

2、、物理、经济中的各种问题。 7-1 定积分在几何上的应用精品课程序 言第1章 函 数第2章 导 数第3章 定积分第4章 求导方法第5章 导数应用第6章 求积分方法第7章 定积分应用第8章 微分方程 平面图形的面积 由定积分的几何意义“有号面积”，可以直接得到求平面图形的面积公式：例1 计算曲线y2=x，y=x2所围成的图形的面积。 解先求两线的交点（右图）x=y21xyoy=x2 7-1 定积分在几何上的应用精品课程序 言第1章 函 数第2章 导 数第3章 定积分第4章 求导方法第5章 导数应用第6章 求积分方法第7章 定积分应用第8章 微分方程 可见，定积分求平面图形的方法步骤：（）求曲线交

3、点并画草图；（）确定求哪块面积，进行“面积组合”（即由定积分表示的曲边梯形来划分这块面积，哪些该加，哪些该减，注意“曲边梯形”一定是以x轴为一边，两条竖直线为另两边）；（）以x的范围确定积分限，用定积分表示这块面积；（）求定积分。例求曲线y=ex-2在区间-2，2间与x轴所围成的图形的面积 。解 作y=ex-2图像（下图）（由y=ex平移） 求交点为（ln2,0） 7-1 定积分在几何上的应用精品课程序 言第1章 函 数第2章 导 数第3章 定积分第4章 求导方法第5章 导数应用第6章 求积分方法第7章 定积分应用第8章 微分方程 “面积组合”即将这块图形划分为-2,ln2,ln2,2两个区间

4、，对应两部分的面积和为：例求y2=2x与y=x-4所围成的图形的面积。解 先求y2=2x与y=x-4的交点（2,-2）,(8,4)(作图如右) 面积组合，以x=2为界划分为两块面积，并由对应方程得xy2ln2-2y=ex-20 xyy=x-404-282y2=2x 7-1 定积分在几何上的应用精品课程序 言第1章 函 数第2章 导 数第3章 定积分第4章 求导方法第5章 导数应用第6章 求积分方法第7章 定积分应用第8章 微分方程 旋转体的体积旋转体 是一平面图形绕平面内一定直线旋转一周而成的立体图形，定直线称为旋转轴。如圆柱、圆锥、球体等可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形绕它的直角

5、边、半圆绕它的直径旋转一周而成的立体，所以它们都是旋转体，车床上切削加工出来的工件，很多都是旋转体。以下主要介绍用定积分求以ox轴或oy轴为旋转轴的旋转体体积的方法。由于要用到“微元法”，下面通过求平面图形的面积来先介绍微元法。 7-1 定积分在几何上的应用精品课程序 言第1章 函 数第2章 导 数第3章 定积分第4章 求导方法第5章 导数应用第6章 求积分方法第7章 定积分应用第8章 微分方程 如图求平面图形的面积，前面是根据定积分的几何意义，此外还可根据定积分的定义，如上图，求曲边梯形的面积，“无限细分”，将a,b任意划分为 n个小区间，相应是将曲边梯形划分成n个小曲边梯形，“以直代曲”，

6、将任一小曲边梯形（x,x+dx上阴影部分）看成小矩形，则其面积 sds=f(x)dx于是面积就是这些小矩形在a,b上的无限累加的结果，即其中把dS称为的微元，这种“无限细分取微元，无限累加求积分”的方法叫微元法。x0yy=f(x)ds=f(x)dxabxx+dx 7-1 定积分在几何上的应用精品课程序 言第1章 函 数第2章 导 数第3章 定积分第4章 求导方法第5章 导数应用第6章 求积分方法第7章 定积分应用第8章 微分方程 下面用微元法求旋转体的体积例求由区间,上曲线y=x2绕x轴旋转而成的旋转体体积。(如图) 解取微元应有代表性：一个微元可代表每个微元；要有规律性，便于求出微元体积 在

7、x点（x(0,1)）处，垂直于x轴取微元，其厚度为dx，注意特点是截面都是圆，以小圆台近似代替微元dV。xyxy=x20 x+dx 7-1 定积分在几何上的应用精品课程序 言第1章 函 数第2章 导 数第3章 定积分第4章 求导方法第5章 导数应用第6章 求积分方法第7章 定积分应用第8章 微分方程 一般地，如果旋转体是由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b及ox轴所围成的曲边梯形，绕ox旋转而成，则其体积 同理，由曲线与直线y=c,y=d及oy轴围成的曲边梯形绕oy轴旋转成的旋转体的体积为例求曲线 绕y轴旋转而成的旋转体的体积 解（如图）由公式得：xy0 xy0y=f(x)abxx+dx绕x

8、轴旋转 7-1 定积分在几何上的应用精品课程序 言第1章 函 数第2章 导 数第3章 定积分第4章 求导方法第5章 导数应用第6章 求积分方法第7章 定积分应用第8章 微分方程 例6求由曲线y=x2与y=2-x2所围成的平面图形绕ox轴和oy轴旋转所得旋转体的体积。解 （如图）求曲线交点 （）绕x轴旋转，由公式得 （）绕y轴旋转，由公式得 xyy=x20y=x22 7-2 定积分在物理上的应用精品课程序 言第1章 函 数第2章 导 数第3章 定积分第4章 求导方法第5章 导数应用第6章 求积分方法第7章 定积分应用第8章 微分方程 功的计算 由物理学知道，在一个常力的作用下，物体沿力的方向作直

9、线运动，当物体移动一段距离s时，F所作的功为：*但在实际问题中，物体所受的力经常是变化的，这就需要寻求其它方法求变力作功的问题。设物体在变力f(x)的作用下沿ox轴从a移动到b(如图)，变力方向保持与x轴一致（如图）bxoaf(x)xx+dx 7-2 定积分在物理上的应用精品课程序 言第1章 函 数第2章 导 数第3章 定积分第4章 求导方法第5章 导数应用第6章 求积分方法第7章 定积分应用第8章 微分方程 我们用定积分微元法来计算变力F在a,b路程段中所作的功。 在区间a,b上任取一小区间x,x+dx,当物体从x 移动到x+dx时，变力F=f(x)所作的功近似地把变力看作常力所作的功，从而

10、得到功元素为： dw=f(x)dx 因此，变力在a,b路程段所作的功为例7在弹性限度内，螺旋弹簧受压时，长度的改变与所受外力成正比，已知弹簧被压缩0.02m时，需9.8N,当弹簧被压缩3cm,试求压力所作的功。 7-2 定积分在物理上的应用精品课程序 言第1章 函 数第2章 导 数第3章 定积分第4章 求导方法第5章 导数应用第6章 求积分方法第7章 定积分应用第8章 微分方程 解 所用压力为F=f(x) 时弹簧压缩x(单位为cm)， 则F=f(x)=kx(其中k为比例系数) 故当x=0.02m时，f(x)=9.8N代入上式得 k=4.9102所以变力函数为：F=f(x)=4.9102x 取积

11、分变量为x, 积分区间为0,0.03 在0,0.03上任取一小区间x.x+dx,与它对应的变力所作的功为: dw=f(x)dx=4.9102xdx 于是，在0,0.03上积分，得到所求的功为 7-2 定积分在物理上的应用精品课程序 言第1章 函 数第2章 导 数第3章 定积分第4章 求导方法第5章 导数应用第6章 求积分方法第7章 定积分应用第8章 微分方程 例把一个带+q电量的点电荷放在r轴坐标原点处，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷产生作用力，由物理学知道如果有一个单位下电荷放在电路中距离原点o为r 的地方，那么电场对它的作用力大小为： 当这个单位正电荷在电场中从r=q处沿r 轴移到r

12、=b(ab)处时，计算电场力所作的功。解 取积分变量为r，积分区间为a,b； 在区间a,b上任取一小区间r,r+dr，与它相对应的电场力F所作的功的近似值为功元素 于是，在a,b上，电场力所作的功为 7-2 定积分在物理上的应用精品课程序 言第1章 函 数第2章 导 数第3章 定积分第4章 求导方法第5章 导数应用第6章 求积分方法第7章 定积分应用第8章 微分方程 例修建一座大桥墩时，先要下围囹，并且抽尽其中的水以便施工，已知围囹的直径为20m，水深27m，围囹高出水面3m,求抽尽水所作的功。分析（如下图）建立坐标系：yxxdx273200 7-2 定积分在物理上的应用精品课程序 言第1章

13、函 数第2章 导 数第3章 定积分第4章 求导方法第5章 导数应用第6章 求积分方法第7章 定积分应用第8章 微分方程 解如上图的直角坐标系中： 取积分变量为x,积分区间为3,30 在区间3,30上任取一小区间x,x+dx,与它对应的一薄层（圆柱）水的重量为9.8102dx（N）.其中水的密度为=1103因这一薄层水抽出围囹所作的功近似于克服这一薄层重量所作的功，所以功元素为：dw=9.8105xdx. 于是在3,30上，抽尽水所作的功为： 7-2 定积分在物理上的应用精品课程序 言第1章 函 数第2章 导 数第3章 定积分第4章 求导方法第5章 导数应用第6章 求积分方法第7章 定积分应用第

14、8章 微分方程 例10底面半径为R的圆柱形桶内装着半桶水横放在地面上，试求桶的一个圆面上所受的水压力。 （如下图）分析 由物理学知，比重为的液体在深度为h的点处的压强为P=h，所以在这个深度上，面积为A水平放置的平板的一侧所受的液体压力为F=hA 当平板不是水平放置时，平板上各点所处的深度不同，就不能直接用这公式计算，但我们用微元法，可以用平行于液面的许多平行线把平板分割成若干小块，在每一块上各点的深度看作是相同的，由上述公式求出压力元素。 0 xyxdx(a)(b) 7-2 定积分在物理上的应用精品课程序 言第1章 函 数第2章 导 数第3章 定积分第4章 求导方法第5章 导数应用第6章 求

15、积分方法第7章 定积分应用第8章 微分方程 解建立上面(b)所示坐标系，则由圆的方程：在区间0，R内任取微区间x,x+dx,其对应水平长条的受压面积近似于所以压力元素为于是半圆所受水压力为 7-2 定积分在物理上的应用精品课程序 言第1章 函 数第2章 导 数第3章 定积分第4章 求导方法第5章 导数应用第6章 求积分方法第7章 定积分应用第8章 微分方程 函数平均值 初中学过平均值的计算，即n个数据x1、x2、 xn的平均值为 现在考虑函数y=f(x)在区间a,b上取值的平均值（如y=sinx在1，3上的平均值）。 设函数y=f(x)在区间a,b上连续，把区间a,b等分为n个小区 间，设分点

16、为a= x1x2x3xn+1=b,则每个小区间的长度x，将f(x)在第i个小区间内各的函数值都用xi函数值f(xi)代替，那么在区间上的平均值就近似于 7-2 定积分在物理上的应用精品课程序 言第1章 函 数第2章 导 数第3章 定积分第4章 求导方法第5章 导数应用第6章 求积分方法第7章 定积分应用第8章 微分方程 对上式取极限，我们就得到在f(x)在 a,b上的平均值 平均值的几何解释是：（如下图）曲边梯形面积等于同一底边而高为 的一个矩形面积。例如， 函数y=sinx在1，3上的平均值为xy0aby=f(x) 7-2 定积分在物理上的应用精品课程序 言第1章 函 数第2章 导 数第3章 定积分第4章 求导方法第5章 导数应用第6章 求积分方法第7章 定积分应用第8章 微分方程 例11 计算纯电阻电路中正弦交流电 在一个周期内功率的平均值。解 设电阻为R，那么这电路中，R两端的电压功率为 7-3 定积分在经济中的应用精品课程序 言第1章 函 数第2章 导 数第3章 定积分第4章 求导方法第5章 导数应用第6章 求积分方法第7章 定积分应用第8章 微分方程 经济工作中也广泛存在求总量的问题，可用定积分求解。例12 某产品边际成本为 ，边际收益为 （C和R的单位均为万元，产量X的单位为百台），试求产量由15增加到18单位时的总利润。解当产量由15增加到18的