数学教学有效性初探

1、PAGE PAGE 14数 学 教 学 有 效 性 初 探保康县实验中学张晓波初中数学教学中，常常存在这样一个问题：教师教的很辛苦，学生学的很痛苦。仔细想想，问题反映在学生身上，根源还在老师。我们的数学课堂教学过分注重结果，而忽视过程；过分注重知识的传授，而忽视思维的培养；过分强调教学任务的完成，而忽视课堂教学的有效性。作为学生学习数学知识、培养能力的主阵地课堂教学，其教学的有效性应引起我们的高度重视。备、教、辅、改、考是常规教学的五个重要环节。这里，我从“备课”和“课堂教学”两个方面谈谈对“数学教学有效性”的初浅认识和具体做法。一、集体备课备好课是上好课的前提。传统意义上的备课讲究个人钻研，

2、各自为阵，各显神通，教材的理解、把握、处理、课堂教学设计、教学方法的选择等，展示的是教师个人专业知识水平和教学能力，因此，它难免存在片面性和随意性。新课程的综合化趋势特别需要教师之间的合作，同一学科、甚至不同学科教师都要相互配合。这就需要我们整合教师资源，在传统备课的基础上，更加倡导教师集体备课，尽可能地选择集体备课的方式。集体备课是教师校本教研、合作研讨的一种有效形式，它不仅可以充分发挥集体智慧，通过集体讨论、共同研究、合作攻关等形式，制定出教学预案；而且能使教师在沟通、交流、研究、讨论中对备课思想、资源、技术、方案进行再设计、再补充、再创造，进而实现智慧的碰撞和资源的共享，促进教师间的传帮

3、带，培养教师的合作意识和探究能力，实现个人教学能力和整体业务水平的提高。同时还可以克服个人备课的片面性和随意性，提高教师教学的科学性、有效性。我们在集体备课时力求做到：（1）、内容广泛。根据教学实际，大到调整教学内容，小到一节课的练习设计。例如，首轮新教材八年级上册的内容安排顺序是：一次函数、数据的描述、全等三角形、轴对称、整式。我们备课组经过分析和讨论，作出了一个大胆决定：将整式提到一次函数之前上。因为，一次函数的学习要用到很多“整式”的知识，而七年级并没安排“整式”的有关内容，如果不先掌握“单项式、多项式及整式的加减”等知识，学生学习一次函数的内容就十分困难。事实证明这一调整是科学的、合理

4、的。我们现在使用的教材，就在七年级上册增加了一章整式的加减的内容。（2）、形式灵活、多样。有定时、定点、定内容的专题研究，有随时、随地的讨论与交流，也有教学后的反思。、定时、定点、定内容的专题研究。我们每周坚持一次定时、定点、定内容的集体备课，每位教师在参加集体备课前，都要做好充分准备：认真钻研教材、设计教学方案。同时，把备课中发现的问题、所做的思考以及心得体会一一记录下来，以便与同伴探讨。集体研讨时，每人都要阐述自己的观点和见解，最终达成共识，确定教学预案。预案确定之后，每位教师再根据自己班级学生的学情和特点，设计并撰写自己的教学方案。定时、定点、定内容的集体备课，不仅可对同一教学内容进行商

5、讨、研究；而且还可依托群体智慧将平时教学中发现及遇到的疑难问题集中起来，进行重点研讨和集体攻关，用最少的时间投入解决更多的教学问题。由于我们坚持了集体备课，实验中学三个数学备课组，都坚持做到教学“六统一”，即：统一计划、统一进度、统一内容、统一备课、统一作业、统一使用同一教学资源。案例1、角的教学设计。（电脑展示）这是我们学校某教师的一节研讨课，首先由该老师谈自己的教学构想并设想教学过程中可能出现的疑难问题，再观看制作的课件。之后我们对以下几个问题进行了讨论：创设问题情境的目的不够明确（展示的这些图片有什么作用？）；角的定义剖析不到位；知识的呈现不够科学、合理（如：角的简单记法的引入）；过度依

6、赖课件；学生的主体地位体现不充分。该教师在听取了大家的意见之后，修改了教案和课件。该老师按照修改后的教案进行教学，取得了较好的效果。、随时、随地讨论与交流。我们组几乎所有的教学内容都是集体备课的产物，如果每一内容或问题都集体坐下来商讨，无论从哪个方面讲都是不可能做到的，所以，灵活、多样的备课方式就显得尤其重要。学校为我们每个办公室都配有电脑，所以，电脑前就成了我们备课的“阵地”，上下班的途中（甚至是上厕所的路上）也是我们讨论问题的场所，随时随地都可以听到来自于同伴给自己的更合理的教学建议. 我们学校是以年级组为单位的办公室，各学科老师融合在一起，平时办公，既有学科内的讨论，也有跨学科的交流，这

7、不仅有利于学科内的教学，而且也有利于学科间的知识整合。、教学反思。教师的反思能力是其专业发展和自我成长的核心因素，也是现代教师素质的必要组成部分。美国心理学家波斯纳提出了教师成长的公式：成长经验+反思。反思的种类分三种：一是实践前的反思成熟性反思，具有前瞻性：二是实践中的反思过程性反思，具有及时性的反馈；三是实践后的反思回顾性反思，使实践经验得到升华。我注意把平时课堂教学中遇到的如教学方法、教学细节、学生表现、媒体运用、习题设计等方面的成功与失败之处，及时和同事交流，便于他们在教学中借鉴，并将自己的反思和同伴再教时的感想整理记录下来，供自己今后改进。这样，在不断交流中完善自己的教学方法，获得有

8、效教学的经验； 在不断反思中促进自己教学能力的提高和专业知识的成长。（3）、分工明确，合作共赢。我们备课组的老师，每个人都有具体明确的分工，有的制课件，有的设计课后练习等，这些均具体到人，具体到天。课件制作完成后，每位老师都要观看课件，并对其中存在的问题，如教学内容的深浅度、教学过程的连续性、知识的拓展等，进行修改和补充，力求使每一节课的内容实用，方法有效。（4）、采用较先进的教学手段，创造最佳的教学效果。有效的数学教学，离不开先进的教学手段。数学教学中运用计算机辅助教学（CAI），可凭借逼真的动态演示、便捷的人机交互使学生有效地接受知识，帮助学生加深知识理解、增加课堂容量，提高了教学效率。一

9、枝独秀不是春，整体辉煌才是荣。正是基于这种合作共赢的思想，我们实验中学的数学教学才取得了大面积的丰收。二、课堂教学备好课是实现有效教学的前提，上好课是实现有效教学的关键。我从六个方面谈谈如何使课堂教学更有效。（一）、新课引入要创设符合学生身心发展规律和认知发展水平的教学情境。数学具有很强的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性，而初中生的思维正处于以具体形象思维为主要形式向以抽象逻辑思维为主要形式逐步过渡的阶段。一方面，数学知识的抽象性与学生认知的形象性之间存在着矛盾；另一方面，随着学生年龄的增加，对不真实的、不具挑战性的问题的兴趣越来越小。在初中数学课堂教学中，面向学生的生活世界和社会实践，把身

10、边的数学（真实的才是可信的）引入课堂，创设和学生已有的知识、经验相适应的且富有挑战性的问题情境，能造成学生的认知冲突，可激发学生的参与欲望，使学生变被动学习为主动参与，变接受性学习为乐于探究、勤于动手的学习，从而为课堂教学的成功奠定良好的基础。案例2：直线与圆的位置关系的教学片段。（电脑展示）让学生观看太阳从地平线冉冉升起的情景，然后把太阳抽象成“圆”，地平线抽象成直线，你能发现直线与圆有哪些位置关系？这一案例，把生活问题提炼为数学问题，把抽象的数学知识同生活现象紧密联系起来，在提高学生感性认知的同时增强学生对概念生成的理解，实现教学的有效性。虽然说，新课程强调生活化的数学，但也并不是说任何一

11、节课都要从一个实际问题入手。案例3：分式的基本性质的教学片段。问题：把3个苹果平均分给6个小朋友，每个小朋友得到几个苹果？生：（个）。教师创设这样的问题情境的意图，一是为了引出分数的约分，进而引入分数的基本性质；二是要学生感受数学来源与生活。然而，仔细想来，这样的问题对于八年级的学生来说是没有吸引力的，不会产生心理上的需求，如何能激发学生的求知欲？“问题情境不应只是绚丽多彩的生活画面，这些都是情境的外部要素，而非情境的本质。问题可以来自数学系统外部，即现实生活，当然也可以来自数学知识内部，处理得当，同样可以收到良好的效果。”本节课的导入，采用如下的问题情境会来得更有效。、；、计算：（二）概念教

12、学要抓住概念的本质特征。概念是数学知识系统中的基本元素，数学概念的建立是解决数学问题的前提，学生在运用数学概念进行推理、判断的过程中要得出正确的结论，首先要正确的掌握概念。因此，概念教学要抓住概念的本质特征。概念形成的心理过程大致可分为以下六个步骤：（1）识别不同事例；（2）从一类相同事例中抽取出共性；（3）将这种共性与记忆中观念相联系；（4）同已知的其它概念分化；（5）将本质属性一般化；（6）下定义。概念的形成可概括为：“从完整的表象上升为抽象的规定”到“使抽象的规定通过思维过程具体化”两个阶段。因此，数学概念的教学可分为三个阶段进行。（1）、概念的引入；（2）、概念的形成；（3）、概念的巩

13、固和发展。案例4：一元二次方程的定义的教学片段。1、概念的引入创设情境问题： 请同学们在你准备的长方形纸片（要求长40cm,宽30cm）的四个角上各剪去一个边长相同的小正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方合。如果要制作的无盖方合的底面积为600cm2，那么纸片各角应剪去多大的正方形？问题2：学校体育组要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队（一个班为一个队）之间都要比一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排5天，每天安排2场比赛，体育组应邀请多少支球队参赛？提出问题之后，学生独立思考（同桌之间可相互交流），设法解决问题。如果有困难，老师适当点拨：解决实际问题常用的方法是什么？列方程解

14、应用题的关键是什么？学生通过自己或与同伴合作列出方程：（40-2x）(30-2x)=600即x2-35x+150=0 ; 即x2-x=20。2、概念的形成(1)、将上面所得的两个方程与课前复习时列举的一元一次方程放在一起：一元一次方程2x+5=0 x2-35x+150=0y=2x2-x=20（2）、提出以下问题：你会解这两个方程吗？它们与一元一次方程有何异同？它们有什么共同特征？类比一元一次方程你能给它们一个恰当的名字吗？利用以上几个问题将概念的本质属性揭示出来。（3）、引导学生给一元二次方程下定义。之后，一定要引导学生分析概念的含义，剖析概念的本质，找出定义的三个要点，并强调“缺一不可”，达

15、到形成概念的目的。3、概念的巩固和延伸由于数学概念具有很强的抽象性，这为理解掌握它带来了一定的难度，加之数学概念较多，易于混淆，巩固概念的教学就显得非常重要。在一元二次方程的概念形成以后，给出下列方程让学生加以判断，达到巩固概念的目的。 （三）、公式、定理等的教学要注重其发生和发展过程。学习是学生主动建构的过程，而不是简单被动的接受信息。苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、探索者。在青少年的精神世界里，这种需求特别强烈。”因此，在有关定理、公式、法则和性质等教学中，要注重知识的发生、发展过程，设计有利于学生主动观察、实验、猜想、验证、推理与交

16、流等数学活动的探究性问题。 案例5：运用平方差公式分解因式的教学片段。1、创设情境，激发兴趣。（1）、把一个化成几个整式的的形式叫因式分解；（2）、m(a+b+c)ma+mb+mc ，这里从左到右，从右到左各属哪一种变形？它们之间有什么关系？（3）、下列从左到右的变形，是因式分解的打“”，否则打“x”,并简要说明理由；-3x2+6xy-x=-x(3x-6y+1); ( ) 4a-8b+12=4(a-2b)+12; ( ) (a+b)(a-b)=a2-b2; ( ) a2-b2=(a+b)(a-b) ( )（4）、计算：19992-19982=?（利用其激发学生的求知欲）2、合作交流，探究新知。

17、(1)、利用（3）揭示课题，得出公式：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)、引导学生剖析平方差公式的结构特点。 二项式；特点：左边两个数（a与b）的平方差。 两个二项式的积；右边一个二项式是左边那两个数（a与b）的和；另一个二项式是左边那两个数（a与b）的差。(3)、文字叙述。(4)、讨论因式分解与整式乘法的区别和联系；(5)、讨论公式中a、b的取值范围，并渗透数形结合的思想。师：如果用2-2（+）（-）表示平方差公式，请举例说明与中可填写什么内容？（以此引发学生的思维高潮）（6）、公式的作用或适用范围：将形如“2-2”多项式分解因式。在上述案例中，如果说剖析公式的结构特点是学生掌握并准确运

18、用公式的关键值得教师关注，那么，在获得公式的过程本身所蕴涵的数学思想方法，更应该让学生领会、掌握并学会应用其解决问题。案例6、多边形的内角和的教学片段。分析本节课的教学内容，就知识方面而言，是要获得多边形的内角和公式；从获得知识的过程来看，是要通过解决问题，使学生领会转化思想，以及具体的转化方法，并通过对比分析，获得最简单的解决问题的方法，培养学生思维的简约性；在获得结论的过程中，渗透由特殊到一般、由具体到抽象认识问题、获得猜想的方法，培养学生的抽象、概括能力。如在探索四边形的内角和时，尽可能地引导学生给出所有方法，如图1所示。 之后的教学便不再重复这个过程，引导学生对图1中的4种方法进行比较

19、，找出其中最简单的方法（即如图1（2）所示的方法），即将四边形转化为两个三角形，从而达到解决四边形的内角和的目的。之后的教学重点应是从特殊到一般地抽象概括，得到多边形的内角和的公式。抽象概括过程如下表所示：这样进行教学，在教学的前半段，侧重简捷方法的获得，培养学生简约的思维能力；在教学的后半段，侧重从特殊到一般地获得结论，培养学生的抽象概括能力。教学过程的不同阶段各有取舍，各有侧重，渗透和体现了转化、数形结合、从特殊到一般等数学思想方法，会收到较好的教学效果。探究活动是数学教学的有效方式之一。定理的学习是学生猜想、发现、论证一个真命题的过程。教师如果把数学定理的教学，设计为学生再发现、再创造的

20、探究性活动，将会收到意想不到的教学效果。案例7、梯形（1）探究“等腰梯形的性质”的教学片段。1、创设问题情景，让学生“思”起来。问题一：如图（1）在梯形ABCD中， ADBC，AB=DC，请同学们应用折叠或测量等方法，找一找A，B，C，D 之间的数量关系，试用你学过的知识说明理由。 问题二：如图（2）在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，你发现AC与BD有何关系？试说明理由。 问题三：通过折叠，你还发现等腰梯形ABCD有何性质？ 2、尝试实验活动，让学生“动”起来。在创设以上三个问题的基础上，学生分组开展探究活动。（1）留给学生“足够”的探究活动时间，为学生提供发表意见的机会，让学生动手、动

21、口、动脑多种感官协调活动，促使学生自主探究。（2）对于学生在探究过程中出现的各种问题，教师不轻易下结论，既使学生出现了明显的错误也不轻易否定，而是让学生自我辨析或适当引导，形成正确的观念和结论。（3）教师以学生的身份参与学生的多向性探究交流活动，教给学生探究问题的策略和辨析疑难问题的方法，使学生在参与的过程中碰撞出智慧的火花，增进合作意识，促使创新能力的增强和互补。 3、猜想交流论证，让学生“兴奋”起来。经过积极的探究活动，学生探究出了结论，并已找到了说明这些结论的理由，这时，各组选派一个中心发言人，展示自己的活动成果，并加以证明。活动成果一： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT

22、A+B=180； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT B=C ， A=D。说明理由： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 略， = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 在说明时，学生发言热烈，得出了图（1）、（2）不同的证明方法，并从中找出了梯形中添加辅助线的方法和这些方法中渗透的“化归”思想方法。 活动成果二：AC=BD，图（3）、（4）是甲、乙两个学生的证明方法，均是利用三角形全等来证明。活动成果三：等腰梯形是轴对称图形，两底中点所在直线是其对称轴。在展示成果的过程中，帮助学生理解探究中获得的“性质”，总结规律和数学思想方法，让学生认识自己的力量，促使学生形

23、成良好的思维品质，为学习后续知识增强自信心，体验成功的快乐，让学生兴奋起来。 4、归纳与应用，让学生“活”起来。成果展示后，师生共同归纳得出等腰梯形的4条性质，并设计四组变式训练题让学生的思维活跃起来，拓宽学生的思路，促使学生完成内化过程，把数学知识纳入新的认知结构。 在教学活动中，教师要创造性的使用教材，要融入自己的科学精神和智慧，对教材知识进行教学重组和整合，选取更好的内容对教材加工，设计出活生生的、丰富多彩的课来，充分有效地将教材的知识激活，形成有教师教学个性的教材知识。案例8：探究三角形三边的关系的教学片段。问题：请同学们拿出你准备好的四根木棒（2cm、3cm、5cm、6cm各一根），

24、用其中的三根，首尾连接，拼成三角形，试试看有几种拼法？并请同学们根据自己的拼图，看看你从中发现了什么？学生动手操作，教师巡回观察指导。几分钟后有不少学生举手要求发言。 生：老师，可以分四种情况，但不是每一种都能拼成三角形。教师把学生列举的四种情况和拼图展示出来：（三角形的存在性） （1）2cm、3cm、5cm； （2）2cm、3cm、6cm；（3）2cm、5cm、6cm； （4）3cm、5cm、6cm。师：好！学生分组讨论，教师深入小组参与讨论。经过一段时间的激烈争论，各小组都有了自己的结论，并纷纷要求交流。生：只有（3）（4）能拼成三角形。师：为什么（3）、（4）能拼成三角形，而（1）、（2

25、）却不能呢？生：（3）中2cm+5cm6cm，（4）中3cm+5cm6cm，所以它们能拼成三角形。生：三角形两边的和大于第三边。生：我认为应该是“三角形任意两边的和大于第三边”。师：没有“任意”不行吗？生：不行。如（1）中：虽然5cm+3cm2cm ，5cm+2cm3cm，但是2cm+3cm=5cm；（2）中也是如此。师：还有不同意见吗？全体学生：没有了。师：看来大家已经达成了共识，发现了“三角形任意两边的和大于第三边”。教师用电脑显示，三角形三条边的关系：三角形任意两边的和大于第三边。之后，教师引导学生对所获得的结论加以证明。在探究“三角形的三边关系”的教学中，我从实际问题“用木棒摆三角形”

26、入手，采用探究式教学方式，让学生自主学习、合作探究，了解三角形的存在性，发现“三角形三条边的关系”的性质。在这一探究的过程中，注重所学内容与现实生活的联系，让学生经历观察、实验、猜想等探索过程，并通过探究、合作、交流，理解三角形三边关系的性质。从这个课例可以看出，教学内容的范围是灵活的、广泛的，可以是课内的也可以是课外的，只要适合学生的认知规律，从学生的实际出发所有有关人与自然、人与社会、人与自我的任何方面的材料都可作为学习内容。教师“教教科书”是传统的“教书匠”的表现，“用教科书教”才是现代教师教学能力的体现，教学才会有好的效果。（四）、例题教学要发挥其示范性、典型性作用。例题教学要通过引导

27、学生挖掘题目潜在的教育教学价值，从不同方面、不同层次锻炼学生思维品质，培养思维能力。在例题教学时，要充分暴露其思维过程，才能发挥它的示范性、典型性作用。案例9：梯形（2）的例题教学片段。例题 如图1,在梯形ABCD中，ADBC，DEAB，DE=DC。（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）若A=1000，求其它三个内角的度数。（说明：这是第一轮教材八年级下第119页的例题）1、学生读题，获取信息；即弄清题目中的已知条件和需要解决的问题。2、教师提出以下几个问题：证明等腰梯形的方法有哪些？结合本题中的已知条件你采用什么方法来证明；在你所采用的方法中应提醒同学们注意什么问题？启发学生思考，引导理

28、解题意，寻找解决问题的途经和方法，并交流。3、教师引导学生明确解题思路，师生合作写出解答过程。4、书写好解题过程之后，教师还应引导学生反思解题过程，如，解题过程中应用了哪些数学知识，渗透了哪些数学思想方法等。为了更好的发挥例题的作用，要巧设例题教学后的变式训练，学生通过变式训练，加深对数学知识的理解和解题方法的掌握。所以，在上面的例题教学之后，设计了以下变式训练。变式一：如图1,在梯形ABCD中，ADBC，E是BC的中点，AE=DE，求证梯形ABCD是等腰梯形。（改变题目的部分条件）变式二：如图2是由三个全等的等边三角形ABE，ADE，CDE组成的，它是一个等腰梯形吗？（改变题目的全部条件且改

29、变图形）变式三：如图3,如果线段AE，DE继续运动成为梯形的两条对角线AC，DB如下图所示，且AC=DB，则梯形ABCD是等腰梯形吗？（变静态图形为动态图形）在以上教学过程中教师应关注：（1）学生是否能根据已知条件确定判定等腰梯形的不同途径，是否有选择恰当的判定方法的意识。（2）学生在书写解题过程之前，是否已经完成了必要的逻辑推理，是否已经在口头上或者头脑里完成了论证。（3）学生是否能用运动的观点来分析问题。（4）学生是否能通过添加恰当的辅助线将梯形问题转化为三角形和平行四边形来解决。（五）、练习设计要围绕课本习题以变式训练为主。课堂练习是巩固所学知识的一个重要手段，习题是数学教学不可缺的重要

30、资源。在教学中充分挖掘课本习题的潜在功能，设计变式训练，即可让学生在训练中认识到知识间的内在联系和由浅入深的变化规律，学会认识问题的方法；层层深入，逐步展开的处理方法，又能激发学生兴趣，培养学生不断发现问题、提出问题、解决问题的良好学习习惯和思维品质；更重要的是能减缓坡度、分散难点，最后达到解决问题的目的。案例10：七年级下第91页第9题的教学（注：这是现在七年级教材上的习题）。如图1，12，34，A100，求x的值。变式一：如图2,在ABC中，A80BP、CP分别平分ABC和ACB，此时BPC还是140吗？为什么？BPC与A之间有什么关系？变式二：如图3, BP、CP分别是ABC的两个外角DBC和BCE的平分线，此时BPC与A之间有什么关系？变式三：如图4,ABC中， BP、CP分别是ABC和ACD的平分线，此时BPC与A之间有什么关系？通过对一道习题由特殊到一般，由内角到外角的变式训练，学生经历观察、比较、分析、综合、抽象、概括等思维活动，加深了对角平分线