三角函数及解直角三角形

1、 九下直角三角形的边角关系定义：如下图RtAABC中，ZC=90；正弦：斜边c；余弦：cosA=ZA的邻边斜边cosA=正切：tanA=c；ZA的对边ZA的邻边人atanA=b；练一练：根据定义，写出/B的三个三角函数值sinB=；cosB=；tanB=三角函数之间关系同角三角函数关系：tanA=；sin2A+cos2A=1cosA模仿写出：tanB=；sin2B+cos2B=1互余角三角函数关系(A+B=90)sinA=cosB；cosA=sinB一个角的正弦等于它余角的余弦；一个角的余弦等于它的余角的正弦特殊角的三角函数值0、30、45、60、90三角函数304560sinacosatan

2、a根据三角函数关系计算15、75角的三角函数(已知ABC是等腰RtA)5根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性当0WaW90。时，sina随a的增大而；cosa随a的增大而；tana随a的增大而6已知一个三角函数值，求其他三角函数值。（根据三角函数关系）2例题：sinA=，求cosA、tanA7解直角三角形的定义及应用（1）仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。铅垂线（2）坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（坡比）。用字母i表示，即i=-。坡度一般lh写成1:m的形式，如i=1:5等。把坡面与水平面的夹角记作a（叫做坡角），那么i=tana。l3）指北或指南方向线与

3、目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。东北方向），如图,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东45北偏西45（西北方向）。11acsinB22南偏东45（东南方向），南偏西45（西南方向）（4）三角形的三角函数计算面积：S=absinC二二besinA二二acsinBNABC2在下面图形中证明上面面积公式中的一个即可B5)解直角三角形应用常见基本图形：C例题1：计算1)弓sin45+sin602cos45；1d+扛)0-l1-sin30l1+(2山(4)2-3(*2003+n)ocos602：已矢口sina+cosa求sinacosa的值；3：a为锐角若sinaV#，求a的范围;

4、4：已知45Va90，化简.1-2sina-cosa5：如图所示，A、B两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30和B城市的北偏西45的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内.请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？(结果保留根号)6：如图，AB,DC分别表示甲、乙两建筑物的高，AB丄BC,DC丄BC,从点B测得点D的仰角a为60，从点A测得点D的仰角0为30，已知甲建筑物高AB=36m。(1)求乙建筑物的高DC；(2)求甲、乙两建筑物之间的距离BC(结果保留根号)。7：如图

5、，点E是矩形ABCD中CD边上一点，ABCE沿BE折叠为BFE,点F落在AD上.1(1)求证：ABEsDFE；(2)若sinZDFE=，求tanZEBC的值.38：已知：四边形ABCD中，ZA=60。,CB丄AB,CD丄AD,CB=2,CD=1.求：AC的长.9：已知：如图，要测量山AB的高，在和B同一直线上的C,D处，分别测得对A的仰角的度数为n和m，CD=a.试写出用a、n、m表示AB的表达式。10：已知：AABC中，ZA=45。，AB=、：6，BC=2，求AC及ZACB.111：已知：二次方程mx2(m2)x+1(m1)=0两个不相等的实数根，恰好是直角三角形4两个锐角的正弦值.求：这个

6、直角三角形的斜边与斜边上的高的比.练习试题1如图SBC中，cosB22，sinC=3，则SBC的面积是【C14A.21B.12D.21如上图2所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：朽，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是【】A.10mB.10打mC.15mD.5/3m如果ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是【】2A.ABC是直角三角形B.ABC是等腰三角形C.ABC是等腰直角三角形D.ABC是锐角三角形在ABC中，ZA=120,AB=4，AC=2，则sinB的值是【】A.D.；21T4如图，是一张宽m的矩形台球桌ABCD，一球从点M（点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC，然

7、后反弹到边AB上的P点.如果MC=n，ZCMN=a.那么P点与B点的距离为.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30方向走，恰能到达目的地C（如上图2），那么，由此可知，B、C两地相距m.如上图3,以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A,再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B,画射线OB,则cosZAOB的值等于.如图，在RtAABC中，ZACB=90,CD丄AB,垂足为D.若AC/5,BC=2，则sinZACD的值为【】冷B.255D.Q9如上图2，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度已知在

8、离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60和45.求隧道AB的长.（参考数据：叮3=1.73）,AC=6，D是AC上一点,若tanZDBA=5，求ad的长。10.副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，ABCF,ZF=ZACB=90ZE=45,ZA=60,AC=10，试求CD的长.如图湖泊的中央有一个建筑物AB,某人在地面C处测得其顶部A的仰角为60，然后，自C处沿BC方向行100m到D点，又测得其顶部A的仰角为30，求建筑物的高（结果保留根号）B如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立

9、即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。（1）问B处是否会受到影响？请说明理由。（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物。14、如图所示，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m.秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为53。，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？（参考数据：sin53心0.&cos53心0.6）第14题图）15、如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上

10、时，梯子的顶端在D点。已知ZBAC=60,ZDAE=45,点D到地面的垂直距离DE=3込m。求点B到地面的垂直距离BC。16、某数学兴趣小组，利用树影测量树高.已测出树AB的影长AC为9米，并测出此时太阳光线与地面成30夹角.（1）求出树高AB；（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度（计算结果精确到0.1米，参考数据：&1414,乜1732）17、如图，为了测量一条河的宽度,一测量员在河岸边的C处测得对岸一棵树A在正南方向,测量员向正东方向走180米到点B处,测得这棵树在南偏西60的方向，求河的宽度（结果保留根号）.30 例8、如图，一条渔船某时刻在位置A观测灯塔B、C（灯塔B距离A处较近），两个灯塔恰好在北偏东60的方向上，渔船向正东方向航行l小时45分钟之后到达D点，观测到灯塔B恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是BC=12海里，渔船的速度是16海里/时，又知在灯塔C周围18海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险?例6【解】（1）在RtAABC中，ZBAC=90，ZC=30tanC=AB=ACta