2022年新高考数学二轮提升数列专题第30讲《证明数列不等式：数学归纳法》（解析版）

1、第30讲 证明数列不等式：数学归纳法 一、解答题1（2021全国全国高三专题练习（文）函数f（x）ln（x+1）（a1）（）讨论f（x）的单调性；（）设a11，an+1ln（an+1），证明：（nN*）【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；（）利用数学归纳法即可证明不等式【详解】解：（）函数f（x）的定义域为（1，+），f（x），当1a2时，若x（1，a22a），则f（x）0，此时函数f（x）在（1，a22a）上是增函数，若x（a22a，0），则f（x）0，此时函数f（x）在（a22a，0）上是减函数，若x（0，+）

2、，则f（x）0，此时函数f（x）在（0，+）上是增函数当a2时，f（x）0，此时函数f（x）在（1，+）上是增函数，当a2时，若x（1，0），则f（x）0，此时函数f（x）在（1，0）上是增函数，若x（0，a22a），则f（x）0，此时函数f（x）在（0，a22a）上是减函数，若x（a22a，+），则f（x）0，此时函数f（x）在（a22a，+）上是增函数（）由（）知，当a2时，此时函数f（x）在（1，+）上是增函数，当x（0，+）时，f（x）f（0）0，即ln（x+1），（x0），又由（）知，当a3时，f（x）在（0，3）上是减函数，当x（0，3）时，f（x）f（0）0，ln（x+1），下面

3、用数学归纳法进行证明an成立，当n1时，由已知，故结论成立假设当nk时结论成立，即，则当nk+1时，an+1ln（an+1）ln（），ak+1ln（ak+1）ln（），即当nk+1时，成立，综上由可知，对任何nN结论都成立【点睛】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大2（2021安徽三模（文）已知函数f（x）exex，g（x）ax（e为自然对数的底数），其中aR（1）试讨论函数F（x）f（x）g（x）的单调性；（2）当a2时，记函数f（x），g（x）的图象分别为曲线C1，C2在C2上取点Pn（xn，yn）作x轴的垂线交C1于Qn，再过点Qn作

4、y轴的垂线交C2于Pn+1（xn+1，yn+1）（nN*），且x11用xn表示xn+1；设数列xn和lnxn的前n项和分别为Sn，Tn，求证：SnTn+1nln2【答案】（1）当时，在上递增；当时，在，上递增，在上递减.（2）；证明见解析.【分析】（1）求出，先讨论当时，得到单调性，令，则，再分和判断导函数的符号，得到单调性，综合并下结论；（2）根据点，求得点，再得到，从而得到与的关系；可用数学归纳法证明，递推时，用到数列前项和和通项公式的关系，并分析两边从到时，分析左右的特点，证得不等式.【详解】（1），则，令，则，当时，在上递增；当时，则，则，在上递增；当时，当时，即或时，；在，上递增；当

5、时，即时，；在上递减；综上可得，当时，在上递增；当时，在，上递增，在上递减.（2）由题，又，得，又过点Qn作y轴的垂线交C2于Pn+1（xn+1，yn+1），则，得.可用数学归纳法证明如下(i)当时，则左边，即时，不等式成立；(ii)假设，时，不等式成立，即，则当时，又即，即当时，不等式也成立.综合(i) (ii)可知，证式成立.【点睛】本题考查了用导数研究函数的单调性，用数学归纳法证明与数列相关的不等式，用到了数列前项和与通项之间的关系，考查了学生分析能力，逻辑推理能力，分类讨论思想，难度较大.3（2021全国高三专题练习）已知数列an满足a1a2，an(n2，nN*)(1)求证：对任意nN

6、*，an2恒成立；(2)判断数列an的单调性，并说明你的理由；(3)设Sn为数列an的前n项和，求证：当a3时，Sn2恒成立；（2）根据函数的单调性的定义，判断2，可判断数列an的单调性；（3）利用放缩法，结合数列的单调性进行证明即可【详解】(1)证明:用数学归纳法证明an2(nN*)：当n1时，a1a2，结论成立；假设nk(k1，kN*)时结论成立，即ak2，则nk1时，ak+12，所以nk1时，ak+12成立故由及数学归纳法原理，知对一切的nN*，都有an2成立(2)an是单调递减的数列因为an2(an2)(an1)，又an2，所以0，所以an+12(nN*)，所以，所以an+12 (an

7、2) (an-12)(a12)所以，当a3时，an+12，即an+12.当n1时，S132，当n2时，Sn3a2a3an3+232(n1)2n12n.综上，当a3时，Sn右式，结论成立.（2）假设当时结论成立，即，则当时，要证时结论成立，只需证，即证.由基本不等式知成立.故成立，所以当时，结论成立.由（1）（2）可知，对任意的时，不等式成立.10（2021全国高三专题练习）已知函数的最大值不大于，又当时，.（1）求a的值；（2）设，证明.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由函数的最大值不大于，求得的范围，再由第二个条件即可求得的值；（2）由（1）知，然后利用数学归纳法证明该不等式

8、即可【详解】（1）由于的最大值不大于，即，又当时，即，解得，又因为，所以；（2）由（1）知，下面用数学归纳法证明：当时，不等式成立；，故时不等式也成立；假设当（）时，不等式成立，的对称轴为，知在上为增函数，由，得，即当时，不等式也成立.根据和可知，对任何，不等式成立11（2022全国高三专题练习）已知函数fx的定义域为0，1，且满足下列条件： 对于任意0，1，总有，且； 若则有（1）求f0的值；（2）求证：fx4；（3）当时，试证明：.【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）令，由，可得（2）任取且设结合已知条件可得，所以在0，1上递增，所以，（3）先用数学归纳法证

9、明：，而当时，结合函数的单调性可得结论【详解】（1）解：令，由对于任意0，1，总有， 又由得即 （2）解：任取且设 则因为，所以，即 . 在0，1上递增，当0，1时，. （3）证明：先用数学归纳法证明：当n=1时，不等式成立；假设当n=k时，由 得即当n=k+1时，不等式成立由（1）、（2）可知，不等式对一切正整数都成立.于是，当时，而0，1，单调递增 ，所以，12（2021辽宁东北育才学校高二期末）设数列满足，（1）计算，猜想的通项公式并加以证明；（2）令，证明：【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知直接求解，猜想的通项公式为，；利用数学归纳法的步骤证明即可；（2

10、）求得，放大后利用裂项相消法求和，即可证明结论【详解】（1）由，得，猜想的通项公式为下面利用数学归纳法证明：当时，成立；假设当（，）时成立，即，则当时，当时结论成立综上所述，对于任意，有；（2）证明：，则13（2021山西浑源县第七中学校高二月考）已知.（1）求 ， ， 的值.（2）用数学归纳法证明 .【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据的表达式求得.（2）利用数学归纳法的证明步骤，证得.【详解】（1）.（2）由（1）知，当时，不等式成立.假设当（）时，不等式成立，即，当时，.综上所述，对任意，成立.14（2021贵州省瓮安第二中学高二月考（理）已知数列满足，（1）求，试猜想数

11、列的通项公式，并用数学归纳法证明（2）记数列的前项和为，证明：【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）依题意可得，再一一代入计算可得，即可猜想，再利用数学归纳法证明；（2）由（1）可得，再利用裂项相消法计算可得；【详解】证明：（）因为，所以当时，；当时，；当时，；猜想当时，猜想显然成立.假设时，猜想成立，即则当时，即当时猜想也成立.由可知，猜想成立，即（）由（）知.因为所以15（2021浙江杭州市富阳区第二中学高二月考）已知数列 前n项和 满足.（1）求数列 的通项公式；（2）令 ，用数学归纳法证明：【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）利用与的关系，分，两种情况，

12、即可求出数列 的通项公式；（2）由（1）求得数列的通项，再根据数学归纳法的步骤结合放缩法即可得证.【详解】解：（1）当时，当时，当时，等式也成立，所以；（2）证明：由（1）得，当时，不等式左边，右边，而，所以，所以当时，不等式成立；设当时，不等式成立，即，当时，即，所以当时，不等式也成立，综上所述，.16（2021河南南阳高二期中）记为等差数列的前项和，且，.（1）求；（2）用数学归纳法证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）通过基本量列出方程组并解除，进而得到答案；（2）分两步进行，先验证n=1时不等式成立，其次先假设n=k时不等式成立，然后再根据归纳假设，再证明n=k+1时

13、不等式成立即可.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由，得：，解得，所以.（2）证明：当时，不等式显然成立.假设时不等式成立，即.当时，.即时不等式成立.由可知，对于任意，不等式都成立.17（2021浙江温州高二期中）已知数列满足：（1）求，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，且对于恒成立，求实数的取值范围【答案】（1），证明见解析；（2）.【分析】（1）根据，得出，从而猜想，然后再用数学归纳法求解；（2）先表示出，转化为只需满足恒成立即可，而二次项系数为 ，故需讨论三种情况，即可求出 的范围.【详解】（1）因为，故可猜想当时，显然成立假设当时成立，即则当时，即证当时候，猜

14、想成立；综上所述：对任意正整数都成立（2）因为，故：若对于恒成立，则只需满足恒成立即可当时，恒成立满足题意；当时，显然不可能成立；当时，对称轴故在单调递减，故解得，又，故当时，满足题意综上所述，时，对于恒成立18（2021全国高二课时练习）已知数列an的各项均为正数，且满足a11，an1an(4an)，nN*.证明anan12(nN*)【答案】证明见解析【分析】当n1时，利用递推关系求得，验证命题正确假设nk时，有akak12，则利用作差法证明nk1时证明ak1ak20.利用配方放缩法证明ak22，得到命题成立.利用数学归纳法原理即得证明.【详解】当n1时，a11，a2a1(4a1)，a1a2

15、2，命题正确假设nk时，有akak12，则nk1时，ak1ak2ak(4ak)ak1(4ak1)2(akak1)(akak1)(akak1)(akak1)(4akak1)而akak10，4akak10，ak1ak20.又ak2ak1(4ak1)4(ak12)22，nk1时命题正确由知，对一切nN*都有akak12.【点睛】本题考查利用数学归纳法证明不等式问题，关键是要严格掌握数学归纳法原理和步骤，要灵活运用作差法，放缩法和不等式的基本性质实现从到之间的证明.19（2022浙江高三专题练习）设数列的前项和为，数列满足：，其中（）证明：数列是等比数列；（）记，证明：【答案】（）证明见解析；（）证明见解析.【分析】（）当时，与已知条件结合，两个式子相减，证明数列是等比数列；（）首先不等式转化为证明，再结合数学归纳法证明.【详解】（），当时，两式相减得，且，即，即，数列是公比为2的等比数列；（），要证明，即证明，即，当时，此时成立，假设时，等式成立，即，那么当时，设，所以，即，所以当时，成立，综上可知当时，不等式成立，即.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是不等式的转化，并结合数学归纳法证明，其中根据条件推理可得是关键.20（2021浙江省杭州第二中学高二期