《数列》专题4 等差数列(中下) 专题讲义（Word版含答案）

1、数列专题4-1 等差中下 （8套，8页，含答案）知识点：等差前后对应： （如果罗列法换算比较复杂，就用前后对应的方法，简化计算）若m、n、p、qN*，且mnpq，则amanapaq例： 一般前后数字显对称性，我们都从这个方面考虑。题目已知条件中，数列罗列得比较长，也适用此法。典型例题：在等差数列an中，a3a737，则a2a4a6a8_ 答案：74【解析】由a3a737，得(a12d)(a16d)37，即2a18d37.a2a4a6a8(a1d)(a13d)(a15d)(a17d)2(2a18d)74._已知等差数列，满足，则此数列的前11项的和( 答案：A) A44 B33 C22 D11已

2、知等差数列的前n项和为，若，则的值为（ 答案：C ） A B C D随堂练习：在等差数列an中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（ 答案：B【解析】，故选B ）(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24在等差数列中，则此数列前30项和等于（ 答案：B ）A810 B840 C870 D900等差数列的公差是正数,且,求它的前20项的和. 答案：；随堂练习（应用）：美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元问： 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美

3、元？ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？ 答案： 设工作年数为n（nN*），第一种方案总共加的工资为S1，第二种方案总共加的工资为S2则：S11000110002100031000n 500(n1)nS23001300230033002n 300(2n1)n由S2S1，即：300(2n1)n500(n1)n解得：n2 从第3年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多 当n10时，由得：S1500101155000S2300102163000 S2S18000 在该公司干10年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美

4、元 若第二种方案中的300美元改成a美元则an(2n1) nN* a250250数列专题4-2 等差中下 已知数列是等差数列，为正整数，则“”是“”的（ 答案：A； ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件已知等差数列an中，a7a916，a41，则a12的值是( 答案：15；)现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( 答案：B；解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个钢管总数为：123neq f(nn1,2).当n19时，S19190.当n20时，S2021

5、0200.n19时，剩余钢管根数最少，为10根)A9 B10 C19 D29假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? 答案：(1)设中低价房面积形成数列an,由题意可知an是等差数列, 其中a1=250,d=50,则Sn=250n+=25n2+225n,

6、 令25n2+225n4750,即n2+9n-1900,而n是正整数, n10.到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列bn,由题意可知bn是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400(1.08)n-10.85. 由题意可知an0.85 bn,有250+(n-1)50400(1.08)n-10.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6. 到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之

7、间的关系式可以是_ 答案：an2n1；解析a13，a2325，a33227，a432229，an2n1._已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2=45，a4=41，则Sn取得最小值时n的值为（ 答案：C；【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，且a2=45，a4=41，解得a1=47，d=2，Sn=47n+=n248n=（n24）2576Sn取得最小值时n的值为24故选：C） A23 B24或25 C24 D25在首项为81，公差为7的等差数列中，最接近零的是第( 答案：13； )项.已知等差数列an中，aeq oal(2,3)aeq oal(2,8)2a3a89，且an0，则S10为(

8、答案：D；解析由aeq oal(2,3)aeq oal(2,8)2a3a89得(a3a8)29，an0，S130，S130，,13a178d0，,3d0，)eq f(24,7)d0，S130,a1a130,a70，又由(1)知d0.数列前6项为正，从第7项起为负数列前6项和最大数列专题4-3 等差中下 等差数列的前n项和为,若，则的值是（ 答案：A ） A130 B65 C70 D75在等差数列中，求及前项和；（ 答案：=2n-1，；）夏季高山上气温从山脚起每升高100 m降低0.7 ，已知山顶的气温是14.1 ，山脚的气温是26 .那么，此山相对于山脚的高度是 （ 答案：C）A1500 m

9、B1600 m C1700 m D1800 m为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.9100.35. 答案：解(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1a，公比q110%0.9，ana0.9n1 (n1)(2)10年的出口总量S10eq f(a10.910,10.9)10a(10.910)S108

10、0，10a(10.910)80，即aeq f(8,10.910)，a12.3.故2010年最多出口12.3吨传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是_ 答案：55；解析三角形数依次为：1,3,6,10,15，第10个三角形数为：12341055._在等差数列中，以表示的前项和，则使达到最大值的是（ 答案：B； ）A21 B20 C19 D18首项为24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的

11、取值范围是（ 答案：D； ）AdBd3Cd3D d3在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( 答案：B；解析a12，d7,2(n1)7100，n0，公差d0，Sn为其前n项和，则点(n，Sn)可能在下列哪条曲线上( 答案：C；解析由Snna1eq f(1,2)n(n1)deq f(d,2)n2eq blc(rc)(avs4alco1(a1f(d,2)n，及d0知，eq f(d,2)0，排除A、B.对称轴neq f(a1f(d,2),d)eq f(d2a1,2d)0，排除D.)在等差数列an和bn中，a125，b175，a100b100100，则数列anbn的前100项的和为_ 答案1

12、0 000；解析由已知得anbn为等差数列，故其前100项的和为S100eq f(100a1b1a100b100,2)50(2575100)10 000._数列专题4-4 等差中下 已知等差数列an的前n项和为Sn，若S1221，则a2+a5a8a11 答案：7 在等差数列an中，若a3a9a15a21=8，则a12等于（ 答案：C； ）A1 B1 C2 D2九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 答案： 升.某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随

13、后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的eq f(1,3)？(lg 6572.82，lg 20.30，lg 30.48) 答案：解(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列an，其中a1128，q1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a7a1q61281.561 458(辆)(2)记Sna1a2an，依据题意，得eq f(Sn,10 000Sn)eq f(1,3)，于是Sneq f(12811.5n,11.5)5 000(辆)，即1.5neq f(657,32

14、).两边取常用对数，则nlg 1.5lg eq f(657,32)，即neq f(lg 6575lg 2,lg 3lg 2)7.3，又nN，因此n8.所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的eq f(1,3).根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点 答案：解图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n1)个点，故第n个图中点的个数为1n(n1)

15、n2n1.等差数列an中，已知a5 0，a4 + a7 0，则an的前n项和Sn的最大值为（ 答案：C）A. S7 B. S6 C. S5 D. S4若xy，两个数列x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则eq f(a2a1,b4b3)_ 答案：eq f(5,4)；解析设两个数列的公差分别为d1，d2，则eq blcrc (avs4alco1(yx4d1，,yx5d2，)eq f(d1,d2)eq f(5,4)，eq f(a2a1,b4b3)eq f(d1,d2)eq f(5,4)._.一个等差数列的项数为2n，若a1a3a2n190，a2a4a2n72，且a1

16、a2n33，则该数列的公差是( 答案：B；解析由eq blcrc (avs4alco1(a1a3a2n1na1f(nn1,2)2d90，,a2a4a2nna2f(nn1,2)2d72，)得nd18.又a1a2n(2n1)d33，所以d3.) A3 B3 C2 D1已知等差数列an中，a32a822a3a89，且an0，则S10为( 答案：D；解析由a32a822a3a89得(a3a8)29，an0，a3a83，S10eq f(10a1a10,2)eq f(10a3a8,2)eq f(103,2)15.)A9 B11 C13 D15等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1am20，S2m1

17、38，则m等于( 答案：C；解析因为an是等差数列，所以am1am12am，由am1am1am20，得：2amam20，由S2m138知am0，所以am2，又S2m138，即eq f(2m1a1a2m1,2)38，即(2m1)238，解得m10，故选C.)A38 B20 C10 D9 数列专题4-5 等差中下 在等差数列an中，若a2a4a6a8a1080，则a7eq f(1,2)a8的值为( 答案：C；解析由a2a4a6a8a105a680，a616，a7eq f(1,2)a8eq f(1,2)(2a7a8)eq f(1,2)(a6a8a8)eq f(1,2)a68.)A4 B6 C8 D1

18、0在等差数列中，已知，则等于（ 答案：A； ） A.4 B.5 C.6 D.7植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）（ 答案：2000米）现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？

19、(精确到千元，数据1.1102.594,1.31013.79) 答案：解甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为130%的等比数列，其和为1(130%)(130%)2(130%)9eq f(1.3101,1.31)42.63(万元)，到期时银行贷款的本息为10(10.1)10102.59425.94(万元)，甲方案扣除贷款本息后，净获利约为426325.9416.7(万元)乙方案10年中逐年获利数组成等差数列，11.5(190.5)eq f(1015.5,2)32.50(万元)，而贷款本利和为111(110%)(110%)91.1eq f(1.1101,1.11)17.53(万元)乙方案扣

20、除贷款本息后，净获利约为325017.5315.0(万元)，比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利把自然数1,2,3,4，按下列方式排成一个数阵根据以上排列规律，数阵中第n (n3)行从左至右的第3个数是_ 答案：eq f(n2,2)eq f(n,2)3； 解析该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，第n行有n个数，则第n1 (n3)行的最后一个数为eq f(n11n1,2)eq f(n2,2)eq f(n,2)，则第n行从左至右的第3个数为eq f(n2,2)eq f(n,2)3._. 设an是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是( 答案：C；解析由S50.又S6S7a7

21、0，所以dS8a80，因此，S9S5a6a7a8a92(a7a8)0即S9S5.)AdS5 DS6与S7均为Sn的最大值由公差d0的等差数列a1，a2，an组成一个新的数列a1a3，a2a4，a3a5，下列说法正确的是( 答案：C；解析(an1an3)(anan2)(an1an)(an3an2)2d，数列a1a3，a2a4，a3a5，是公差为2d的等差数列) A新数列不是等差数列 B新数列是公差为d的等差数列 C新数列是公差为2d的等差数列 D新数列是公差为3d的等差数列在项数为2n1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为_ 答案：10；解析S奇eq f(n1

22、a1a2n1,2)165，S偶eq f(na2a2n,2)150.a1a2n1a2a2n，eq f(n1,n)eq f(165,150)eq f(11,10)，n10._已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ 答案：C； ）A.5 B.4 C. 3 D.2已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10项和等于（ 答案：C；）A55 B70C85D100数列专题4-6 等差中下已知等差数列an的公差为d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，则m为( 答案：B；解析由等差数列性质a3a6a10a13(a3a13)(a6a1

23、0)2a82a84a832，a88，又d0，m8.)A12 B8 C6 D4在等差数列中，前15项之和=90，则=（ 答案：6； ）有纯酒精a L(a1)，从中取出1 L，再用水加满，然后再取出1 L，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精_ 答案：eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a)8eq blc(rc)(avs4alco1(2f(1,a)；解析用an表示每次取出的纯酒精，a11，加水后浓度为eq f(a1,a)1eq f(1,a)，a21eq f(1,a)，加水后浓度为eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a)eq blc(rc)(avs4

24、alco1(f(a1,a)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a)2，a3eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a)2，依次类推：a9eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a)8，a10eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a)9.eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a)8eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a)9eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a)8eq blc(rc)(avs4alco1(2f(1,a)._L.甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以

25、后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 答案：解(1)设n分钟后第1次相遇，依题意，有2neq f(nn1,2)5n70，整理得n213n1400.解之得n7，n20(舍去)第1次相遇是在开始运动后7分钟(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，有2neq f(nn1,2)5n370，整理得n213n4200.解之得n15，n28(舍去)第2次相遇是在开始运动后15分钟“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚

26、利将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”. “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列an，则此数列的项数为 答案：134； .已知数列an满足an262n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为( 答案：D解析an262n，anan12，数列an为等差数列又a124，d2，Sn24neq f(nn1,2)(2)n225neq blc(rc)(avs4alco

27、1(nf(25,2)2eq f(625,4).nN*，当n12或13时，Sn最大，故选D.)A11或12 B12 C13 D12或13首项为24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_ 答案：eq blc(rc(avs4alco1(f(8,3)，3)；解析设an24(n1)d，由eq blcrc (avs4alco1(a9248d0,a10249d0)解得：eq f(8,3)0，公差d0，公差d0，a53a7，a14d3(a16d)，a17d，Snn(7d)eq f(nn1,2)deq f(d,2)(n215n)，n7或8时，Sn取得最大值_.在等差数列an中，a18，a52，

28、若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差为( 答案B；解析设插入的四个数为x，y，z，r，则新的数列为a1，x，a2，y，a3，z，a4，r，a5，共九项，deq f(a5a1,91)eq f(28,8)eq f(3,4).) A.eq f(3,4) Beq f(3,4) Ceq f(6,7) D1已知两个等差数列an与bn的前n项和分别为An和Bn，且eq f(An,Bn)eq f(7n45,n3)，则使得eq f(an,bn)为整数的正整数n的个数是( 答案：D； 解析eq f(an,bn)eq f(A2n1,B2n1)eq f(14n38,2n2)eq f(7

29、n19,n1)eq f(7n112,n1)7eq f(12,n1)，n1,2,3,5,11.) A2 B3 C4 D5设是公差为正数的等差数列，若，则（ 答案：B； ）A 120 B 105 C 90 D75 已知数列为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。 答案：解：设 解得 注：等差数列有如下性质：若则。 数列专题4-8 等差中下 设是等差数列，且则这个数列的前5项和S5= （ 答案：D） A10 B15 C20 D25等差数列中，则此数列前20项和等于（ 答案：B； ）A B C D在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是_ 答案：1 473；解析100内所有能被3整除的数的和为：S13699eq f(33399,2)1 683.100内所有能被21整除的数的和为：S221426384210.100内能被3整除不能被7整除的所有正整数之和为S1S21 6832101 473._古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形