刚体和流体的运动 3-1、2、3

1、3-1 刚体模型及其运动3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律3-3 定轴转动中的功能关系3-4 定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律3-5* 进动3-6* 理想流体模型 定常流动 伯努利方程3-7* 牛顿力学的内在随机性 混沌第三章 刚体和流体的运动2022/7/292运动员跳水门绕门轴转动地球自转2022/7/2933-1 刚体模型及其运动在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。刚体是一个理想模型。刚体运动研究的基础：刚体是由无数个连续分布的质点组成的质点系。刚体的运动是这些质量元运动的总和。一、刚体(rigid body)-物体内任意两点的距离不变2022/7/294二、平动和

2、转动1、平动（translation)：连接刚体中任意两点的线段在运动中始终保持平行，则这种运动称为刚体的平动。刚体平动特点：研究方法：刚体质心的运动2、转动（1）定轴转动：转轴相对参考系静止。（2）定点转动：转轴上只有一点相对参考系静止，转轴方向不断变化。2022/7/296(3)一般运动：可看成平动和转动的叠加。例如，车轮的转动2022/7/2973、刚体的定轴转动Rotation of Rigid Body about a Fixed AxisO1O2m2m1xxv1v2刚体的定轴转动如何描述刚体的定轴转动？2022/7/298O1O2m2m1xxv1v2（3）因刚体内各点间的相对位置不

3、变，所以各点的半径所扫过的角度是相同的。这个转角就是角位移。（4）各点的角量（角位移、角速度、角加速度）相同。（1）刚体在定轴运动时，刚体上各点都绕同一直线（转轴）作圆周运动，而轴本身的空间位置不变。（2）各点的轨迹是半径大小不同的圆周。刚体的定轴转动刚体的角速度大小：刚体的角加速度大小：线速度和角速度的关系为：加速度与角加速度和角速度的关系：2022/7/2992022/7/2910 刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动对比三、自由度自由度：确定一个物体在空间的位置所需的独立坐标的数目。它反映了运动的自由程度。火车：被限制在轨道上运动，自由度为1飞机：在

4、空中飞行，自由度为3轮船：在一水平面上运动，自由度为2刚体的自由度刚体总自由度 i=6：平动自由度t=3转动自由度r=3刚体绕CA轴转动CA的方位其中两个是独立的2022/7/2913飞轮 30 s 内转过的角度例1，一飞轮半径为0.2m、转速为150rmin-1， 因受制动而均匀减速，经30s 停止转动。试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 。解：（1） t = 30 s 时，设.飞轮做匀减速运动时， t = 0 s 2022/7/2914（2）时，飞轮的角速度（

5、3）时，飞轮边缘上一点的线速度大小该点的切向加速度和法向加速度转过的圈数2022/7/2915 例2，在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动。开始时，它的角速度 ，经300s 后，其转速达到 18000rmin-1。 已知转子的角加速度与时间成正比。问在这段时间内，转子转过多少转？解 由题意，令 ，即 ，积分 得当t=300s 时所以2022/7/2916转子的角速度由角速度的定义得有在 300 s 内转子转过的转数转动平面 沿Z 轴分量为 对Z 轴力矩对O 点的力矩：一、力矩3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 设一刚体在力 作用下绕OZ轴转动。 若力不在转动

6、平面内注（1）在定轴动问题中，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。 只能引起轴的变形, 对转动无贡献。转动平面 是转轴到力作用线的距离，称为力臂。（2） （3）在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用+、-号表示。转动平面2022/7/2920二、刚体定轴转动定律质点系的转动定律刚体定轴转动定律利用力矩定义牛顿第二定律，研究刚体作定轴转动的动力学规律。 由牛顿第二定律，有建立自然坐标：切向、法向；将力分解切向、法向分量设： 为定轴，刚体中任一质元 ，其质量为 。质元 受外力 ，内力 的作用，均在与 OZ 轴相 垂直的同一平面内。OZ2022/7/2921切向分量式为：将

7、切向分量式两边乘以ri ,有：外力矩内力矩法向分量式为：利用 ，2022/7/2922OZ对所有质元求和：一对内力的力矩之和为零。刚体的转动惯量合外力矩则定义刚体定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。刚体的转动定律2022/7/2923O转动惯量的物理意义?2022/7/2924三、转动惯量（rotational inertia)的计算转动惯量的定义刚体的质量可以认为是连续分布的，写成积分形式：是质元的质量是质元到转轴的距离单位: 千克米2（kgm2）2022/7/2925质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分

8、布体分布面分布注意只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。2022/7/2926哪种握法转动惯量大？2022/7/2927几种均匀刚体的转动惯量2022/7/2928例题1，求质量为m、长为 l 的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：（1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；（2）转轴通过棒的一端并和棒垂直；（3）转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。lOxdxl/2l/2OxdxAlxdxAABh2022/7/2929解：如图所示，在棒上离轴x 处，取一线元dx，若棒的质量线密度为，这线元的质量为dm=dx。（1）当转轴通过中心并和棒垂直时，有l/2l/2Ox

9、dxlOxdxAlxdxAABh2022/7/2930因l=m，代入，得（2）当转轴通过棒的一端A并和棒垂直时，有lxdxA2022/7/2931（3）当转轴通过棒上距中心为h的B点并和棒垂 直时，有结论：同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量并不相同。lOxdxABh2022/7/2932平行轴定理推广：若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为I，则有：JJOmd2。转动惯量的平行轴定理llOxdxAlxdxA2022/7/2933转动惯量的可加性 一个具有复杂形状的刚体，如果可以分割成若干个简单部分，则整个刚体对某一轴的转动惯量等于各个组成部分对同一轴转动惯量之和。薄平板的正交

10、轴定理 yx z 圆盘 R C m2022/7/2934例题2，求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。rRdr解：设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的质量dm= 2rdr 。可得2022/7/2935例题3，求质量m，半径 R 的球壳对直径的转动惯量。分析：取离轴线距离相等的点的集合为质元dm36例题4，在质量为 M ，半径为 R 的匀质圆盘上挖出半径为 r 的两个圆孔，圆孔中心在半径 R 的中点，求剩余部分对通过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。分析：用填补法。2022/7/293

11、7练习1：右图所示，刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、球半径为R）2022/7/2938练习2：求质量 m，半径 R 的球体对直径的转动惯量。分析：以距中心 ，厚 的球壳为质元dmRo四、刚体转动定律应用举例s1. 确定研究对象。s2. 受力分析，并求外力的力矩。s3. 列方程求解： 平动物体列牛顿定律方程 转动刚体列转动定律方程 角量与线量关系2022/7/2939例1，长为l、质量为m 的细杆，初始时的角速度为 0，由于细杆与桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力矩 M阻。已知细杆绕一端的转动惯量2022/7/2940解：以细杆为研究对象，只有摩擦阻力产生力

12、矩。由匀变速转动公式t秒后静止，有得到因此，由转动定律得2022/7/2941例题3-4，一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？rRdrde解：由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩dM=rgdm 。此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是因m=eR2，代入得根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度。设圆盘经过时间t停止转动，则有得例2，质量为m1和m2两个物体，

13、跨在定滑轮上，m2 放在光滑的桌面上，滑轮半径为R，质量为M，求：m1 下落的加速度，和绳子的张力T1、T2。圆盘绕中心轴的转动惯量T1T2m12022/7/2945解：受力分析以为研究对象 （1）以为研究对象 （2）以为研究对象（3）T1T1T2m12022/7/2946（4）联立方程（1）-（4）求解，得讨论：当 M=0时2022/7/2947m1m2T2T1T1T2G2G1aaam1m2阿特伍德机2022/7/2948 例题3-3，一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳 的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，Mr的指向如

14、图所示。由牛顿定律和转动定律，有其中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等。即T2T1T1T2G2G1aam1m2而当不计滑轮质量及摩擦阻力矩，即令m=0、M=0时，有该装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小，这样就能较精确地测出a来。一、力矩的功在力矩作用下，刚体绕Z轴转过角，计算力矩所作的功。3-3 定轴转动中的功能关系2022/7/2953力对刚体所作的功可用力

15、矩与刚体角位移乘积的积分来表示，叫做力矩的功。力矩的功率为：当输出功率一定时，力矩与角速度成反比。2022/7/29542022/7/2955二、刚体的转动动能因此，整个刚体的动能为刚体的转动动能是组成刚体的各个质元的动能之和。设刚体中第i个质元的质量为 ，速度为 ,则该质元的动能为：刚体做定轴转动时，各质元的角速度相同。设质点 离轴的垂直距离为 ，则它的线速度三、定轴转动的动能定理外力矩作的元功是若刚体的角速度由则总外力矩对刚体所作的功为：总外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。刚体定轴转动的动能定理。2022/7/2956四、刚体的重力势能刚体的质心的高度为：hhihcxOmCmi一

16、个质元mi对质量为m的整个刚体：一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。2022/7/2957功能原理和机械能守恒定律对于既有平动物体又有定轴转动物体组成的系统，功能原理仍然成立。系统的功能原理：系统在一个状态变化到另一个状态的过程中，其机械能的增量等于外力所作功和系统的非保守内力所作功的代数和。如果在运动过程中只有保守内力作功,则此系统的机械能守恒。2022/7/2958例1，一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。分析：系统：滑

17、轮M和物体m。 受力： 据机械能守恒定律：2022/7/2959求（1） 杆下摆 角后，角速度（2）轴对杆作用力解：研究对象：杆+地球 只有重力（保守内力）作功， E 守恒。例2，均匀直杆质量为m，长为l ，初始时水平静止，AO =l/4 ，轴光滑，可以在竖直平面内转动。ABc2022/7/2960 2221wJEk=末态：qsinlmgEP42-=由平行轴定理，得ABc2022/7/2961()()得：由21(2)要求棒受轴的力，考虑质心的运动。由质心运动定理，得方向：l方向：tABcmgNNlNt2022/7/2962ABcmgNNlNt2022/7/2963由刚体转动定律，得由（3）、（4）、（5）和（6）可解出：2022/7/2964例题3-5，冲床上配一个质量为5000kg的飞轮，r1=0.3m， r2=0.2m。今用转速为900r/min的电动机借皮带传动 来驱动飞轮，已知电动机的传动轴直径为d=10cm。 (1)求飞轮的转动动能; (2)若冲床冲断0.5mm厚的薄钢片需用冲力9.80104N， 所消耗的能量全部由飞轮提供，问