弹性力学基本方程和岩石力学介绍

1、 第二章弹性力学的基本原理2.1应力分析应力与应力张量应力被定义为：用假想截面将物体截开，在截面上一点P的周围取一微元aS,设AS的外法线为v,AS上的力为AT,如极限limAT/AS=T存在，则称T为P点在该截面上的应力矢量。“vv考察三个面为与坐标面平行的截面(即以x,x,x三个坐标轴为法线的三个截面),T(i),T(2),T(3)123分别表示三个截面上的应力矢量。每一个应力矢量又分解为沿三个坐标轴的应力分量，有T(i)=beijj(i,j=i,2,3)(2.i)这里的张量运算形式满足“求和约定”，即凡是同一指标字母在乘积中出现两次时，则理解为对所有同类求和，即be应理解为be。这样的求

2、和指标j称之为假指标或哑指标。由此得到ijjijj/、(bbbbTT111213xxxyxzb=bbb或b=TbTij212223ijyxyyyzbbbTTbJ313233zxzyzz丿九个应力分量表示一点的应力状态，这九个分量组成应力张量(2.2)(2.3)(2.4)(2.5)在本书第一章致第九章，应力分量符号(正负号)规定如下：对于正应力，我们规定张应力为正，压应力为负。对于剪应力，如果截面外法向与坐标轴的正方向一致，则沿坐标轴正方向的剪应力为正，反之为负。如果沿截面外法向与坐标轴的正方向相反，则沿坐标轴正方向的剪应力为负。柯西(Cauchy)方程记S为过P点的外法向为n的斜截面。外法线n

3、的方向可由其方向余弦记为a=cos(n,x),niia=cos(n,x),a=cos(n,x)。n22n33设此斜截面AABC的面积为S,则如图2.1,过此点所取的小四面体OABC另外三个面为与坐标面平行的截面(即以x,x,x三个坐标轴为法线的三个截面)，其面积分别为i23AOBC:S=S-cos(n,x)=S心)TOC o 1-5 h z1n1AOAC:S=S-cos(n,x)=S心2n2AOAB:S=S-cos(n,x)=S-a丿3n3此截面上的应力矢量记为T(n),即T(n)=T(n)e另外三个面上的应力矢量分别为-T(1),-T，-T：)。考虑此微元(四面体OABC的平衡，其平衡方程为

4、T(n)-S-T(1)-S+T(2)-S12其中f为作用于此单元上的体力，h为O点至截面ABC的垂直距离，3S-h为此微元的体积。当(2.6) 此四面体微元无限缩小时,上式中最后一项为更高阶的无穷小量，可略去不计，从而得T(n)-T(i)-a+T(2)-a+Tn1n2n3将(2.1)代入,就得到T(n)-oaeijnij与(2.4)比较就得到T(n)的坐标分量与应力分量间的关系为：T(n)-aojniij这就是柯西(Cauchy)公式，写成矩阵形式就是3XXTyXTIZX斜截面上总应力在法线方向上的分量(正应力)为或将a,a,a写成l,m,n,n1n2n3o-aT(n)-aaovnjjninj

5、ijo-120+m20+n20+2lmo+2mnov11223312切线方向上的分量(剪应力)+2nlo23(2.7)(2.8)(2.9)(2.10)(2.11)(2.12)-IO2vT=T(n)O2T(n)+J(n)(n)vv123图2.12.1.3坐标变换建立新的正交坐标系x,X,x,并将上面所述的斜截面作为一个新的坐标面x,新坐标轴1231X,X,X与原坐标轴X,X,X之间的夹角余弦如下表示：123123XXX123fXaaa1111213fXaaa1212223fXaaa3313233则上面的应力矢量成为T(1)将应力分量从原坐标系o-Xyz变换到新坐标系o-Xyz，(2.10)成为o

6、-aT(1)-aaq1jj1i1jij(2.13)同理(2.14) TOC o 1-5 h zg=aT(i)=aag122jjli2jjg=aT(i)=aagI133jj1i3jj丿一般地，有(2.15)g-aT(i)=aagijjjjiijjij上式为应力张量坐标变换式,用矩阵表示为，ggg)aaa、gTT)aaa、111213111213(111213(112131ggg=aaaTgTaa2122232122232223(a2232,ggg(aaa(21Tg(12aa313233313233313233132333(2.16)上式用在具体计算时比较方便。在理论推导中，用应力张量的变换符号表

7、示比较方便：其中a为新坐标中x”与旧坐标中x.之间夹角的方向余弦。iiii剪应力互等定理:设体积微元(小长方体)的三个边长各为dx1、dx2、dx3,作用于此体积元上所有的力(包括惯性力)对于任一轴的矩的代数和必然为零。因而得g-g(2.17)ijji这就是剪应力互等定理。它表明，应力张量是对称张量。2.1.4主应力与应力张量不变量如果在某一截面上剪应力为零，则该截面的法向称为主方向，相应的截面称为主平面。主平面的正应力为主应力。设方向n为主方向，其方向余弦为(n、n、n)，此面上的主应力为g,则123T(n)gn11IT(n)=gn(2.18)22IT(n)=gn33将上式代入柯西公式(2.

8、7)，得(g-g)n+gn+gn-0111122133I(2.20)gn+(gg)n+gn0212222233Ign+gn+(gg)n-0311322333上式写成张量形式就是：ijiji(2.21)其中8.为克罗耐克尔(Kroneker)符号ij18=Qij0因为n、n、n不能同时为零，所以(2.20)的系数行列式必须为零。得123上式写成张量形式就是：(gg)gg11i1213g(gg)g-01222i23g31g32(gg)22i(2.22)将(2.22)的行列式展开后得ijij(2.23)(2.24) O3IO2+1oI=0i123方程(2.13)称为应力状态特征方程，其三个系数分别为

9、I二o+o+o1112233oooooor1112+2223+33312oooooo21223：331311ooo111213_ooo3212223ooo313233丿(2.25)特征方程(2.24)在坐标变换时保持不变，即它的三个系数I1,12,13不随坐标系的变化而改变,，1,12,13分别称之为应力张量的第一、第二、第三不变量。解特征方程求得三个实根就是主应力,通常取ooo。将其值代入方程组(2.20),并和条件n2+n2+n2=1联立，即可求得对应于每一个主123123应力o.(i=1,2,3)的主方向in=(n,n,n)=(w,w,w)i123H123(i=1,2,3)(2.26)其

10、中w=o-o)+oo,w=ovo-o)+oo,I223i111213w=o2o+oo2+o,3/i11务.i1211H=S2+w2+w2人123上述过程在数学上实际就是求应力张量矩阵的特征值和特征向量。(i=1,2,3)(2.27)如果选择主方向为坐标轴X,X2,X3,贝y应力张量不变量(2.25)可化简为TOC o 1-5 h zI=o+o+o(2.28)123II=oo+oo+oo122331I=ooo2.1.5最大剪应力 HYPERLINK l bookmark22 123可以证明，三个最大剪应力分别为T=T(oo)12212IT=T(oo)(2.29)23223IT=1(oo)3123

11、1这些剪应力所在的截面平行某一主轴面而与另外两个主轴成45夹角。最大剪应力在塑性力学的屈服准则和断裂力学的Dugdale模型中会用到。216应力圆(Mohr圆)记on为某一截面上的正应力，T为该截面上的剪应力。Mohr圆为on-T平面上的一个圆,这个圆的圆心C的坐标为Coo2,半径为J1122+o2丿(2丿12,0圆上的一点表示某一截面上的应力。该点的横坐标表示该截面上的正应力，纵坐标表示该截面上的剪应力。这个圆用方程(2.30) o+o)2(oo)2o-1122+t2=1122+o2IN2丿k2丿12表示就是：图2.2显示了Mohr圆，其中A点代表以x轴为法线的截面上的应力QQ)。该截面的法

12、线与11112第一主方向的夹角为Q。延长AC交Mohr圆于D点。D点代表以x轴为法线的截面上的应力1(oQ)。令t=0,从(2.17)式可以得出Mohr圆与横轴的两个交点的横坐标为2221OIO+G1=1122+oI2、2丿OG11222)2丿+O212(2.31)OOOcos2a=n22，sin2a=2-CBCB=osin2a+ocos2a12这个结果和用坐标变换的方法求得的结果一致。从A点顺时针沿圆周移动，扫过圆心角2a后至B点。现在我们来计算B点的坐标QN，t)的值。这正是两个主应力，和解特征方程(2.24)得到的结果是一致的。规定AC和横轴的夹角为22O(2.32)TOC o 1-5

13、h ztg2a=12oo1122o=OC+CBcos2a=22+2rcos2a1122=ocos2a+osin2a12o=OC-CBcos2a=22-22cos2a2222o=OC+CF=OC+CBcos(2a2a)NCE=OC+cos(2a2a)cos2ao+ooo11+1122-22cos2ao+ooo11+1122-22o+ooo11+1122-22-(cos2acos2a+sin2asin2a)cos2a+o-sin2a12oocos2a+1r222tg2a-sin2a G-G=11222cos2ag-g、n22I2丿sin2a+g12cos2a上述结果中的GN与t和坐标变换方法结果比

14、较，可以看出，B点正代表图2.3中HK面逆时t=CB-sin(2a-2a)(sin2acos2a一cos2asin2a)还可以做通过（g，0）、（G，0）两点的圆以及（G，0）和（G，0）两点的圆，构成三1323维应力圆。详细的论述可参见尹祥础（1985）。应力张量分解为球张量和偏（斜）张量应力张量可以进行如下的分解:g=g8+S（2.33）ij0ijij上式中右侧第一项称为应力球张量，G=（G+G+G）=1G（2.34）031122333ii称为平均应力，第二项称为应力偏（斜）张量，简称应力偏量。应力球张量是一种三个主应力彼此相等的特殊应力状态，有时称之为静水压应力状态。应力偏张量常用S.表

15、示各个分量，写成张量ij形式就是其特征方程为S=G-G8ijij0ij(2.35)S3-JS2-JS-J=0123(2.36)仿（2.25）的步骤，不难证明J=S+S+S=01112233SSSSSSJ=1112+2223+33312SSSSSS212232331311=一(aO)2+(oO)2+(oo)2+(o2+02+02)(2.37)6112222333311122331=一(aa)2+(oo)2+(oo)261223313=3o2I=-T2,0220SSS111213=SSS=I-Io+2o232122233200SSS313233上式中的T为八面体上的剪应力。式中的J,J,J称为应力

16、偏量的三个不变量。0123正八面体上的正应力与剪应力取三个主方向为坐标轴，法线n与三个坐标轴夹角相等的截面称为等倾面。等倾面法线的三个方向余弦l,m,n绝对值相等。根据l2+m2+n2=1可得I门=1m1=1nI二1/3。在空间共有八个这样的等倾面，它们组成一个正八面体。由式(2.11)可知此正八面体各面上的正应力均相等，恰等于平均应力o0，o=-(o+o+o)=-o=厶(2.38)031233ii3各等倾面上的应力矢量(n)的模为(T(n)2=(o12+om2+on2)=(o2+o2+o2)1233123不难证明，各等倾面上的剪应力T为012T2=(T(n)2o2=(o2+o2+o2)o2=

17、J003123032=(aa)2+(oo)2+(oo)2(2.39)12122331平衡方程与运动方程考虑固体中任意一点O与其相邻点的组成的微元的平衡(运动)，其平衡(运动)方程归纳如下:QoQoQo+12+13QxQxQx123QoQoQo+22+QxQxQx123QoQoQo+32+33QxQxQx1233/+f=0=P2/+f=0=P1 HYPERLINK l bookmark72 dudu=才，=322dx33dx23如图2.4,考察直角ABAC（分别与xx2轴平行的线(2.42)元dx,dx组成的夹角）的变化。变形后，直角BAC变为ZBAC。角度的改变量（减小量为正）12为a+卩。由

18、图2.4可知,根据小变形的条件，11a=tan-11,因而du2dxdx1dx(1+)111du1同理,2用符号=Q+卩）/2表示剪应变，同理得出:1221上述分量和、22、1122331dudu、_+l)12212dxdx121dudu、(L+）23322dxdx231dudu、(1+h)31132dxdx31(2.43)写成张量形式就是：(、(、111213IxxxyxzII,或Iij212223IijyxyyyzII313233zxzyzz丿1()2j，ii，j(2.44)(2.45)ij应变分量符号的另种常用的表示为:其中十Y十y11212213十y+y22122223”y1y丿231

19、23233y=u+u2ijj，ii，jij(2.46)y称为角应变，和剪应变虽然概念相同，但数量相差一倍。ijij应变为无量纲量。在实际中，一般用微应变（茁）或毫应变（m）为计量单位。屮10-6,1m10-3。小应变是指111213I=3212223313233丿(2.58)解特征方程求得三个实根就是主应变1、2、3。令V,V各代表体积微元变形前后的体积。为方便起见，沿三个主方向取出一个小体积长方体元，设体元的三个边长分别为a,b,c。变形后的边长为a+Aa，b+Ab,c+Ac,该点的体积膨胀系数为0=(VV)/V。注意到=Aa/a，=Ab/b，=Ac/c，0=l(a+Aa)(b+Ab)(c+

20、Ac)一abc/abc(2.59)23=+1231223311去掉高阶小量，就得到(2.60)显然，I=0。1将,的值代入方程组(2.55),并和条件a2+a2+a2123n1n2n3个主应变的主方向i二1联立，即可求得对应于每n=a,a,a)=丄(q,q,q)in1n2n3H123(i=1,2,3)(2.61)0=+1232312 其中q=8一87+SS,113/i22、1223q=8一8)+88,I223i111213q=82-8+8)8一82+8,3f1122、i1211H=、2+q2+q2人123应变张量分解为球张量和偏斜张量(i=1,2,3)(2.62)应变张量分解为球张量与偏斜张量

21、的和：8=86+Eij0ijij上式中等式右侧第一个张量是应变张量球张量。I08=-=033(2.61)应变张量的这一部分说明了一点（体积微元）的体积变化。式（2.61）右侧的第二个张量称为应变偏（斜张）量，以（丫）表示。因此有ij=8-8（2.62）ijij0ij应变偏量的三个不变量分别以J、J、J表示，且第一不变量123J=2=0ii所以应变偏量不包含体积变化。应变偏量也可以分解为五个纯剪切变形之和。因此应变偏量反映了一点邻域内的形状改变。变形协调方程变形协调方程的意义是：用形变积分得到位移是单值函数。满足它的必要条件是：物体内部任何一个体积微元在变形之后仍能保持相互的连续性。满足它的充分

22、条件则要求用形变积分得到位移与积分路径无关。从这两个命题都可以导出变形协调方程。变形协调方程可以统一写成：8+8=8+8ijklklijikjljlik共81个，其中只有6个是独立的：(2.63)（d28d28d28tr+22=2于,dx2dx2dxdx2112Q28Q28628TT+22=212,Qx2Qx2QxQx2112Q28Q28Q28QxJ+QxFQxQx5Q8一23+Qx(Q833Q8Q8)QxQx丿23Q8Q8IQ2823Q28QxQ23芦一(Q81处23+iQx13123Q8Q8IQxQx.Q2833-QxQx有限变形可加应变(2.81) (2.74) 在地质构造中，我们所看到

23、的多数是很大的变形。这些变形量用微小应变来描述显然不合理。以单轴拉伸为例。设试件原长度为l,受力后的长度为l,则相对伸长量表示为(2.64)0l-lNe=0-l0在许多情况下，所谓原长度并不是指无变形的初始长度，而是指某一变形阶段说的。设变形过程中的长度划分为l,l,l,l。每个阶段的相对伸长为lleii1ili1012Nlle-t0,1l0显然，e正e,只有当变形很小，分母中的l一律可以取为l时，才得到ii0i=0e=lLeii=0因此(2.64)式对变形的定义称为条件应变。如果将上述变形各个阶段划分得无限小，则得到相对变形的另一种表示为lle=-212l1(2.65)(2.66)(2.67

24、)dlde=l(2.68)其中dl为瞬时伸长，l为瞬时长度。于是总应变为f厂dle=l70应变的各个阶段可以表示为(2.69)仃*)=ln11丿0瓦eii=1(2.70)(2.71)(2.72)(2.73)可以成立。(2.67)所定义的应变称为可加应变，或对数应变。最早由卢多维克提出，由Hencky进行了系统研究，所以也称之为Hencky应变。(2.68)可以写成l*=ln匚l*l)L丿L丿=ln(1+s)=ln将上式展开为Tayler级数，就得到11G=2+32!3!显然，当llT0,-,对数应变退化为微小应变。0在研究体积膨胀时，按(2.58)式,0=+123122331123=厂+厂+厂

25、123因此，有限变形与应变张量的三个不变量有关。只有在微小变形的情况下，厂和I与厂相比可以231忽略，才能得到0=If=1ii如果采用可加应变，则按(2.58)式前的假设，变形前的体积为V=abc变形后的体积为0V=a-b-c111-Va-b-ca、bc0=In&=Iniii=In1+In1+In1=w+g+g(2.75)Va-b-cabc123这样的表达式也是很简单的。有限变形的两种表示方法描写有限变形必须考虑描述连续介质变形的两种方法拉格朗日方法和欧拉方法。拉格朗日方法以变形前物体内各点的坐标为自变量，而欧拉方法则以变形后物体内各点的坐标为自变量。在流体力学中多采用欧拉方法。对于固体力学的

26、小变形来说，两者的结果没有什么差别，但对于有限变形来说结果则不同。有关拉格朗日方法和欧拉方法及其相互变换，可参见尹祥础(1985),这里不再详述。2.3线性弹性应力与应变的关系通常称之为本构关系或本构方程。在弹性力学中，应力分量与应变分量间成一一对应的关系,且通常为线性关系，称之为广义虎克定律。弹性是指应力分量本身与应变分量本身之间存在一一对应的关系。但这种关系不一定是线性的。在少数情况下，材料是弹性的，但却是非线性的，这类问题称之为非线性弹性力学问题。本章只涉及线性弹性力学。广义虎克定律由弹性变形过程是一个可逆过程这个前提出发，依据热力学分析，可以得到应力分量b是应ij变分量&的单值函数的结

27、论。加上小变形的假设，可将应力函数按泰勒展开，并略去二阶及二阶ij以上的高阶小量。我们还假定物体未变形时内部没有应力，得到b=cs(2.76)ijijklkl式中c称为广义弹性常数。(2.76)式也可以写成ijkls=bb(2.77)ijijklkl式中b称为柔性系数。ijkl线弹性体的应变能.(2.78)(2.79)(2.80)由于弹性变形过程的可逆性，由热力学可以证明，它必定存在态函数一应变能密度W(&.)dW=bds由上式可以导出格林关系式8Wb=.d&.对于线弹性体，应变能密度为W=b&上式称为克拉贝龙公式。将(2.76)代入，得到W=1c&2.kl.kl2.4各向同性物体的广义虎克定

28、律(2.85) 一般的表示(2.76)式中c为一个四阶张量，共81个元素。由于形变张量是对称的，所以将指标i与j,kijkl与l互易，或将jj与k,l成对地互易之后，乘积并不改变。由此可见，张量c也可以有这ijklijkl(2.82)般情形中有21个。因此，对极个性质，即当指标互易时具有如下的对称性质:c=c=c=cijkljiklijlkklij经计算可证实，四阶张量的分量中具有以上对称性质的分量，在端各向异性的材料，也只有21个独立的弹性常数。至于具有三个正交的弹性对称面的物体，则具有9个独立的弹性常数，这样的物体称为正交各向异性体。正交各向异性体的弹性系数矩阵具有如下的形式：ccc000

29、、111213cc0002223c000对称33c0044c055丿对于各向同性体，利用坐标轮换时应变能的不变性和坐标轴选取的任意性可以证明，独立的弹性常数减少到只有2个。九+2卩九X000X+2卩X000X+2卩000对称卩00卩0广义虎克定律可写为o=2陆+xe,o=2阴5各向同性材料的弹性常数矩阵为TOC o 1-5 h z11112323o=2卩+X0,o=2卩,(2.83)22223131o=2卩+X0,o=2阴.33331212或者简写为o=2卩+X0S(2.84)ijijij其中e=+=+为体积应变或应变张量的第一不变量，5为Kroneker符ii112233123ij号。广义虎

30、克定律也可以写成以应力分量表示应变分量的形式：ij5ij其中I=o=o+o+o为应力张量的第一不变量。1ii112233考虑温度(膨胀)效应时的广义虎克定律设初始温度为T0,温度升高至T时必定产生膨胀。广义虎克定律(2.85)可改写为(2.86) ij8ij+a(TT)30ij或g=2卩+X08卩(TT)8(2.87)ijijij0ij式(2.86)、(2.87)称之为虎克定律的杜哈默一纽曼形式。其中a为各向同性材料的线膨胀系数。a、0有如下关系:Ea12v(2.88)2.5弹性常数及其相互之间的关系常用的弹性常数有九、卩、E、v、K。其中九和卩以前称为拉梅常数，卩又称为剪切模1s=a，11E

31、1111s=s=-e22332233V=a11E11122331(2.89)由广义虎克定律(2.83)G11=2卩+A011量或刚性模量。E称为杨氏弹性模量，v称为泊松比或横向变形系数，K称为体积弹性模量。卩可以利用纯剪切试验直接测得，此时g=t，其余应力分量均为零，根据(2.83),12=t/2卩。因此测得t和即可求得卩。1212E和V可以利用单轴拉伸试验测得，此时G=G，其余G=G=G=G=G=0。令0=2皿+X0(2.90)220=2卩+九。丿33将上三式相加得到0=g/(3X+2卩)11将上式代入(2.90)的第一式得到代入(2.90)的第二式或第三式得到九v=2(九+卩)(2.91)

32、、(2.92)也可以化为EvEA=，L1=(1+v)(12v)2(1+v)(2.91)(2.92)(2.93)利用(2.93)可将虎克定律表示为如下更常用的形式=丄Gv(G+G)11E112233=丄Gv(G+G)22E223311=丄Gv(G+G)33E3311221+V=G23E231+V=G31E311+v=G12E12(2.94)1+v3v=GG8ijEijE0ij(2.95)其中G=(G+G+G)/3=I/3，011223311为应力张量第一不变量，8为Kroneker符号1ij(2.102b)(2.96)5受些。 (2.102a) 定义体积变形模量K为K=-p/0可推出五个弹性常数

33、之间的关系,结果如下：a2uv卩(E-2卩)“2.1-2v3u-E3(1+v)(1-2v)1+v9K-EEv3Kv3K(3K-E)2V2=3(k-a)=E=3K(1-e)=JK2v22(1+v)2(1+v)9K-EaaE3K-2U3K-Ev=一1=2(a+U)3K-v2U2(3K+U)6KE/+2卩)上(1+V)(1一空)=9K(K-入)=2卩(1+v)=込=3K(1-2v)a+Uv3K-a3K+UK2九(1+v)2卩(1+v)UEE33v3(1-2v)3(3U-E)3(1-2v) HYPERLINK l bookmark206 Uav1-2v,=.a+Ua+2U1-v(2.97)(2.98)

34、2.6体积改变定律与形状改变定律应力张量和应变张量都可以分解为球张量和偏张量。A体积改变定律：应力球张量与应变球张量成正比，比例系数为3K。即q8=3K880ij0ijB.形状改变定律：应力偏量与应变偏量成正比，比例系数为2卩。即S=ijij(2.99)(2.100)上式不难由广义虎克定律导出。2.7各向同性物体的应变能密度将虎克定律(2.83)代入克拉贝龙公式(2.80)得到W=1九02+卩(82+82+82)+2卩(82+82+82)2-2233-2233-=丄72+Q2+Q22v(qq+qq+qq)+2(1+v)(q2+Q2+Q2)2E11上式可改写为223311222233331112

35、2331(2.101)112W=一九。2+皿-8=(九+卩)02+卩丫2ijij23ijij(2.102)=W+WVF其中WV为体积变形应变能:W=-K02v2W为形状改变应变能(畸变能)：FW=贬Fijiju=(8-8)2+(8-8)2+(8-8)2+6(82+82+82-222233332233-=g_G)2+(O_G)2+Q_G)212卩122331在考虑温度(膨胀)效应时,应变能为W=e2+卩卩(T_T)02ijij0(2.103)2.8应变能定理（克拉贝龙定理）应变能定理：如果弹性体在无限缓慢加载的条件下，始终处于平衡状态时，弹性体内的应变能等于在变形过程中所作的功。证明：外力功AJ

36、JJfudv+1JJTuds2ii2iiVS=A+A12体力面力所作的功分别为A和A。利用柯西公式T1向余弦。面力所的功A2为=bO,。其中a为边界外一点外法线的方iijjj利用高斯定理，AJJouads22ijijSJ!(Pa+Qa+Ra)ds=川啓+字+学123Iexexex丿SV1231JU(ou)dv-1Bibudv+1Bibudviji,j2ij,ji2iji,jVVV又由应变与位移的关系式1(u+u)，并利用Gij2i,jj,iijA2=2由平衡方程可知，o=-f,ij,ji=I,u(Gu+Ouiji,j2iji,j1,2iji,j=Gijij所以得因此dvG，ji)=1(au+gu)(第二项互换符号，其和不变)iji,j2iji,jjij,i=二u+(Ju)=b(u+u)ijj,i2iji,jj,iudv+1Biodvc2ijijV(2.104)A=A+A121Bibdv=B!wdvU*2ijijVV2.9功的互换定理(贝蒂定理及马克斯威尔定理)*克拉贝龙定理原来的表述方式是：在不变力的作用