2.2.2平行四边形的判定

1、平行四边形本课内容本节内容2.22.2.2 平行四边形的判定平行四边形的判定:1、定义：两组 对边分别平行的四边形是平行四边形 A D B C2、判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 A D B C 3、判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 A D B C 用数学符号表示：ABCD，ADBC四边形ABCD为平行四边形用数学符号表示：AB CD四边形ABCD为平行四边形用数学符号表示：AB=CD，AD=BC四边形ABCD为平行四边形 边: 平行四边形的两组对边分别平行. 边: 平行四边形的两组对边分别相等. 角: 平行四边形的两组对角分别相等 . 对角线: 平行四边形的

2、对角线互相平分. 平行四边形的定义和性质上面的定理可以看作是 平行四边形的定义和性质的逆命题 条件与结论相反？ 边: 平行四边形的两组对边分别平行且相等. 角: 平行四边形的两组对角分别相等 . 对角线: 平行四边形的对角线互相平分. 观察图2-26 ，从“平行四边形的对角线互相平分”这一性质受到启发，你能画出一个平行四边形吗？动脑筋图2-26 过点O画两条线段AC，BD，使得OA=OC，OB=OD. 连结AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是平行四边形，如图2-27. 你能说出这样画出的四边形ABCD一定是平行四边形的道理吗？图2-27图2-27由于OA=OC，OB=OD，AOB=COD

3、因此OABOCD. (SAS)从而 AB = CD ，ABO=CDO . 于是 ABDC.同理 BCAD所以四边形ABCD是平行四边形.结论对角线互相平分的四边形是平行四边形.由此得到平行四边形的判定定理3：已知：如图2-28，在ABCD的对角线AC和 BD相交于点O，点E，F在BD上且OE=OF.求证：四边形AECF是平行四边形.举例例7图2-28证明：由于四边形ABCD是平行四边形，因此 OA=OC.所以四边形AECF是平行四边形.又 OE=OF，图2-28已知：如图2-29，在四边形ABCD中，A=C ，B=D.求证：四边形ABCD是平行四边形.举例例8图2-29 四边形ABCD是平行四

4、边形.证明 A =C， B =D， A +B +C +D = 360， BCAD .同理，ABDC. 从例8 可以看出， 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.图2-29小结1. 平行四边形的判定定理有哪些，用文字和数学符号分别怎么表示？判定文字语言图形语言符号语言定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形ABCD, ADBC 是平行四边形定理1一组对边平行且相等的四边形是平行四边形AB=CD, AB/CD是平行四边形定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形AB=CD, AD= BC 是平行四边形判定文字语言图形语言符号语言定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形OA=OC, OB=OD 是平

5、行四边形定理4两组对角分别相等的四边形是平行四边形B=D, A=C是平行四边形O如图，把ABC的中线AD延长至E，使得DE=AD，连接EB，EC .求证：四边形ABEC是平行四边形.练习 1.证明：由已知 BD=CD, DE=AD.所以四边形ABEC是平行四边形.(对角线互相平分的四边形是平行四边形.)如图，ABCD的对角线相交于点O，直线MN经过点O，分别与AB ，CD交于点M，N ，连接AN，CM.求证：四边形AMCN是平行四边形.2.证明： ABCD， OA=OC, ABDC. 四边形AMCN是平行四边形. BAC =ACD.又 AOM =CON,所以 AOMCON. (ASA) AM=

6、CN. 又 AMCN，中考 试题例1 如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平行四边形共有 个.解析 由图形知，由两个正三角形所组成的平行四边形有6+6+1=13个；由四个正三角形所组成的平行四边形有6个，由六个正三角形所组成的平行四边形有2个； 故所有的平行四边形共有21个.21中考 试题例2 如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DFBE. 求证：（1）AFD CEB； （2）四边形ABCD是平行四边形.（1）DFBE， DFE=BEF. AFD + DFE=180， CEB +BEF=180， AFD =CEB. 又 AF=CE，DF=B