数值计算方法1

1、作业1：根据给出的过程系统，作出信息流程图，写出过程矩阵、关联矩阵和邻接矩阵。如何利用邻接矩阵识别输入流、输出流和循环流 ？作业2 单元过程自由度分析的主要步骤和意义是什么？作业3 简述化工流程模拟主要包括哪些基本模型，你认为选用这些模型 的过程中有哪些注意事项？1关于数学模型的自由度 数学模型的自由度一般小于实际过程系统的自由度 单元过程的自由度随着描述该单元数学模型的变化而变化数学模型建立和求解的过程中，自由度分析是不容违背的原则 2 第三章 数学模型求解方法（Introduction）“算法（algorithm）”与“方法（method）” “算法”是指那些已经程式化的、有具体操作步骤或

2、套路、往往可表达为计算公式的在数学上比较成熟的计算过程。换句话说，算法（Algorithm）是一系列解决问题的清晰指令，也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。 “方法”：意味着尚未形成成熟的算法，不存在解决问题的固定套路，但是有解决问题的一系列思路，也可能在“方法”的某些环节也存在相应算法可用于解决某些子问题。古指量度方形的法则；现指为达到某种目的而采取的途径、步骤、手段等 。 3主要内容基本概念 线性代数方程组非线性一元方程的迭代解法非线性一元方程组的迭代解法*迭代加速技术*方程组的切割技术双层法*（第四章流程模拟部分）常微分方程组的初值问题与动态模拟化工装置的动态仿

3、真* 简介，选择学习化工计算主要涉及试差法，该法的实质为非线性方程（组）的求解问题NOTE：数值计算方法采用某个公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化。是研究并解决数学问题的数值近似解方法，简称计算方法。 化工常用的数值计算方法 4概述：在化工系统的稳态模拟问题中，系统模型主要是代数方程组，多数常含有非线性方程，属于非线件代数方程组。因此非线性代数方程组的数值解法，就成为化工流程模拟解算时必须首先掌握的一种十分重要的基本方法。 （向量表示法）（向量表示）3.1 基本概念53.1.1 隐式与显式代数方程 隐式显式转换：一般来说：显示方程化成隐式较为容易，隐患较少，而隐式方程化成显式方程则存在一定

4、隐患。例：将f(x)=0 x=x+f(x) ?例：x2-x=0例：x=x2+26 方程形式转换的目的：(1) 符合专业工程师的理解习惯，便于从物理的、工程的角度分析问题。(2) 扩大模型求解时的收敛范围，及便于给出初始值。(3) 适应模型自由度的分析结果，调整、选择模型的设计变量、状态变量，尽量将方程（组）表达为状态变量的显函数方程形式。(4) 提高模型求解的收敛速度或数值稳定性。(5) 为了适应已熟悉的、现成的求解方法或软件。73.1.2 迭代过程与迭代法 迭代法求解代数方程（组）是最重要的一类方法。使用迭代法的意义在于： a.在绝大多数化工计算中，无法用直接方法求得方程组的解，只能使用迭代

5、法求其数值解。 b.有时使用迭代法求解时，计算效率高或数值稳定性好。 c.尤其对于复杂的化学工程问题，往往函数性状十分复杂，甚至函数无解析表达式，只能由一段程序或数据表格定义。此时只能使用迭代法。迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程：设定变量的初始假设值，然后用一系列迭代修正来改进，使其逐步逼近精确值。如: X=(X2+4)/3 8单步法(One-Step Methods)迭代 多步法(Multistep Methods)迭代 满足上式的点叫迭代过程的不动点(Fixed Point)；不动点，是一个函数术语，在数学中是指“被这个函数映射到其自身一个点”。Xk成为迭代序列，其极

6、限X*称为吸引点(Point of Attraction) 从一个初始向量出发从m个初始向量出发的m步 K=m-19应用迭代法需注意三方面的问题：适定性（well-posedness）问题 ： 由迭代计算得到的序列是否均在求解域或定义域内，或说每步迭代计算是否都能得到有意义的结果。这个问题在实际中极为复杂。尤其在化工流程模拟计算中，往往由于数学模型的复杂性使得我们忽视了模型及其求解算法的适定性问题而导致计算的困难。收敛性问题 ：局部收敛性与全局收敛性（根据初值要求的苛刻与否） 极 限迭代的效率问题 ： 即用计算机求方程组的数值解的过程中，机时与内存是否节省。评价效率一般需综合考虑迭代序列的收敛

7、性与每步迭代的计算量。收敛性好的算法需要的迭代轮次较少，但如果每一轮迭代的计算量过大也会影响总的计算效率。 10影响迭代过程四要素： 初始点或初始估计值。 迭代公式或迭代格式。 收敛判据(convergence criterion)。 收敛容差(convergence tolerance)。 如何判断收敛与否？-两个向量之间的距离113.1.3预备知识-范数 norm 用途:为了度量计算解的准确程度及研究迭代法的收敛性，需要对Rn（n维向量空间）中向量的“大小”进行评价。 引入向量范数的概念。向量范数定义 如果向量X Rn的某个实值函数N(x) x，满足下述条件：（1）x0，且x=0当且仅当x

8、为0向量（正定条件）（2）cx=c x，c为任意实数（齐次条件）（3） x+y x+ y （三角不等式） 则称N(x)是Rn上的一个向量范数。12几种常用范数定义-向量的范数vector norm 如果向量x=（x1,x2,x3,x4.xn)T Rn,则： L1： x1=xi “1”范数 L2： x2= （ xi2）1/2 “2”范数 L3： x=maxxi “无穷”范数例： 计算向量x=（-1，1，-2）T 的三种范数133.2 线性代数方程组 3.2.1一般形式 求解线性代数方程组可以使用高斯消去法等类型的算法。但是对于维数较高的情况，往往使用迭代法具有占用工作单元较少，程序结构简单，计算

9、效率较高并且数值稳定性较好等优势。（1）14 方程组的解法： 分类：直接法（适于特殊的线性方程）和迭代法 直接法direct method：就是不考虑舍入误差，通过有限步骤四则运算即能求得线性方程组准确解的方法。 克莱姆法则（不实用） 高斯消去法 三角分解法 迭代法(iteration methods)：基本思想是设定变量的初始假设值，然后用一系列迭代修正来改进，使其逐步逼近精确。（如：Jacobi法p63） 化工过程模拟计算（或优化）非线性方程组求解 -线性化构造迭代序列 关键：迭代序列的构造和算法的选择 153.2.2简单迭代法（Jacobi法,自学） 改写方程（1）为显式：对应的Jaco

10、bi迭代公式：写成增量格式：163.2.3超松弛迭代算法（Successive Over Relaxation Method，SOR法） 迭代格式：-Jacobi法的改进（自学，p64）均有成熟的算法程序！增加了松弛因子；利用了本轮迭代信息；173.3 非线性一元方程迭代解法3.3.1隐式方程迭代解法 隐式方程的迭代算法主要有： 切线法（牛顿法） 割线法 （弦截法） 18（1）牛顿法求根对于隐式函数f(x)=0对函数f(x)在x= xk处，对xk（第k轮迭代中x的估计值）作泰勒展开，取一次项得：希望：x= xk+1， 牛顿法的地位：是求解非线性方程组的基本算法之一，具有重要价值。f(x)f(x

11、K)+ (x-xk)f(xk)+ (x-xk)=019 xk+1 xk 牛顿法求根几何意义：以（Xk) ,f(xk)点的是导数为斜率，做该点的切线方程，该方程与x轴的交点即为xk+1，逐步逼近方程的根。f(x)x特点：二阶收敛，局部收敛性好；初值要求高； 迭代区间存在水平切线时可能不收敛，多重根时收敛阶下降；函数不可导或无法解析表达时受限20牛顿法求根的关键是求 ：对于函数的数学形式已知的情况下，可先对之进行求导而取得 的函数形式(切线法），再将xk+1代入;如果函数比较复杂可用微差商来代替导数（割线法）。xk+1=xk-f(xk) (xk-xk-1) /f(xk)-f(xk-1) （称弦截法

12、或割线法）（2）割线法（弦截法）思考：割线法求根的物理意义？F(xk)=(f(xk)-f(xk-1)/(xk-xk-1)21 xk xk-1 弦截法求根几何意义：以（Xk,f(xk)、(xk-1,f(xk-1)点为坐标，做割线方程，该方程与x轴的交点即为xk+1 ，逐步逼近方程的根。f(x)xxk+1特点：超线性收敛（1.618阶）；需两个初值。相当于多不迭代（两步迭代）； 不用求导数，适应性广22例题1：牛顿法求代数方程x3-2x-5=0，在x0=21.5,3附近的零点 （精度：0.001) 解: 迭代格式: xk+1=xk-(xk3-2xk-5)/(3xk2-2) x1=2+1/10=2.

13、1 x2=2.1-0.0054=2.09460 判断: =x2-x1=0.0050.001 x3=2.0946-0.0000048=2.094595 判断: =x2-x1=0.00000480.001 (计算结束) 两次计算可得方程的根!23（3）三阶迭代法（不讲）（4）王健红迭代法1（不讲） 该法收敛阶为3，特别适合于化工流程模拟计算中状态方程求根计算。需注意计算时根号内若小于零则取零，根号前号可按照求根的物理意义确定。如求气相体积根，恒取号；如求液相体积根则恒取负号。若求密度根，则规律相反。 若非状态方程求根，可按下式求取：式中号可取一阶导数的符号，则可迭代至较靠近近似值的根。解决复杂系统

14、计算稳定性243.3.2 程序设计 （Fortran & C）3.3.3显式方程迭代解法 （1）直接迭代法（direct substitution, direct iteration） 增量格式 25 直接 迭代概念（iteration) f（x）=0 x=g（x）-1 f(x) x(0) x(1) -2 转换判断：Xk+1与Xk是否足够接近？ -3收敛convergent ：趋向于某一个数值发散divergent ：计算值没有规律振荡oscillating ：假设值重复直接迭代原理（实质）：迭代法求根就是确定y=g(x)与y=x的交点x*26直接迭代法求解方程组的步骤(1) F(X)=0 转

15、化为等价的X=(X)(2)迭代格式为：Xn+1= (Xn)(3) 计算，判断：是否符合判据。如果符合，则X*= (X*)直接迭代法的应用和评价： 直接迭代法的迭代方程X=(X)是表示迭代变量的计算值同假定值之间的函数关系的一般形式，在序贯模块法中，这一函数关系表现为隐式复合函数形式（稍候讲）。 直接迭代法并不总是能收敛的，其收敛特征与具体过程的非线性特性有关。几何意义见教材p73页。 27例题：求代数方程x3-2x-5=0，在x0=21.5,3附近的零点 （精度： xk+1-xK0.001) 28 解: 转换x= =(2x+5)1/3 x= (x3-5 )/2 迭代格式: xk+1=(2xk+

16、5)1/3 x1=2.08008 x1=1.5 x2=2.09235 x2=-0.8125 判断: =x2-x1=0.01270.001 x3=-2.7688 x3=2.09420 x4=-13.106 =x3-x2=0.001850.001 - x4=2.09448 =x4-x3=0.000280.001 (不收敛） (收敛，计算结束) f1（2）=0.154 1 f2（2）=1.5 1 29 直接迭代法的收敛性定理：若（x）定义在（a，b）上，如果（x）满足1，当xa,b时，有a（x）b2， （x）在a,b上可导，并且存在正数L1，使对于任意的xa,b，有（x）L则在a,b上有唯一的点X*满足X*= （x*）（