从傅里叶变换到小波变换课件

1、第 8 章 从傅里叶变换到小波变换8.1 引言8.2 时域分析与窗口傅里叶变换8.3 小波变换8.4 多分辨分析8.5 小波变换的应用及其举例本章要点8.1 引言信号的时、频域分析信号时域分析和频域分析的重要性：时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。信号的时域和频域之间具有紧密的联系。信号时域分析和频域分析的主要方法：傅立叶变换：问题提出 例1：信号 其时域波形和频谱如图回目录从时域看， 和 是两个不同的时间过程； 从频域上看，这两个信号的频谱的确相同。 显然，两个不同的时间过程对应着完全相同的频谱，但是我们却无法用傅里叶变换将它们区别开来！结论：傅里叶变换不具有那种将这两个具有不同时间过

2、程的信号在频域区别开来的能力！回目录例2：从歌声中恢复乐谱 或从从乐谱中恢复歌声怎么办？ 为什么？用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。这表明Fourier 变换不能同时进行时间频率局域性分析。先详细地的分析一下原因，然后再提出解决办法为了讨论方便，将傅里叶变换对重写如下： (81) (82) 式中 称为积分变换的核（简称积分核）回目录分析1 ：从式（81）,傅里叶中采用的基函数（积分核）属正交函数族或正交基，所以傅里叶变换是一种正交变换。由于傅里叶变换的积分核 的幅值在任

3、何情况下均为1，即 ，且在时域的支撑区为 ；上的贡献决定的，不能反映 在局部区域上的特征；即式（81）不能用于时域信号 的局部分析。但由于 在频域连续变化，故其具有无限精细的“频谱分辨率”。回目录 分析2：从式(82),傅里叶反变换的积分核 的幅值在任何情况下均为1，即 ，且在频域的支撑区为 ，而 的傅里叶反变换为 ，因此，信号 的任意时间点值是由频谱 在整个频率域 上的贡献决定的，不能反映 在局部区域上的特征；即式(82)不能用于频率域上 的局部分析，但是在时域具有无限精细的“时间分辨率”。回目录分析3：从上述得知，由于傅里叶变换对关系式中的积分核 在时域和频域都无始无终，存在于整个时间轴和

4、频率轴上，即 积分核在时域和频域的支撑区 均为 ， 所以时间过程和频率过程彼此是整体刻画的，不能反映各自在局部区域上的特征。这就从理论上决定了（81）、(82)定义的傅里叶变换不能用于局部分析。回目录分析4：式（81）的积分核 的傅里叶变换为 这表明式（81）定义的傅里叶变换具有无限精细的“频谱分辨力”；同理式（82）中的积分核 的傅里叶变换为 即式（82）定义的傅里叶反变换具有无限精细的“时间分辨力”。 回目录8.2 时频分析与窗口傅里叶变换8.2.1 窗口傅里叶变换的引入由于Fourier变换是频域分析的基本工具，因此，最方便也是最容易想到的方法就是在Fourier分析中的基函数之前乘上一

5、个时间上有限的时限函数g(t)，即用 作为积分核，这样 起频限的作用g(t)起时限的作用，合在一起就可以起到时频双限制的作用，这时的变换公式为： （83） 显然， 提供了f(t)在g(t)所限定的局部时间区域内波形的频域信息。回目录g(t)往往被称之为窗口函数，则相应的傅里叶变换称为窗口傅里叶变换。其变换公式为： （84） 式中， 中的G表示加窗变换的意思； 称为窗口傅里叶变换 的积分核。回目录如果我们在频域中对 通过窗函数 的加窗作用而获得了 在频率 附近的局域信息 ，则 （85） 提供了频域窗函数所确定的频域局部区域内信号 的时域信息。我们把这种既在时域又在频域都具有局域性质的窗口函数称为

6、时频窗。回目录 8.2.2 窗口傅里叶变换的能量守恒性不失一般性，选高斯函数作为窗口函数，即 （86）回目录式中正常数a为窗口宽度参数。其实，Gauss函数在窗口最小意义下是最优窗口函数，这时的窗口傅里叶变换也称为Gabor变换。Gauss函数的傅里叶变换为： (87)回目录将(86)的窗口函数代入式(84),然后两边对做积分，有： (88) 回目录由于窗口傅里叶变换不损失f(t)在频域的任何信息，因此有 (89) 这表明窗口Fourier变换也是能量守恒变换。回目录8.2.3 从系统的观点看窗口傅里叶变换1. 加窗的观点当时移 固定时，例如取 ，式(84)可写为(810)回目录 式中 。图8

7、3 时移固定时窗口傅里叶变换的系统解释回目录2. 滤波的观点当频率固定时，例如 ，式(84)可以写为若窗函数是偶对称的，即回目录则有 (811)图84 固定时，窗口傅里叶变换的系统解释从上可见， 是一个时频函数，从频域看，它是时域局部区域信号 的频谱；从时域看，它又是信号频谱被低通滤波器过滤后的输出。回目录8.2.4 时间频率局域化从上可知，窗口函数是对信号进行时频局部化分析的基本函数，而窗口函数的局部性则可由其自身的窗口尺度来表征。设g(t)为时域窗口函数，其傅里叶变换 为频域窗口函数，而相空间的点 (812) 称为窗函数 的中心（或重心）。回目录式中 为窗口函数的能量。而 可看作是窗口函数

8、在时域和频域中的能量分布。 （813） 分别称为窗函数 的归一化方差， 可认为是窗函数 的时宽和频宽。回目录对中心在 处能量为 的窗口函数 ，总可以由下式将其标准化 (814)因此以后凡提到窗函数，若无特别说明，总假定已标准化。此时式(811)可写为 （815）从上可见，用时频窗的面积 作为衡量时频局部特性的定量标准是适宜的。 (816)回目录注意到则 (817)又由于为保证窗函数的局部性效果，总假设 则（816）可进一步写为回目录 （818） 或 （819）这就是著名的Heisenberg测不准原理。即 与 之积为常数，表明二者不可能同时达到最小，即提高时间分辨率 ，意味着降低频率分辨率 ，

9、反之亦然。式(818)或(819)中的等号在 时成立，即高斯窗口函数具有最小的时频窗口面积 (820)回目录1.一个信号过程，既可以用时间函数f(t) 描述，也可以用频率函数 来描述。前一种方法比较直观，后一种方法对分析物理过程的变化方式比较简单，应用中根据问题的性质和难易程度可以选用更适合的某一种方法。2.当对信号的时间特性和频谱特性都感兴趣时，可以使用时频分析方法。回目录3.窗口傅里叶变换是一种有效的时频分析方法，其窗口的时频局部特性可以用时窗宽度 和频窗宽度 的乘积，即时频窗口面积 来衡量。4.时频窗口面积受（817）式Heisenberg测不准原理的制约，频窗和时窗不能同时达到极小值。

10、这表明改善频率分辨率总是以牺牲时间分辨率为代价，反之亦然.回目录5.对窗口傅里叶变换而言，只要窗口一旦选定，它即 和 也就随之确定不变，亦时频窗口面积及形状也就确定不变。在整个分析过程中便不再改变。回目录8.2.5 窗口Fourier变换的瞬时分辨率1. 频率分辨率对窗口傅里叶变换而言，由于对同一种窗函数而言，其通带宽度与窗宽是成反比的，所以，如果希望频率分辨率高，则窗宽应尽量取大些2. 时间分辨率它所具有的时间分辨宽度为 ，所以若希望时间分辨率高，则窗宽应尽量取小一些。回目录3. 窗口傅里叶变换的分辨率的限制如果设 为时间分辨率， 为频率分辨率，即则 满足式(819),即 (821) 式中

11、仍满足式（813）、（815）。从Heisenberg不等式可以看出，时间分辨率和频率分辨率对窗宽的要求是相互矛盾的，二者不能同时很高，也不会同时很低。回目录8.3 小波变换8.3.1 从窗口傅里叶变换到小波变换众所周知，信号过程的突变性往往是自然界中客观实体的区别所在，分析这类信号需要采用时频局部分析工具。窗口傅里叶变换提供了这种分析方法。但由于它的时频窗口的大小形状固定不变，因此难以敏感的反映信号的突变。一般而言，实际的信号过程是很复杂的，无论是单一的还是多分量的信号，为了提取高频分量或速变成份的信息，要求时域窗口 应尽可能地窄，而同时允许适当放宽频域窗口，因为更高频率分量即使有较大的绝对

12、频率误差，仍可使相应的相对误差保持不变； 回目录对于慢变信号或低频成份，时窗应适当加宽，以保证至少能包含一个周期过程。显然，由于是低频分量，频域窗口就应尽量缩小，以保证较高的频率分辨率和较小的测频误差，使频率的相对误差满足提取信息的基本需要。换句话说，对实际的多尺度信号的时间过程的分析需要时频窗口具有自适应性和平移功能，以根据分析的需要自动改变时窗宽度 和频窗宽度 的大小，使得在低频时频窗小而时窗大，高频时时窗大而频窗小，平移参数也要随着窗口的变化自动改变平移步长，如图86所示。 回目录图8-6 自适应时、频窗口的相空间表示 回目录为了得到上述所希望的“时频窗口”，先回顾一下傅里叶变换的尺度变

13、换性质： 即随着参数 的减小 ，相对于 而言， 的支撑区随之变窄，而 的支撑区则随之向高频端展宽，反之亦然。时频域的支撑区域随着 的变化而自动按需要调节。受此启发引入一个“窗口”函数族 （8-22） 回目录以式(822)作为积分核定义一个积分变换 （823） 式（823）称为信号 f(t) 的小波变换，其中a是尺度参数，b是位移参数，函数 称作小波，若 是复变函数时，上式积分中要用复共轭函数 。利用parseval公式和Fourier变换的尺度变换性质，可以证明对所有 f(t) 的连续子波逆变换，即重构公式为： （824）回目录图87尺度参数的变化对的影响及其傅里叶变换的相应变换示意图回目录图

14、88小波的波形随参数a,b变化的情形 回目录式中 （825）这表明小波变换并没有损失 f(t) 的任何信息，即变换是守恒的。因而下式成立 （826）回目录8.3.2 小波函数的性质1. 小波容许性条件为了保证小波反变换的存在性，所采用的小波必须满足：“容许条件”。 （827） 称为小波容许性条件。回目录2. 小波正则性条件（regularity condition）尽管满足容许性条件的 就可以用作基本小波，但为了使 在频域上表现出更好的局域性 能，要求 随a的减小而迅速减小，实际上往往要求更高一些。 这就是要对 施加上“正则性条件”，即要求小波 的前n阶原点矩等于0，且n值愈大愈好，即 （82

15、8）根据傅里叶变换的频域微分性质，可以证明式（828）等效于要求 （829） 回目录这也就是要求 在 处有高阶零点，且阶次n愈高愈好。 （830）式（828）、（830）就是所谓的正则性条件。显然当n=1时，正则性条件就等价于容许性 条件。回目录8.3.3 小波变换的冗余度与重构核连续小波变换在二维小波空间的 与 两点之间存在自相关性，其程度可以用小波在二维小波空间两点间的自相关函数即重构核（也称再生核） 来（Reproducing kernel）度量：（831）回目录 显然，重构核就是小波函数本身的小波变换，因此它与所选择的用于分析的小波函数的类型密切相关，并且度量了每一个小波的时频选择性重

16、构核一词的意义在于：将 作用于 时，依然会得到 ，既有重构方程： （832）回目录由于重构核是小波函数的自相关函数，因此从上面的讨论我们可以得出：1.由于 ，则 不会消失，这说明连续小波变换空间中两点存在某种相关性是必然的客观存在。2.一个复杂信号的小波图中能显示的不仅有信号自身的关联，而且也有连续小波变换本身的某些关联，二者并不容易区分开来，这里显然不利于从信号中提取所需要的信息。因此在小波分析中，为更好的从小波中提取信息，需要选择合适的小波，显然，选择什么样的小波与人们的分析目的有关，即与我们想从信号中提取什么样的信息有关。回目录8.4 多分辨分析如果说连续小波变换主要用于理论分析方面，则

17、离散小波变换则倾向于计算机上的运用。把参数a,b离散化： （833）则连续小波就变成了离散小波 （834）回目录特别，若取 ，则有二进小波： （835）相应的二进小波变换为： （836）对应的重构公式为： （837）从概念上看，式（837）可以理解为“小波级数（Wavelet Series）”,展开基为小波 ，由式（836）确定的 可理解为小波级数的系数。回目录8.4.1 多分辨分析的基本概念我们先看一下与多分辨分析说法相关的一个名词可分级性。可分级性并不是一个全新的思想，而是一个由来已久的概念。比如，各类由粗到细思想方法，从目录到摘要、正文的论文书写模式，等等，无不体现着可分级性的思考。实现

18、这些可分级模式，首要的是先要获得原始信号相应的多分辨率分解。信号经分解后便可以根据某种精细度要求可分级进行传递，然后在接收端进行重建。在逐级重建的过程中就实现了对信号由粗及精的观察。回目录例8.1. 基于理想滤波器的多分辨率分析.分析当信号的采样率满足采样定理要求时，归一化频带必将限制在 之间。此时，可分别用理想低通滤波器 与理想高通滤波器 将其分解成频带在 的低频部分和频带在 的高频部分，前者（低频部分）反映信号的概貌，后者（高频部分）反映信号的细节。由于低通滤波器 和高通滤波器 的频带互不交叠，故两路输出信号必定正交，且输出信号的带宽均减半，因此，对 的输出信号的采样频率可以减半而不会引起

19、信息的丢失。回目录图89频带理想剖分图示说明 回目录图8-9中在滤波后的下箭头符号表示“二抽取”环节，意指将输入序列每隔一个输出一次（如只取偶数），组成长度缩短一半的新信号序列。类似的过程对每次分解后的低频部分可再重复进行下去，即每一级分解把该级输入信号分解成一个低频的粗略逼近（概貌）和一个高频的细节部分，而且每级输出的采样率都可以再减半。以此类推，这样就将原信号 进行了多分辨率分解。图810给出了一个更完整的频带逐级剖分图示。 回目录图810频带的逐级（三级）剖分回目录信号经分解后便可以根据某种精细度要求分级进行传递，然后在接收端进行重建。重建是分解的逆过程，其原理示于图811。图中上箭符号

20、表示“二插值”，即在输入信号序列每两个相邻样本之间补一个零，使数据增长一倍，从而恢复二抽取前信号序列的长度。 和 分别为低通和带通滤波器，目的是平滑补零后的波形（在理想滤波情况下就是用 函数进行内插）。从图811还可以看到，信号重建是逐级进行的，因此，在逐级重建的过程中就实现了对信号由粗及精的观察。 回目录8.4.2多分辨率分析与小波变换现在我们引深一下上面的讨论。将信号 看成是某一逐级逼近的极限情况，每级逼近都是用某一低通平滑函数 和 作平滑的结果，在逐级逼近时平滑函数 也作逐级伸缩，这也就是用不同分辨率来逼近待分析函数 ，这就吻合了多分辨率概念。 回目录1. 函数空间剖分把空间作逐级二分解

21、产生一组逐级包含的空间。 （838） 式中符号 表示“直和”， ，j值愈小，空间愈大.上述剖分是完整的，意即： （839） 时， 将包含整个平方可积的突变函数空间 （840） 回目录剖分是逐级包含的，这表明 可写作： （841） 当 ， 即空间最终剖分到空集为止 （842） 空间和 空间是正交的； （843） 不同级的各 空间也是正交的；回目录各个 空间是逐级包含的，即： （844） 式中符号 表示b被a包含。显然，式（844）就是式（840）如图812（a）中所示的那样。归纳一下上述讨论我们有：这个剖分也是逐级替换的，即： （845）各个 和 及各个 频率空间互不重叠，故 与 正交， 与 正交。这就是式（842）、（843）。回目录每个子空间 是其低级子空间 二剖分的结果，故j越小，空间也越小，当 时，成为空集。这就是式（841）。显然，所有剖分后各子频带空间的总合就是初始空间 这就是式（840）。根据品质因素的定义： （846）显然对 ， ；对 ， ，这个 结果具有一般性，即各 的品质因数是相同的。回目录从上述对频率空间剖分的讨论还可以看出： 函数f(t)的平移不改变其