数字信号处理：第四章 信号与系统的相互作用

1、 第四章：信号与系统的相互作用4.1 卷积的描述4.2 相关的描述4.3 卷积和相关的比较 4.1 卷积的描述4.1.1 卷积的定义4.1.2 卷积的深入理解 4.1.3 卷积的边界效应4.1.4 从卷积的性质看系统互联4.1.5 卷积的频域描述卷积：系统的输入与输出之间的关系。 在第三章中已经提到，单位冲激响应可以完全表征一个LTI系统的特性，此时系统的输入/输出关系可以表示为：实际上，上式所示的系统输入/输出关系在信号处理中非常普遍，因此引入了一个专用的名称，即线性卷积，通常简记为： 4.1.1 卷积的定义式中，“*”表示线性卷积，通常简称为卷积。因此，一个系统的输出也通常称为输入与单位冲

2、激响应的卷积。利用上式来计算系统输出可以分解为如下5个基本步骤：Step1：更换坐标。将 和 的坐标由 替换为 ，得到 和 。Step2：折叠。将 关于 折叠，得到 。Step3：平移。将 平移 个单位，得到 。若 则右移，若 则左移，若 则不必移动。Step4：相乘。将 和 相乘，得到一个新信号 。Step5：求和。将 的所有值求和，得到系统 时刻的输出 。利用这5个步骤，可以计算任意时刻的输出 。但在实际应用中， 并不是在 每个整数上都有值；只有当 和 有重叠时， 才不全为0，此时的 才有值；否则 的所有值都为0， 也必为0。因此在实际计算时，还需要根据 和 的长度，判断 有值时 的范围。

3、这部分工作在步骤3中就要完成。 4.1.1 卷积的定义 4.1.1 卷积的定义例1 一个系统的单位冲激响应h(n)为：其波形如图（a）所示。系统输入x(n)为其波形如图（b）所示。 4.1.1 卷积的定义下面按前面讲的5个步骤来计算系统的输出 y(n)。Step1：更换坐标，得到了x(m) 和h(m)，其波形分别如图（c）和（d）所示。分别与图（a）和图（b）相比，波形均未发生变化，只是坐标由n 变成了m。 4.1.1 卷积的定义Step2：折叠。将 h(m) 关于m=0折叠，得到 h(-m)，其波形如图（e）所示。Step3：平移。在本例中，由于系统为因果系统，当n=(3+3-1)=5时，

4、x(m)与h(n-m)就不再重叠了，此时系统也无输出。也即是说，只有当0=n=4时， y(n) 才有值。这就说明了n平移时的取值范围。当 时n=0，h(-m) 无需平移 。 4.1.1 卷积的定义Step4 : 相乘。将 x(m)与 h(-m)相乘，得到新信号v0(m)，其波形如图(f)所示。Step5：求和。将 v0(m)的所有值求和。本例中v0(m)只有一个值，求得的 y(0)=2 。这个计算结果也可以表示为： 这样就完成了n=0时系统的输出。按照步骤3得到n的范围，重复第35步的过程，可以得到各个时刻的输出： 4.1.1 卷积的定义 图（g）给出了 的波形。图（h)给出了 的波形。图(i

5、)给出了系统输出 的波形图，这就是输入信号 与系统 相互作用下的输出，或者说 与 卷积的结果。卷积是信号处理中一个非常重要的概念，从数学定义上看并不复杂。但实际上，很少用公式来计算系统的输出。在实际中，更重要的是利用卷积的概念来解决信号处理的问题，这就要求卷积这个概念有更深入的理解，下面分别从输入信号和系统这两个不同的角度来深入的理解卷积的概念。 4.1.2 卷积的深入理解 从输入信号的角度理解 所示的卷积运算是从输入信号分解为单位冲激信号之和得到的。这点在前面有些比较详细的说明。下面来深入理解一下为什么要将h(n)先折叠。h(n)是指输入为 时系统的输出，通俗地说就是，仅在n=0时刻给系统输

6、入一个值,系统不只在n=0时刻有输出，在 等随后的时刻也可能有输出。也就是说在0时刻这个数值，可能会导致系统在很长时间之后还有输出。更有甚者，只要在0时刻该系统施加一个冲激信号系统就一直源源不断的会有输出，直到永远。这就是IIR系统的情况。 4.1.2 卷积的深入理解对h(n) 长度有限的情况及，FIR系统的情况,举一个例子来说明。例1 某人一天走路不小心摔了一跤，如果将人体看作一个系统的话，摔跤可以看作一个冲激信号，对这个冲激信号人体这个系统的反应是马上就有点疼，第二天还有点疼，第三天可能还有点感觉，一个星期后可能就没事了。这就说明对摔跤这个信号人体这个系统的h(n)的持续时间是一个星期，这

7、个过程可以由下图比较直观地来反映，图(a)表示摔跤，图(b)表示人体的疼痛程度与时间的关系。 4.1.2 卷积的深入理解例2 假定最近比较不顺，第二天不小心又摔了一跤，与第一天摔跤的情况一样，第二天摔跤造成的身体疼痛也要持续一个星期。对应的图形如下图(c)和图(d)所示，用公式表示第二天的输入为(n-1)，对应的输出为h(n-1) 。很显然，如果对身体这个系统来说，连续两天摔跤的输入信号可以表示为: 对应的输出为： 4.1.2 卷积的深入理解其对应的图形如图(e)和图(f)所示。可以看出第二天疼痛程度明显增加，这也符合人们的感受，旧伤未愈又添新伤，自然就更疼了。更一般的情况是，即使是连续两天摔

8、跤，每次摔跤的强度也是不一样的，如果用x(0)表示第一天的摔跤长度，用x(1)表示第二天的摔跤强度，那么此时的输入改写为： 4.1.2 卷积的深入理解对应的输出变为：如果再推广一下，x(n)包含了M个值,那么这M个值对于输出都会有所贡献。n=m时刻的输入值x(m)对应的贡献值是x(m) h(n-m)，总的输出就是不同x(m)贡献值的求和，即：这就是 的结果，由此也可以将卷积公式中的h(n-m)理解为延时，这样的物理意义更清晰一些。通过摔跤这个例子可以这样理解卷积的过程：对于一个信号来说，不同时刻的输入值x(m)对系统的输出都有贡献，贡献的大小一方面与x(m)的大小与有关，另一方面与m的大小有关

9、。系统的输出就是将不同的x(m)的贡献都加起来的结果。或者说输入信号就像是一组加权系数，对x(m)及其延时进行相应的加权，可以得到系统的输出。 4.1.2 卷积的深入理解 从系统的角度理解从输入信号的角度对卷积过程的解释，有比较明确的物理意义，但还有一点和我们直观认识并不一致，在日常用语中，系统代表的是相对不变的东西。例1 进火车站的时候，要将行李通过一个“危险物品检测系统”，这个系统只要开机就在那里一直不停的重复工作，系统是不变的，而通过这个系统的行李，也即通过这个系统的信号有源源不断的发生变化。因此对信号处理系统来说，从h(n)不变的情况来理解卷积，可能更有利于从直观上认识信号与系统的相互

10、作用。例2 假定h(n)只有在0=n2时系统的输出可以写为：写成更一般的表达式： 4.1.2 卷积的深入理解由此也可以很自然地推广到h(n)取值更多的情况：上式的实际过程是，当信号x(n)像流水一样输入系统的时候，系统犹如流水一般的输出处理结果。他所表征的物理意义是：系统的h(n)可以看作是一组加权系数，系统的输出不仅和当前时刻的时候有关，而且与之前时刻的输入也有关，但不同时刻的输入对输出的影响是不一样的。 h(n)这组加权系数就是表征这种不同的影响。信号处理的过程可以看作是对输入信号加权运算的结果。从数学的角度也很容易得到上式，对式 做一个简单的变量替换k=n-m，上式可以变形为： 4.1.

11、3 卷积的边界效应从 的卷积计算过程知道，假定系统的h(n)的长度为M，也就是说h(n)共有M个,系统的输出与M个不同时刻的输入有关。由上面式子可以看出，在前面这个M=3的例子中，y(2)与x(0),x(1) ,x(2) ,这3个值有关， y(3)与x(1),x(2) ,x(3) ,这3个值有关。但再看 ， y(0)的输出仅与x(0)一个值有关。从式 可以看出，y(1)的输出仅与x(0) ),x(1)这两个值 有关。为什么当n2时，输出不是与3个输入值有关呢？这就是边界效应。实际上，上述式子后面有一个假设，即当n0时, y(n)右移；当m=3或者m-1时， rxy(m)随着m的增加而减小，当m

12、-1时， rxy(m)随着m的增加而增加，这表明，m=-1时， x(n)与 y(n)的相关性最强，随着m的增加， x(n)与 y(n)的相关性越来越弱。样了，相关性慢慢减弱，此时的相关值应该逐步变从直观定性的角度，m=-1时， x(n)与 y(n)两个信号完全一致，也可以说是完全相关的，此时也应该相关值最大，随着m的增加，两个信号越来越不一样了，相关性慢慢减弱，此时的相关值应该逐步变小。了，相关性慢慢减弱，此时的相关值应该逐步变在信号处理中，相关从物理概念上可以理解为两个信号的相似程度，但这是否意味着， rxy(m)越大，信号的相似性越强呢？看一个例子。了，相关性慢慢减弱，此时的相关值应该逐步

13、变 4.2.2 相关的深入理解例2 假设有4个因果信号：其波形分别如下图(a )、(b )、(c )、(d)所示，可以明显看出x1(n)与x2(n)非常相似，仅在幅度上相差一倍， x3(n)与 x4(n)也同样如此。用相关的定义，可以计算得到， rx1x2(0)=38 ， rx3x4(0)=20。从绝对值的角度，rx1x2(0) 明显要大于rx3x4(0)，但从下图我们知道，从信号相似性的角度， x1(n)与x2(n)的相似程度和x3(n)与 x4(n)的相似程度是完全一致的，这个例子说明，rxy(m)的绝对值越大，并不能说明信号的相似程度越强。 4.2.2 相关的深入理解这就有点迷糊了，一方

14、面说相关表征了信号的相似程度，另一方面又说相关的绝对值越大，并不能说明这两个信号的相似程度越强，这到底是怎么回事？为了解决这个问题信号处理中用相关系数xy(m)来更加细致的描述信号的相似程度，其数学表达式为： 4.2.2 相关的深入理解xy(m)也成为互相关系数，同样地，自相关系数可写为：由此可以看出，相关系数xy(m) 可以认为是归一化的rxy(m) 。对能量信号来说归一化因子为信号的能量；对功率信号来说归一化因子为信号功率。借助相关系数就消除了信号幅度的影响，从而更好地描述了信号的相似性。从数学上可以证明 |xy(m)|=1，它所表示的物理意义是： xy(m)为为1时表示两个信号完全相关或

15、者说完全相似， xy(m)为0时，表示两个信号完全不相关或者完全不相似，这充分反映了我们的直观认识。利用相关系数概念，对于能量相同的信号，rxy(m)的绝对值越大，则信号越相似，rxy(m)的绝对值越小，则信号越不相似，rxy(m)为0时信号完全不相似 4.2.2 相关的深入理解相关最直接的物理意义是表征的信号的相似性，这为我们理解相关提供了一个非常直接的切入点。但要强调的是相关的意义，并不仅在于描述信号的相关性。在前面已经看到相关可以看成是一类特殊信号与系统的相互作用，在后面还将看到相关是描述噪声必不可少工具；如果再扩展一些，是描述所有随机信号必不可少的工具。 4.2.3 相关的频域描述为了

16、更好地从相关的角度看待噪声和最优检测系统，先来看一下相关的频域描述。若x(n)和y(n)为能量信号，其傅里叶变换分别为X(ej)和Y(ej) ，则rxy(m)的傅里叶变换Rxy(ej)可以表示为:对上式做一个简单的变量替换k=n-m，可重写为：同样的，对于自相关rxy(m) ，其傅里叶变换为： 4.2.3 相关的频域描述这表明，相关的傅里叶变换Rxy(ej)可以看作是X(ej)和Y(ej)共轭的乘积。其物理意义暂时不讲，在后面介绍最优检测系统时，我们还会重新认识相关的频率表现形式。对于功率信号来说，包括随机信号与周期信号， Rxx(ej)也称为信号的功率谱。功率谱Rxx(ej)与自相关rxx(

17、m)之间的傅里叶变换对的关系如下：这就是信号处理中著名的维纳-辛钦定理，为功率信号与的时域与频域之间的分析架起了一座桥梁。功率谱是信号处理中非常重要的概念，通常用Pxx(ej)这个专门的符号来表示 4.2.4 从相关的角度看噪声第2章已经简要介绍过噪声，到那时只因而还不够全面。是从随机变量概率的角度来描述，讲的是给定的时刻，噪声可能的取值服从某种概率分布，但这种描述不能表现不同时刻的噪声之间的关系。 噪声的高斯平稳假设我们都知道信号处理最主要的任务就是从被噪声污染的信号中提取出有用的信息，如果没有噪声的话，很多的信号处理问题可能就不再成为问题，前面已经讲过经典的数字信号处理有两大基石，LTI系

18、统和高斯平稳噪声。LTI系统体现出的是叠加性，这是信号处理最重要的思维方式之一。噪声的平稳性，从严格意义上说，指的是联合概率密度与时间的起点无关，只与相差的时间有关，这种平稳也称为狭义平稳。从更广泛的意义上说，平稳性指的是其均值为常数，相关函数与时间起点无关，只与相差的时间有关，这种平稳也称为广义平稳，或者宽平稳。 4.2.4 从相关的角度看噪声对于随机变量和随机过程来说，到现在为止人们所能采用的最科学的方法自然是用概率密度进行描述。但这种方法不仅相当复杂，而且不太实用。在信号处理中，通常以相关为核心来描述随机过程，对于噪声，也是从相关的角度来描述和分析。从严格意义上讲，随机过程相关的计算要从

19、概率密度出发，但在实际中概率密度往往很难精确知道。为解决这个问题，在概率与数理统计中，人们用了“各态历经”假设，在这种假设的框架下就可以从一个样本过程直接估计随机过程的均值和相关函数，这样就不再需要从理论上的无穷个样本过程出发统计出概率密度，然后再计算均值和相关，从而使实际上随机过程均值和相关计算成为可能。噪声是一类与有用信号相伴相随的随机过程，因而在分析中也总是用到平稳和各态历经这两个假设，一般都是默认这两个假设，这就是噪声平稳性这块基石的基础。服从高斯分布的噪声是最常见的噪声类型，从概率统计的理论出发，可以证明，用均值和相关可以充分描述一个平稳的高斯噪声，因而处理也相对比较简单，因此在经典

20、的数字信号处理中，高斯平稳噪声也是一块基石。 4.2.4 从相关的角度看噪声在信号处理中，最常听到的噪声就是高斯白噪声，高斯噪声是在给定的时刻n，噪声v(n)是一个随机变量，这个随机变量服从高斯分布，或者说正态分布，其概率密度用数学公式可写为： 高斯白噪声的理解式中， v为随机变量的均值，v2为方差。这两个参数均有明确的物理意义。均值的物理意义很好理解，就是取平均，方差的物理意义稍微复杂，稍后再解释。为了讨论方便，信号处理中通常假定v为0，这一方面是因为很多噪声的均值的确为0，另外一方面是，如果均值不为0的话，利用协方差这个概念，可以将均值不为0的噪声转化为均值为0的噪声来处理。因此，在没有特

21、别指明的情况下，高斯白噪声指的是零均值的高斯白噪声，下图给出了一个均值为0,方差为1的高斯分布概率密度示意图。 4.2.4 从相关的角度看噪声我们知道，噪声就是一类看起来杂乱无章的随机过程，那么白噪声指的是什么样的噪声呢？这里“白”更多的是从频域角度来讲的。最初来源于英国科学家牛顿，他在研究光学的时候发现，白光包含所有频率的光波。同样的道理，白噪声指的是包含了所有频率的噪声，因而，噪声是功率信号，无法计算其傅里叶变换，因而在频域无法用频谱来描述，只能采用功率谱这个概念，并且功率谱可以表示为： 4.2.4 从相关的角度看噪声根据维纳-辛钦定理可知，功率谱的反傅里叶变换就是自相关，因此上式可以很方

22、便的计算出白噪声的自相关为：白噪声的自相关、功率谱分别如下图所示(a)、(b)所示，可以看出，在频域上的“白”指的是全频段的特性一致，因而在时域上“白”指的是不同时刻的噪声不相关。从直观上来想，带宽表示的是变化快慢的范围，因此，频域上的带宽无限大，表示的是时间上变化的无限快，这样就可以很自然地推断出时间上即便是相邻的两个噪声值，因其变化太快，也是不相关的。这种直观上的定性理解和上式定量描述是完全吻合的。 4.2.4 从相关的角度看噪声由上述讨论可知，高斯噪声和白噪声是两类相互独立的噪声。高斯噪声表征的是噪声所服从的概率分布是高斯的。白噪声，从时域上来看表现的是不同时刻之间噪声的不相关，从频域上

23、来看表征的是噪声的全频段特性。因此，一个高斯噪声可能是白噪声也可能不是白噪声，而一个白噪声可能是高斯分布的，也可能不是高斯分布的。 不仅表明了白噪声在全频段的特性是一致的，而且指出了其值为v2 。与此对应的时域中如式 所示的相关，在不同的时刻，白噪声的相关值也是v2 。在前面我们已经知道了噪声的方差，下面我们来了解它的物理意义。假定白噪声v(n)是一个电压源，加在一个电阻上，那么这个电压源在电阻上产生的功率可以很方便地写为：式中，R0表示电阻的阻值。为了讨论方便，假定R0为1，此时v2(n)表示了噪声在单位电阻上的瞬时功率。 4.2.4 从相关的角度看噪声若n的取值为0=n=N-1，则在这个时

24、间范围内，噪声在单位电阻上的平均功率为:对于满足各态历经假设条件的白噪声v(n) ，从理论上来说，只要持续时间足够长，一个样本就能充分体现白噪声的全部特性。因此上式变为：对比， 与 可以发现，Pa= rvv(0) 。 再回到 ， v2可写为：上式表明，方差v2的物理意义可以表述为噪声在单位电阻上产生的平均功率，或简称为噪声的平均功率。 4.2.4 从相关的角度看噪声从频域的角度来看， 表明白噪声在所有的频率上功率谱均为v2 ，结合v2的物理意义也可以说，对白噪声而言，功率谱可以等效为平均功率，这也反过来理解了功率谱的物理意义，实际上不只是对白噪声，对更一般的随机信号，功率谱在物理意义上也都可以

25、理解为平均功率。由上述的讨论可知，白噪声是一种理想化的噪声模型，在实际中并不存在。但实际中的噪声往往可以近似为白噪声，因此利用白噪声这种理想化的模型。可以给问题的分析带来很大的方便。 4.2.4 从相关的角度看噪声信号通过系统，在时域上来看是卷积，在频域上来看是相乘。高斯白噪声通过系统，也有这样的特点吗？系统的输出还是高斯白噪声吗？假定高斯白噪声vi(n)的方差为v2 ，将其通过系统h(n)，从信号与系统相互作用的角度，自然也有卷积的关系，于是系统的输出可写为： 高斯白噪声通过LTI系统因为噪声在时运需要用相关函数来表征其平均的特性，因此，系统输出信号的相关可写为：将 所表示的高斯白噪声的相关

26、函数代入上式中有： 4.2.4 从相关的角度看噪声上式表明从时域来看高斯白噪声通过一个系统后，其输入/输出仍然是卷积，不同的是参与卷积运算不再是输入vi(n)和系统h(n) ，而分别vi(n)是相关函数rvivi(m)和h(m)的相关函数rhh(m) 。卷积的结果也不再是输出v0(n) ，而是v0(n)的相关rv0v0(m) 。而上式则表明，高斯白噪声通过系统后，并不能保证输出仍然是白噪声。将 变换到频域，由：考虑到 所示的白噪声的功率频谱特性和式 ，上式可重写为：第一个式子表明，从频域来看，高斯白噪声通过一个系统后，其输入/输出仍然是相乘，只不过从频谱的相乘变成了功率谱的相乘，而第二个式子这

27、表明，只有当系统的频率响应为常数时，也即是说系统为全通系统时，高斯白噪声通过系统后仍然是高斯白噪声，否则的话就变成了高斯色噪声了。在很多应用场合，都存在信号接收的问题。比如说雷达声纳系统中如何接收目标的回波来判定目标的距离、方位、速度等信息。通信系统中，通过接收信号来获取从远方传递过来的信息。因为所接收的信号都被噪声污染，而且往往是被很严重的污染，这是如何有效地提取有用的信息，信号处理中这类问题就成为最佳接收问题，实现最佳接收功能的系统称为最佳接收系统。从直观上讲，要是有这么一个系统，能将所接收信号中的有用信号尽可能放大，而将其中的噪声尽可能抑制，就能实现有效提取有用信息的功能。也就是说，如果

28、能有一个系统，能使得输出的信噪比最大，那么这样的系统就是我们所期望的最佳接收系统。用x(n)表示所接收的信号，可表示为上式中，s(n)表示目标信号，或者说是接收信号中携带有用信息的部分，v(n)表示高斯白噪声，其平均功率为v2 ，是所接收信号中没有携带有用信息的部分。为简单起见，在后面的讨论中称x(n)为回波， s(n)为回波信号， v(n)为回波噪声。 4.2.5 从相关的角度看最佳接收系统 4.2.5 从相关的角度看最佳接收系统用h(n)表示最佳接收系统， y(n)表示系统的输出，如下图所示，由LTI系统叠加性的原理， y(n)可以表示为：其中， s0(n)表示s(n)通过系统后的输出，

29、v0(n)表示v(n)通过系统后的输出。系统输出的信噪比定义为输出信号功率输出噪声功率之比：式中，Ps为s0(n)的瞬时功率， Pv 为v0(n)的平均功率。最佳接收系统就是能够使得(S/N)。最大的系统h(n) 。下面从时域和频域两个角度分别来看。 4.2.5 从相关的角度看最佳接收系统 从频域角度看从频域来看，系统h(n)的频率响应为H(ej) 。输入信号按s(n)的傅里叶变换为S(ej) ，由卷积定理可知，输出信号s0(n)的傅里叶变换为：其中n时刻的瞬时功率为：由 可知，通过系统后噪声功率为：由 可知，通过系统后噪声功率为： 4.2.5 从相关的角度看最佳接收系统利用数学中的施瓦茨不等

30、式：上式取等号的条件为：于是上式可写为：式中K为常数。将上式整理可得： 4.2.5 从相关的角度看最佳接收系统其中：表示信号s(n)的能量。上式表明，被噪声污染的信号通过LTI系统，其输出的信噪比最大为ES/v2而且只有当系统的频率响应为：上市表明，被噪声污染的信号通过聊天系统，其输出的信噪比最大为，点点点，而且只有当系统的频率响应为：上市表明，被噪声污染的信号通过聊天系统，其输出的信噪比最大为，点点点，而且只有当系统的频率响应为输出在n=n0时刻的信噪比达到最大值，上式即为最佳接收系统在频域的表现形式。具有上式所示频率响应特性的系统也称为匹配滤波器。 4.2.5 从相关的角度看最佳接收系统

31、从时域角度看从对 进行逆傅里叶变换，可以得到最佳接收系统的时域表现形式为： 考虑到s(n)为实信号，因此有： 、将第二个式子带入第一个式子，并做一个简单的变量替换，第一个式子可变形为：由于物理可实现的系统都要求是因果系统，因此若回波信号的持续时间为【0，N-1，则在h(n)因果性的约束条件下，n0至少要大于N-1。 4.2.5 从相关的角度看最佳接收系统 最佳接收系统的物理解释上面已经分别得到了最佳接收系统的频域和时域表达形式，由 可以看出最佳接收系统的频率响应是回波信号的傅里叶变换，先求共轭，再乘上一个相移因子，但是最佳接收系统的单位冲激响应是回波信号在时间轴上先折叠再平移。该怎么理解呢？同样是先来看频域的情况，常数K对所有频率的信号响应都一致，因而可以忽略。最佳接收系统的幅频响应等于回波信号的幅频特性，表示的意义就是当信号越强的时候，系统对应的放大倍数越大；信号越弱的时候系统，对应的放大倍数越小；在没有信号分量的频率上，噪声完全被抑制。这在物理直观上正是让信号尽可能通过，而尽可能地抑制噪声，从而使得输出的信噪比最大。最佳接收系统的相频响应与回波信号的相频特性完全相反，表示的是信号通过系统之后，相位都被抵消了，这样所有不同频率的信号在0时刻的相位都是相同的，因而在这个时刻点上的输出具有最大值。以此对应的是噪声相位是随机的，无论系统的相频特性如